关于多项式的付氏级数展开问题

给出了将m次多项式展开成付立叶级数时,求付氏系数的积分展开式及积分的任一项展开公式并给出了由首项迅速简捷地求出积分的全部展开式的方法。从而简化了多项式展开成付氏级数的运算。设f(x)是一个m次多项式,它以2l为周期,将f(x)展开成付氏数,在求付氏系数时,得到结果:系数α_n的积分展开式共m+1项,其中第k项为 (-1)(k+3)(k+2)/2f~(k-1)(x)· sin[nπx/l+1+(-1)~k/2 π/2]/(nπ/l)~k,对b_n也有类似的结果。     

一个素数和一个素数的k次方和问题

设k≥ 2 ,Hk 表示一个正整数n的集合 ,使对任意的正整数q ,同余方程a +bk≡n(modq)在模q的既约剩余系中有解a ,b .Ek(x)表示n≤x ,n∈Hk,但不能表成p1+p2 k=n的数的个数 ,则在GRH下有Ek(x) x1-2h(k)4 k- 1 +ε,这里h( 2 ) =316 ;k>2 ,h(k) =4k-12× ( 3× 4k -2 +1)k.     

数论函数方程kφ(Y)=φ2(Y)+S(Y 8)的解

该文讨论了包含φ(n)、φ_e(n)与S(n)3个数论函数的方程kφ(Y)=φ₂(Y)+S(Y ⁸)的可解性.利用这3个数论函数的性质,得到了该方程只在k=1、2、4、5、9、11时有正整数解,并给出了其具体的正整数解,其中函数φ(n)是Euler函数,函数φ_e(n)是广义Euler函数,函数S(n)是Smarandache函数.     

Cl0,2k+1的张量积分解式与矩阵表示

利用实Clifford代数的周期性研究实Clifford代数Cl0,2k+1的张量积分解式和矩阵表示.在Cl0,2k+1中心同构于瓘和瓗与瓗直和的条件下,得到了Cl0,2k+1的统一张量积分解式Cl0,2k+1≌k-δCl1,1Cen(Cl0,2k+1)δCl0,2(2k+1≡αmod 8,δ=[1-{α/3}])和统一矩阵表示Cl0,2k+1≌Mat(2k-δ,Cen(Cl0,2k+1)δH)(2k+1≡αmod 8,δ=[1-{α/3}]).     

关于数论函数σ(φ(n))的下界

对于正整数n,设σ(n)、(?)(n)分别是n的约数和函数和Euler函数.本文证明了:当n是幂数 时,必有σ((?)(n))>6n/π2.     

3正则3连通图的转发指数

n阶连通图G的路由选择R是由连接G的每个有向顶点对的n(n-1)条路组成.R经过G的每个顶点(每条边)的路的最大条数称为G关于R的点转发指数ξ(G,R)(边转发指数π(G,R)).对G的所有路由选择R,ξ(G,R)(π(G,R))的最小值称为G的点转发指数ξ(G)(边转发指数π(G)).对于k正则k连通图G, Fernandez de la Vega和Manoussakis [Discrete Applied Mathematics, 1989, 23(2):103-123]证明ξ(G)≤(n-1)·[(n-k-1)/k]和π(G)≤n[(n-k-1)/k],并且猜想ξ(G)≤[(n-k)(n-k-1)/k].我们分别改进了ξ(G)≤(n-1)[(n-k-1)/k]-(n-k-1)和π(G)≤n[(n-k-1)/k]-(n-k),并且证明了猜想对k=3的情形.     

关于Euler公式的推广及其精确化

对于调和级数(?)1/k=1+1/2+…+1/k+…的部分和 H_n=(?)1/k 的估计,Euler 曾给出了著名的公式:H_n=c+lnn+r_n (2)这里 c 为 Euler 常数,而 r_n→0(n→∞)文[1]定出了无穷小量 r_n 的阶,并且改进了(1),得到     

有关Euler函数φ(n)的几个非线性方程

令φ(n)是Euler函数,它是数论中重要的数论函数之一.包含Euler函数φ(n)的线性方程整数解的研究成果极为丰富.本文考虑了当b取某些整数时的包含Euler函数φ(n)非线性方程φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)±b.对于奇数b,利用初等的方法证明了该方程有整数解时b,k1与k2的一些条件.并结合所给出的条件讨论了几个具体方程的整数解,给出了它们的各自的整数解.对于偶数b,讨论了一个具体形式的方程的整数解,利用初等的方法给出了其全部的整数解.     

渐近估计式(sum form n≤x) φ(n)=(3/π~2)x~2+O(xlogx)的推广

设φ(n)是 Euler函数 ,本文将渐近估计式 ∑n≤ xφ(n) =3π2 x2 +O(xlogx) (x >2 )进行了一系列推广 ,给出了∑n≤ xnαφ(n) ,∑n≤ x(-1 ) n- 1 nαφ(n) ,∑n≤ xp | nnαφ(n) ,∑n≤ xp | nnαφ(n)等和式的渐近估计式     

NA序列Chung型对数律的精确渐近性质

令{ξn,n≥1}为零均值严平稳的负相伴(NA)随机变量序列,满足Eξ12∞和0σ2=Eξ12+2∑k=2∞Eξ1ξk∞.记Sn=∑k=1n ξk,Mn=∑ k=1n|Sk|,n≥1.利用NA序列中心极限定理和概率不等式,对边界函数和拟权函数得到了Chung型对数律的精确渐近性质.