积分控制收敛定理的推广

本文目的是推广积分控制收敛定理(见〔1〕177,页),所用符号均取自〔1〕。定理设E 是完全测度空间(X,R,μ)上的μ—可测集,且是σ—有限的。设{h_n},{f_n)},{g_n},h,g 均是E 上实值η—可积函数,且满足下列条件:     

勒贝格不可测集类Z的一些性质

在闭区间〔0,1〕中任取一数ξ,以E(ξ)表示〔0,1〕中与ξ“相亲”〔1〕的实数全体。在每个“相亲集”E(ξ)中任意取定一个代表数组成一个集合Z,这就是通常所说的勒贝格不可测集,它随着代表数选取的不同而不同。一切这样的集Z构成的集类记作Z。本文的目的就在于给出这种集类的若干特征。定理1 Z中任何一集的势为C(连续点集之势),而Z的势为2~c(Z的一切子集构成的集类的势)。     

定义Lebesgue外测度的一种方法

传统的实变函数教材,对 Lebesgue 外测度的定义,大都采用“开区间列复盖”的办法,由于一个开区间不能分解成两个或更多个互不相交的开区间之并,两个开区间的差集可以不是开区间的有限并,因而在讨论问题时很不方便,但对于左开右闭区间却不会发生这样的问题,本文将 Lebesgue 外测度定义中的“开区间列复盖”改为“左开右闭区间列复盖”,这样不仅对讨论问题带来许多方便,而且由于 n 维欧几里得空间中全体“左开右闭区间”(包括空集)所成的集类是一个半环,从而使 Lebesgue 测度的建立与抽象测度的     

关于累次积分的一条定理

在多元函数积分学中,讨论重积分与累次积分的关系是十分重要的。它给出了计算重积分的一个简便的、行之有效的方法。在勒贝格积分理论中,有一条著名的富比尼定理,这个定理可以叙述为: (1)设f(x,y)是矩形I=〔a,b〕×〔c,d〕上的勒贝格可积函数,则在〔a,b〕上除去一个零测度集以外,f(x,y)作为y的函数是勒贝格可积的,而且函数(?)在〔a,b〕上勒贝格可积(在上述零测度集上,φ(x)可任意定义),同时以下等式成立:     

关于函数连续点集的一些性质

本文主要是讨论有关函数连续点集势的某些性质。我们首先讨论:假若一个函数在一个点集上处处有极限,那末它的连续点有多少呢?下面的定理1就是对这一问题的一个回答。定理1 设E是n维欧氏空间R~n中的一个点集,f(x)是定义在E上的取值为有限实值或无穷的函数,满足如下条件     

可用积分表示的线性泛函

用M表示集Z上某些有界(实值)函数组成的线性空间,Φ为M上的线性泛函。要讨论Φ是否可表示成积分,本文给出一个充要条件。有关这方面的结果:当Z为紧拓璞空间时有Riesz定理(〔l〕,p.184),当M为格时有下面的Daniell定理(〔1〕,p.175)。 Daniell定理 设M为集Z上某些函数组成的线性空间,包含常数函数1。又设M为格,即当f∈M时必有|f|∈M,对M上的 Daniell积分Φ:即Φ为M上的线性泛函,f≥0时必有Φf≥0,f_n↓0时必有Φf_n↓0,必存在σ(M)上的测度μ使Φf=∫fdμ。这里,σ(M)表示使M中每个f为可测的最小σ环。     

分形上函数的H~s-导数

设E是实数集R中一个要s-紧集,利用其本身的离散结构和s-维Hausdorff测度分别给出了E上实值函数的H~s-导数的定义、性质、求导法则以及导数中值定理等,对此建立了分形上一元函数的导数理论.     

FUZZY半测度与FUZZY测度

Fuzzy 可测集与 Fuzzy 测度的概念肇始于 L.A.Zadeh 在〔1〕中提出的 Fuzzy 事件与 Fuzzy 概率测度。七十年代 M.Sugeno 在〔2〕中从另一途径建立了不必具有可加性的一种 Fuzzy 测度与Fuzzy 积分理论。最近,E.P.Klement 与 W.Schwyhla 在〔3〕与〔4〕中给出了 Fuzzy 概率测度与有限 Fuzzy 测度的积分表示定理。何家濡在〔5—8〕中从严格的公理系统出发,建立了 Fuzzy测度空间、Fuzzy 概率空间以及(正规)Fuzzy 半测度空间,而且在〔9〕中发展了半测度的概念,提出了建立和扩张测度的另一种非传统的框架,同时在此半测度的框架下建立了 S 型积     

具一致收敛性的函数序列

本文目的在于证明属于某函数集合(其中每个函数定义于闭区间[a、b],而取值于完备度量空间x)的函数的序列的一致收(佥欠)性,并作为p(?)lya定理的进一步推广.同时用简单例子指出Behrend在M ath·Rev.所谈到P(?)lya定理推广中不够正确的地方[1].设X是一完备度量空间,并用M(X)表示满足下列三条件的定义于闭区间[a,b]而取值于空间X的函数f(x)的集合:     

关于测度的弱收敛

如对任意有界连续实函数g,都有lim∫_Qgdμ_n=∫_Qgdμ,称测度序列{μ_n}弱收敛于μ,记作μ_n??μ.文〔2〕在取值于Banach空间中函数的Bochner积分意义下推广该极限.该文则在取值于(F)-空间中抽象函数的Bochner积分意义下作进一步推广.     

