有限集上等价关系数目的计算

有限集上等价关系是一个重要的关系,它同集合的划分有着密切的联系。本文根据这些联系,将有限集上等价关系数目的计算转化为该有限集上划分数目的计算,并由此得出了计算有限集上等价关系数目的一个递推公式,具有一定的理论意义和实用价值。     

两个组合计数公式的推广

设x一门，2，…，，；）为一，王元集，组合数【．怖示集合X的是元子集的个数．文献卜」提到一＼k］两个应用问题：问题1求集合X的不含相邻整数的k元子集的个数人，I，足）．问题2从集合X中选八个元素组成子集，要求子集中任二元素之差均不与1模n合同，求这种足元子集的选取方式数g（，；，k）．为便于研究，将上述两问题转化为：问题l’假定有，。个元素排成一行，现从中取出k个，并要求在行中这是个元素中的任意两个之间至少包含1个元．设其选取方式数为人（，。，A），则问题2’假定有，l个元素排成圆圈，现从中取出k个，并要求在圆圈…     

划分与传递闭包

证明了集合的任意两个划分的和导出的等价关系是这两个划分导出的等价关系的并集的传递闭包,任意两个划分的积导出的等价关系是这两个划分导出的等价关系的交集.     

关于排列的型

本文确定了任一三元非负整数组(s,i,d)恰为某个n排列的型的充分必要条件,并通过型在全体n排列的集合上定义了一个等价关系,明确给出了计算等价类的数目和每个等价类中所包含的排列个数的公式。     

集合的基数与元素个数

讨论集合之间元素个数的比较,给出在相同的基数水平上,一个集合与其真子集之间元素个数的比值及其性质。     

一类变换半群的变种半群的格林关系

设X是一个非空集合。E、F是集合X上两个非平凡等价关系且假设EF,在已有的保持两个等价关系的变换半群TFE(X)基础上,规定新的运算,得出保持两个等价关系的变换半群TFE(X)的变种半群。利用格林关系的定义,描述了这类半群中一般元素间的格林关系。     

等价关系的一种新的判定方法及其计数

关于等介关系的判定，我们引进了一种新的坐标图判定方法，对于有限集合上的等价关系的个数也给出了计算公式，并在计算机上实现。     

浅谈(0,1)内的有理数与自然数一样多

对一个集合,我们通常会关心其包含的事物即包含的元素的多少。对于任意两个有限集合,可以用类似一把钥匙开一把锁的方法,比较它们所含元素的个数。对于两个无穷集合,可以用旅游团的住宿问题作为例子,用给房客编号和客房调整的方法来比较说明它们所含元素的个数。在以上讨论的基础上,利用集合的基数,我们论证得到结论:(0,1)内的有理数与自然数"一样多"。     

结构建模中区域划分的代数方法

针对现有结构建模区域划分方法的不足，基于将拓扑分析转化为代数分析的原理，指出区域划分的实质是要构造某种等价关系，该等价关系是元素不可分的充要条件．进而给出了充要条件定理．在此基础上提出了结构建模区域划分的代数方法．列出了代数方法的实施步骤，并通过一个具体示例的演示验证了该方法的简捷性和有效性     

保E且严格保序部分一一变换半群的秩

设X是包含nm个元素的全序集,E为X上每个等价类都含有连续n个元素的等价关系.令SPOIE(X)为X上的所有保E且严格保序部分一一变换构成的半群.证明了SPOIE(X)的秩为nm.     

关于含r对k间隔的组合数

记 f(n,m)为从排列在一直线上的 n 个元素中选取 m 个元素且恰含 r 对 k 间隔元素的选取方式数.g_k~r(n,m)为从排列在圆周上的 n 个元素中选取 m 个元素且恰含 r 对 k 间隔元素的选取方式数,给出了 f_k~r(n,m)及 g_k~r(n,m)的递归关系式和卷积形式表达式,在 k=0时得到 f_0~r(n,m)与 g_0~r(n,m)的显式.     

栈序列的生成及算法

文中就集合N＝S{1，2，3,…，n}的n个元素按次序1，2，3，…，n入栈时，不同的出栈次序对应的n元序列，即栈序我的个数及其生成方法做了探讨。     

TE(X)的由幂等元生成的子半群

设X为有限集合,()X为X上的全变换半群,设E为X上任一非平凡等价关系,变换半群TE(X)定义为TE(X)={f∈()X:()(a,b)∈E,(f(a),f(b))∈E}.讨论了半群TE(X)的由幂等元生成的子半群T2,以及由亏值为1的幂等元作为生成元时,T2的极小生成元集,并且求出了这个极小生成集的元素个数.     

结构建模中区域划分的代数方法

针对现有结构建模区域划分方法的不足，基于将拓扑分析转化为代数分析的原理，指出区域蚜分的实质是要构造某种等价关系，该等价关系是元素不可分的充要条件，进而给出了充要条件定量，在此基础邮结构建模区域划分的代数方程，列出了代数方法的实施步骤，并通过一个具体示例的演示验证了该方法的简捷性和有效性。     

关于映射的计数问题

设X,A为两个已知的有限集合,|X|=n,|A|=m,讨论集合X到集合A的各种映射的个数的确定方法。     

覆盖粗糙集模型转化的方法研究

通过研究邻域覆盖、覆盖导出的划分之间的内在关系,给出了一种新的转化方法.新方法证明了由一个覆盖可唯一导出一个划分、由覆盖与其覆盖约简导出的划分一致等结论,而且得出了由覆盖导出的等价关系的上、下近似算子更加细分等优良性质;提高了集合的近似程度,能更好地用于属性约简、核的求取和规则的生成等方面研究.     

有限集几种重要等价类数目的计算

集合的元素间等价关系和集合的分类是现代数学中的基本概念。这两个概念既抽象又重要,初学者往往感到困难 ,而对等价类数目的计算,更难以掌握。计算等价类数目一般除了应用等价的定义、定理,性质以外无一定的规律可循,碰到具体问题要具体分析。本文举例讨论有限集几种重要等价类数目的计算。它在数学和实际中都有重要的应用。 　　设 R是集合 A上的等价关系,对于任一个 a∈ A可以构作一个 A的子集 [a]R,叫做 a对于 R的等价类,即〖 a]R={b|b∈ A且 a R b}。显然 [a]R是 A内所有与 a有等价关系 R的元素所构成的集合,这些 A的子…     

一类变换半群的秩

设Tx为集合X上的全变换半群，E是X上一个等价关系．令TE(X)={f∈TX；↓A（x，y）∈E（f,x),f(y))∈E}，则TE(X)是Tx的一个子半群．本文讨论对于一个较为特殊的情况，即E只有两个等价类，且每个等价类有n(n≥3)个点．结果发现，这时TE(X)有一组生成元，含有5个元素，从而确定了TE(X)的秩不超过5．     

集合上的等价关系的构造

给出了利用集合的划分得到等价关系的定理另外一种证明.     

一个二元二次同余方程解的计数

设n是任意正整数,令Z_n是模n的剩余类环,并且Z^*_n是模n的即约剩余类环,即Z^*_n={s:1≤s≤n, gcd(s,n)=1}。通过利用同余理论与指数和的相关结果来研究集合T(a,b,c,n)={(x,y)∈(Z^*_n)²:ax²+by²+c≡0 mod n}的元素个数并给出集合T(a,b,c,n)元素个数的确切计算公式。