环的零因子及其有关问题

研究环的零因子及其有关问题,并讨论了ｎ阶矩阵环Ｍｎ（Ｒ）和模ｎ的剩余类环有零因子的条件     

一类有限环存在的必要条件

对固定的正整数ｋ，本文给出：满足ｎ（ｎ－ｋ）〈│Ｒ│〈ｎ（ｎ－ｋ＋１），且恰有ｎ（ｎ≥２）个左（右）零因子环Ｒ存在的必要条件，并且对ｋ＝１，２，３，４给出了结果。     

含有限个零因子的环的阶

设Ｒ是含个左零因子的环。讨论：在ｎ＋１到ｎ＾２－１之间，环Ｒ的阶ｍ的取值情况。     

一类有限环元数的上界

本文证明了具有ｎ（ｎ≥２）个左（右）零因子的环Ｒ，当／Ｒ／〈ｎ＾２，必有／Ｒ／≤ｎ＾２／２。     

一类有限环元数的上界

本文证明了具有ｎ（ｎ≥２）个左（右）零因子的环Ｒ，当｜Ｒ｜＜ｎ２时，必有｜Ｒ｜≤ｎ２２     

一类有限零因子环存在的必要条件

对固定的正整数Ｋ，本文给出了存在Ｒ＝ｎ（ｎ－ｋ）且恰好具有ｎ（ｎ≥ｋ＋１）个左（右）零因子的环Ｒ的一个必要条件，并由此给出确定ｎ取值范围的简单方法。     

一类有限零因子环存在的必要条件

对固定的正整数ｋ，本文给出了存在｜Ｒ｜＝ｎ（ｎ－ｋ）且恰好具有ｎ（ｎ≥ｋ＋１）个左（右）零因子的环Ｒ的一个必要条件，并由此给出确定ｎ取值范围的简单方法．     

一类有限环存在的必要条件

对固定的正整数ｋ，本文给出：满足ｎ（ｎ－ｋ）＜｜Ｒ｜＜ｎ（ｎ－ｋ＋ｌ），且恰有ｎ（ｎ≥２）个左（右）零因子环Ｒ存在的必要条件，并且对ｋ＝１，２，３，４给出了结果．     

零因子个数为n,阶数为(n~2)/2的环

证明了具有ｎ（＞２）个左（右）零因子的环Ｒ,当｜Ｒ｜＝ｎ２２时,必有ｎ＝２ｓ＋１（ｓ∈Ｎ）,｜Ｒ｜＝２２ｓ＋１,且Ｒ的特征是２,４或８．又当Ｒ是特征为２的可换环时,Ｒ只能是有４个零因子的８元环．     

存在n阶非可换的充要条件

设ｎ〉１为整数。本文给出了存在ｎ阶非可换环的充要条件，并讨论了低阶非可换环的状况。     

存在n阶非可换环的充要条件

设ｎ＞１为整数．本文给出了存在ｎ阶非可换环的充要条件，并讨论了低阶非可换环的状况．     

正规GPP环上的多项式环

给出正规ＧＰＰ环上多项式的性质，证明了环Ｒ是π－正则环的充要条件是Ｒ的任意元ｒ存在自然数ｎ，使得Ｒ（ｘ）＾ｎ＋Ｒ（ｘ）ｘ是投射Ｒ（ｘ）－模。     

层环和层域

本文推广了环和域的概念，提出了新的代数系统———ｎ层环和ｎ层域。作为特例，当ｎ＝１时，即为普通的环和域。最后，举出了有关层环和层域的若干例子。     

关于Gupta的一个问题

Ｇｕｐｔａ曾经得到：定理Ａ：若Ｒ是半质环,满足Ｇ（ｎ）,Ｇ（ｎ＋１）条件,且Ｒ有单位元,则Ｒ是交换环。定理Ｂ：若Ｒ是半质环,满足Ｇ（２）条件,则Ｒ是交换,同时Ｇｕｐｔａ提出如下问题：若Ｒ是半质环,满足Ｇ（ｎ）条件,则ＲＪ 否为交换环？本文给出了的回答。     