哥西型积分各阶可导的一个简明证法及推广

设C由有限条逐段光滑曲线C (i=1,2,…,n) 所构成,(?)(S)在C上连续,至多在C上有有限个第一类间断点,则(?)称为哥两型积分。在解析函数各阶可导的证明以及圆内狄里赫莱问题的解的证明中都用到它。若C为一条逐段光滑曲线,(?)(S)在C上连续,在一般复变函数教科书中都谈到它存在任意阶导数,且为(?)即相当于在积分号下对Z求n阶导数。此定理的直接证明可见〔1〕,但此法以估计为主,比较麻烦,在一般书中此定理都不给予证明,本文修改介绍〔2〕给出的一个证法,此法充分发挥归纳法的作用,且本文不用含参变量复积分的知识,因为这个内容在基础课中是没有的,并他证明更为简明一些,以供     

闭凸集值测度的判定定理

本文给出了闭集值测度与闭凸集测度的判定定理,并证明了几个闭集值测度。设R~m为m维欧氏空间,以(?)、(?)、co(?)、co(?),co(R~m)分别表示R~m中的闭集、紧集、闭凸集、紧凸集、凸集的全体。对于A(?)R~m ,记     

一致凸Banach空间中集值系解的存在性定理

本文应用集值映射的不动点理论,得到了如下结果: 定理1 设 (1)E是一致凸Banach空间X的非空有界闭凸子集; (2)F是E×E→2~E的闭映射且F(E×E)为相对紧集; (3)映射G:E×E→CCB(E)满足条件ⅰ)G(x,y)对x连续,且关于x对y一致连续; ⅱ)存在满足下述条件的函数φ,“φ是〔0,∞)到〔0,∞〕的非减,上半连续函数,且对t>0,有limφ~n(t)=0”,使对任意x,y_1,y_2∈E,成立     

关于菲赫金哥尔茨定理的改进

实变函数论中的菲赫金哥尔茨(?)定理是这样的: 若F〔f(x)〕对于所有绝对连续函数f(x)常为绝对连续函数,则F(x)满足李卜希兹条件。本文利用磨光函数的方法,使上述定理中f(x)的范围缩小为满足|f′(x)|≤1的函数,从而将菲赫金哥尔茨定理的条件大大减弱。随之可得出两个推论。现叙述如下: 定理若F〔f(x)〕对于所有满足|f′(x)|≤1的函数f(x)常为绝对连续函数,则F(y)(y∈〔a,b〕)满足李卜希兹条件。     

可测函数的一个逼近问题

本文给出了几乎处处上半连续的函数族测度逼近几乎处处有限可测函数的一个充要条件,并由此给出几个直接结果。定义设f(x)是〔a,b〕上的可测函数,S是〔a,b〕上的可测函数族,称S测度逼近f(x)是指出任意ε〉0和δ〉0,存在g(x)∈S,满足 mE(|f(x)-g(x)|≥ε)〈δ,其中E(|f(x)-g(x)|≥ε)={x|x∈〔a,b〕,|f(x)-g(x)|≥ε},“m”为集合的测度符号。     

可能性测度与一致信任函数扩张全体的半格结构

<正> 可能性测度和一致信任函数可被用于专家系统中作为人们对某些研究对象的主观评估。在以前的一些文献中(参见〔1〕、〔2〕、〔5〕),确定一个可能性测度或一致信任函数需要足够精细且相当完整的知识。但在实际问题中,并不总能提供如此多的信息。可能性测度和一致信任函数的扩张理论为充分利用粗糙残缺的信息提供了理论依据和实施方法。因而,本文结果可被应用于信息处理过程。 在本文中,设X是一个非空集,P(X)是X的势集,C是P(X)的任意给定的一个非空子集,μ:C→〔0,1〕是从C到〔0,1〕中的一个映照,以下,我们约定:∪{·}=,     

实数集中分形上函数的连续性

针对实数集R中一个紧的s-集E在欧氏拓扑下的完全不连通性,给出了E上实函数的在欧氏拓扑下的T-连续和Hausdorff测度下的Hs-连续的定义、性质、运算及一些相关定理,对此建立了分形上一元函数的连续性理论.     

n-维可测函数的本性定理

将一维勒贝格可测集的全密点定义推广到n-维可测集,将一维空间的函数间断度概念、相对间断度概念推广到n-维空间;根据全密点定义,利用n-维维他利覆盖定理与鲁金定理直接证明`n-维勒贝格可测集几乎所有的点都是全密点;由函数间断度与相对间断度概念得到n-维勒贝格可测函数与一个几乎处处连续的函数几乎处处相等的结论.     

关于Vitali的遮蓋盖定理

本文对于尽人皆知的Vitali遮蓋定理作进一步的讨论。为简便计,这些讨论都是在一维空间里进行的.设E是一个点集,M是闭间隔族,其中每一个都不退化为一点.若对于x∈E及任意∈>0存在d∈M使得x∈d,md<∈则称点集E依Vitali意义被M所遮盖.我们常把M中可能存在的可数多个的两两不相交的闭间隔记为:(1)d_1,d_2,…,d_k,…,d_id_j=0(i≠j).定理(Vitali).若有界集E依Vitali意义被M所遮盖,则对于任意∈>OM中存在有限个两两不相交的闭间隔.(2)d_1,d_2,…,d_n d_id_j=0(i≠j)使得     

Fuzzy测度空间上的泛积分

本文利用R_+=〔0,∞〕上的两种二元运算给出了Fuzzy测度空间上非负可测实函数泛积分的定义,证明了泛积分的一些性质,讨论了泛积分序列的几个收敛定理,并论证了〔1〕,〔3〕,〔4〕中有关积分的定义均可作为泛积分之特殊情形。