关于图中控制数γL,γt的关系

G（V，E）是一个图且D包含于V，如果N[D]=V，则称D为图G的控制集，进一步，对任一个控制集D1而言均有γ（（D））≤γ（（D1))成立，则称D为图G的小控制集，且小控制数γL（G）=min{|D|:D包含于V且D是G的一个小控制集}。如果点集S包含于V，A↓X∈V均有N（X）∩S≠φ或∪↑x∈SN（x）=V，则称S为图G的全控制集，且全控制数γ1（G）=min{|S|:S是G的一个全控制集}。     

关于图中控制数γL,γt的关系

G（V,E）是一个图且D包含于V,如果N[D]=V,则称D为图G的控制集,进一步,对任一个控制集D1而言均有γ（（D））≤γ（（D1))成立,则称D为图G的小控制集,且小控制数γL（G）=min{|D|:D包含于V且D是G的一个小控制集}。如果点集S包含于V,A↓X∈V均有N（X）∩S≠φ或∪↑x∈SN（x）=V,则称S为图G的全控制集,且全控制数γ1（G）=min{|S|:S是G的一个全控制集}。     

强全控制边临界图

不含孤立点的图G称为全控制边临界的,如果对任意两个不相邻顶点u和v, 有γt(G uv)<γt(G).也称这样的图为γt-临界的. 如果该图G的全控制数为k,称G为k-γt-临界的.一个γt-临界图G称为强γt-临界的, 如果对任意顶点v∈V(G)存在G的一个基数为γt(G)-1的控制集D使得G[D]除v外不含孤立点.研究了强γt-临界图的性质,给出了一个由小的强γt-临界图构造大强γt-临界图的方法.     

禁用两个子图的图的全控制数

设G=V(V,E)是一个简单无向图.一个点悬挂三个一度点的图称为爪图,D图是一个三角形其中两个点各悬挂一条长为2的路.如果图G的任何导出子图都不同构于爪图也不同构于D图,则称G为无爪和无D图.设S是V的非空子集,如果不在S的点一定与S中的某个点相邻,则称S为G的控制集.如果G中的点一定与S中的某个点相邻,则S称为G的全控制集.最小全控制集包含顶点的数目称为全控制数.给出了当G是N阶连通的无爪和无D图时全控制数紧的上界.     

路与圈的笛卡尔乘积的全控制数

令图G是无孤立点的无向图.V(G)是图G的顶点集,D是V(G)的真子集.如果图G的每一个顶点至少与集合D中一点相邻,则集合D是图G的全控制集.G中最小全控制集的顶点数称为G的全控制数,记为γt(G).参考已有全控制数的知识及笛卡尔乘积Cm□Cn、Pm□Pn的全控制数的相关结论,利用γt(Cm□Cn)≤γt(Pm□Cn)≤γt(Pm□Pn)这一不等式给出了Cm□Pn(m=3,4)、Pm□Cn(n=2,4)的全控制数.     

广义Sierpiński网络的全控制数

设G=(V,E)为一个无孤立点的图.如果一个双值函数f:V→{0,1}对任意点v∈V,均有f(N(v))≥1成立，则称f为图G的一个全控制函数.图G的全控制数定义为γ_t(G)=min{f(V)|f为图G的一个全控制函数}.该文应用数学归纳法和分类讨论法，得到了以路P_m、圈C_m、完全图K_m为基图的广义Sierpiński网络的全控制数.     

图的反符号边全K-控制数

设G=(V,E)是一个图,一个函数f:E→{-1,+1}如果∑e′∈N(e)f(e′)≤0对于至少k条边e∈E成立,则称f为图G的一个反符号边全k控制函数。一个图G的反符号边全k控制数定义为γkst(G)=max{∑e∈Ef(e)|f为图G的反符边全k控制函数}。本文主要给出了连通图G的反符号边全k控制数γkst(G)的若干上限。     

树图的全控制数

设G为n阶连通图，集合S称为图G的全控制集，如果V（G）的每个顶点都和S中某点相邻。图G的全控制数，记为γt（G），是图G的全控制集的最小基数。证明了对阶数n≥3且T≠K1，n-1的树T，γt（T）=min{（2n/3），n-l，[n/2]＋l-1}，这里l表示树T中叶子的数目。     

几类图的负对控制数

设D V是图G=(V,E)的任意一个对控制集,如果一个函数f:V→{-1,0,1}满足条件1)对任意点v∈D,有f(v)=1,对任意点v∈V-D,有f(v)≤0,2)对任意点v∈V,均有f(N[v])≥1,则称函数f为图G的负对控制函数。负对控制函数f的重量f(V)是V中所有点的函数值之和,图G的负对控制数γp-(G)=min{f(V)|f是图G的负对控制函数}。本文研究一些图的负对控制数。     

两类图的Fractional控制数

设G=(V,E)为一个图,如果一个实值函数f:V→[0,1],对任意u∈V(G),均有f(N[u])≥1成立,则称f为图G的一个Fractional控制函数。图G的Fractional控制数定义为γ_f(G)=min{f(V)|f为图G的一个Fractional控制函数}。本文给出m≥3,n≥2时乘积图K_m×P_n的Fractional控制数、Fractional全控制数和m≥5,n≥3时联图■的Fractional控制数。