2-连通图中X-最长圈下界估计

给一个图G,XV(G),G[X]为G的X生成子图,r为正整数。定义α(X)=max｛｜S｜｝S是G[X]的顶点独立集｝,αk(X)=min｛∑ki=1d(vi)｜｛v1,v2,…,vk｝是G[X]的顶点独立集},NCk(X)=min｛｜Uki=1N(vi)｜｛v1,…,vk是G[x]的独点独立集}(k≥2)．我们得到结论;对—任意的n阶2-连通图G(n≥3),xG,且α3(X)≥n+r≥n+2,则存在一个包含X的顶点数为min｛｜X｜,[X]+NC,+2+e(n+r)(X)-α(X)}的圈,ε(i)=3〔1-3i〕-1-3i.该结论推广了H.J.Broersma在文献[1]中的结果．     

1-坚韧图中具有邻域并型的X-最长圈

设G是连通图,XV(G), G[X]是G的X生成子图.记α(X)=max{|S|:S是G[X]的顶点独立集}, ak(X)=MIN{k∑i=1d(vi):{v1,v2,...,vk}是G[X]的顶点独立集}, NCk(x)=min{|kUi=1N(vi)|:{v1,v2,...,vk}是G[X]的顶点独立集}(k≥2). 本文得到如下结果:对于n阶的1-坚韧图(n≥3), XV(G)且σ3(X)≥n+r≥n, r为正整数,则存在一个圈C满足|C(X)|≥min{|X|,|X|+NCr+5+ε(n+r)(X)-α(X)}, 其中ε(i)=3「1/3i」.-1/3i 此结果推广了H.J.Broersma等在文献[2]中的结果.     

图的控制圈的一个下界

引进控制圈的定义,同时讨论了一类2-连通图的控制圈的一个下界,若G是2-连通的非 Hamilton图,含有控制圈C,令R=V(G)-V(C),如果存在v∈V(C),使dR(V)≧2,则G包含的控制圈的长至少为2σ-2.     

关于1坚韧图的最长圈

令G 是 p 阶 1坚韧图,且λ=min{d(u)+d(v))|u,v∈V(G);uv∈E},δ=min{d(u)|u∈V(G)},本文证明G的周长 c(G)=p,若 P≤2λ-2δ+2;c(G)≥2λ-2δ+2,若 p>2λ-2δ+2。对某些图来说 c(G)的下界是可以达到的。     

1坚韧图最长圈的新的充分条件

设G是 p阶l坚韧图。本文证明:如果对任意d(u,v)=2的u,v∈V(G),有max{d(u),d(v)}≥b,则除图Y_1,Y_2,Y_3外,G包含一个长至少为min{p,2b+2}的圈,且是最好可能的。     

Δ-free图的最长路和最长圈

得到Δ-free图的最长路和最长圈的下界为2δ＋2,以及存在Hamilton圈的一个充分条件δ≥max{ ,α},δ是图G的顶点的最小度,α是G的独立数p＝ V(G) ≥15．     

关于最长圈交Crotschel猜想的证明

讨论了最长路的交及性质,证明了Ｇｒｏｔｓｃｈｅｌ猜想：Ｃ１和Ｃ２是ｋ－连通图Ｇ的两个最长圈,则│Ｖ（Ｃ１）∩Ｖ（Ｃ２）│≥ｋ,且公共点Ｖ（Ｃ１）∩Ｖ（Ｃ２）形成Ｇ的一个顶点割。     

4连通无爪图的最大圈长的一个下界

设Ｇ为ｎ阶４连通无爪图，σ５＝ｍｉｎ，则ｃ（Ｇ）≥ｍｉｎ（ｎ，σ５－７）。     

二连通图的最长圈

本文证明:设G为n阶2连通图,D(x)={y|y∈V(G),d(x,y)≤2},d_d~*(x)表示D(x)中所有的点的度排成的非减度序列:d_1~*,d_2~*,…,d_j~*,d_(j+1)~*,…,d_(|D(x)|)~*中当下标j=d(x)时的度。δ_0=min{d(x)|x∈V(G)},D(δ_(i-1))={x|x∈V(G),d(x)≥δ(i-1)}(i=1,2,…,k),δ_i=min{d_(d(x))~*|x∈D(δ(i-1))}(i=1,2,…,k)且δ_0<δ_1<δ_2<…<δ_(k-1)≤δ_k,则C(G)≥min{n,2δ_k}。此外也给出δ_k的算法。     

关于简单的MCD图边数的下界

本文改进了[1]中的简单的MCD图边数的下界。     

关于一类Ramsey数的下界

对一类图K1 ,q2 t与C4的Ramsey数进行讨论 ,得出结论 :r(C4,K1 ,q2 t) q2 q 2 .并且对Burr的渐近下界做了改进 ,得到改进结论 : n 4 ,f(n) ( 7n -5 ) 6 .     

2－连通简单MCD图边数的一个新的下界

设Ｇ是具有ｎ个顶点的２－连通简单ＭＣＤ图，ｆ２（ｎ）表示Ｇ的边数．本文证明了当ｎ≥８时，其中ｘｍ＝ｕｍ－２ｕｍ－５，ｕｍ是Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数．     

图中3-距离控制集的上界

研究了图的3-距离控制数.根据不同图的结构特征,给出几类重要图的3-距离控制数的精确值,讨论了对一般图的3-距离控制数的紧的上界,并提出了一个相关猜想.     

关于9—临界图边数的下界

本文给出了9－临界图边数的下界：m≥118／39n,其中n为点九，m为边数。     

对矩阵特征值的上界和下界的改进

研究矩阵的特征值的上界、下界以及特征值的实部、虚部的不等式,给出特征值的一些新的上界和下界.     

Ramsey数r(3,10)的下界

以 Kn( p,q)表示红蓝边染色的 n阶完全图 ,图中既无 p个顶点的红边完全子图 ,也无 q个顶点的蓝边完全子图 .本文给出了 K4 0 ( 3,1 0 )的一种构造 ,以改进 Ram sey数 r( 3,1 0 )≥ 4 0的下界