环的交换性的两点注记

讨论半素环和有单位元环的交换性，用较初等的方法证明如下两个定理，并利用这两个定理对近期的一些结果作了推广。定理１．１环Ｒ为无零因子环，ｍ和ｎ为给定自然数且ｍ＞ｎ．若有ｘ￣ｍ－ｘ￣ｎ∈Ｚ（Ｒ），则Ｒ可换。定理２．２环Ｒ有单位元，ｍ，ｎ为正整数。设（Ⅰ）设ｍ＿ｉ，ｎ＿ｉ（ｉ＝１，２…，ｋ）为非负整数，满足：且存在ｉ，ｊ使ｉ＞ｊ而ｍ＿ｉｎ＿ｊ≠０．若Ｒ为ｌ－扭自由的，且都有：则Ｒ可换。（Ⅱ）若有，其中ｍ＿１＋ｍ＿２＝ｍ，ｎ＿１＋ｎ＿２＝ｎ，ｍ＿１，ｍ＿２，ｎ＿１，ｎ＿２为自然数，且Ｒ为ｈ－扭自由的，则Ｒ可换。     

交换环上矩阵的一些性质

将有理整环上矩阵的一些性质，推广到交换环上，得到下列结果：对于任一交换环Ｈ，ｍ为Ｈ上的一非零元素，Ｔ为Ｈ上的ｎ阶对称矩阵，则必存在一Ｈ上的对称阵Ｓ和一个非零元素α，使得｜αＴ－ｍＳ｜＝ｍｉαｊ（ｉ，ｊ为满足ｉ＋ｊ＝２ｎ，且 ｉ≥ｎ的任意非负整数）。具中 ｜αＴ－ｍＳ ｜表示矩阵 αＴ－ｍＳ的行列式的值。以此为基础，得到交换环和主理想环上矩阵的一些性质。     

关于Г─环的强素根与强Jacobson性质

本文证明了强素根是Г－环的特殊遗传根，若Ｒ是Г─环Ｍ的右算子环且左ｄｕｏ，则Ｓ（Ｍ）＝Ｓ（Ｒ）＊＇，．强ＪａｃｏｂｓｏｎГ─环定义为其所有同态象的素根与强素根一致，建立了Г─环Ｍ、矩阵Г＿（ｎ，ｍ）─环Ｍ＿（ｍ，ｎ）及Ｍ的右算子环的强Ｊａｃｏｂｓｏｎ性质之间的关系。     

四元数除环上n阶矩阵的若干性质

阐述了四元数除环上的ｎ阶矩阵与复数域上矩阵及实数域上矩阵的关系，并把复数域上ｎ阶矩阵的若干性质推广到四元数除环上．     

关于D.R.Stone的一个问题的注记

设Ｒ是有单位元的结合环，Ｊ是Ｒ的Ｊａｃｏｂｓｏｎ根。如果对Ｒ的二个极大左理想Ａ，Ｂ，存在Ｒ中可逆元ｐ，使Ａｐ＝Ｂ，则称Ａ与Ｂ共轭。本文证明了：如果Ｒ的所有极大左理想都共轭，则ｎ阶矩阵环Ｒｎ×ｎ也有同样的性质，并且Ｒ是局部环或Ｒ／Ｊ是单环。本文还给出单模同构与极大左理想共轭之间的关系。     

构造及判定Liénard方程至少有n个极限环的电子计算机方法

本文给出构造Ｌｉｅｎａｒｄ方程至少具有ｎ个极限环和判定 Ｌｉｅｎａｒｄ方程至少具 有ｎ个极限环的电子计算机方法，同时，可以绘出特征曲线Ｆ（Ｚ）和极限环的图 形，因而能清楚地看出极限环的个数和相对位置，这就为极限环理论研究提供了可靠 的信息，也可用于解决非线性振动的实际问题。