Camassa-Holm方程的活动标架应用

研究对象是数学物理等领域的浅水波模型Camassa-Holm方程.正规化Maurer-Cartan形式的基是寻找Camassa-Holm方程解的不变性的重要工具,由于CamassaHolm方程的非线性和经典活动标架法的局限性,该方程的正规化Maurer-Cartan形式的基尚未被给出.基于等变活动标架理论,运用Maple软件,本文给出了求解CamassaHolm方程正规化Maurer-Cartan形式的基的一种有效方法.该方法克服了经典活动标架法的局限性,只用到无穷小决定方程组和截面正规化的选取,甚至没有用到活动标架、微分不变量、不变微分算子的显式表达式,是一种非常高效的算法.结果可用于研究Camassa-Holm方程解的不变性,并将有助于进一步研究海洋、大气、非线性动力学等领域中运动的规律和趋势.     

Whitham-Broer-Kaup方程的微分不变方程

研究海洋科学、非线性动力学、数学物理等领域的重要模型Whitham-BroerKaup方程.Whitham-Broer-Kaup方程的微分不变方程和正规化微分不变量在运用微分不变量求解Whitham-Broer-Kaup方程过程中起到重要作用.由于该方程非线性的复杂性和经典活动标架法的受限性,运用最新的等变活动标架理论,结合Maple软件求解了难以求解出的该方程的微分不变方程和正规化微分不变量.此方法突破了以往方法的局限,仅使用无穷小决定方程组,选取适当截面,不再受限于经典活动标架法的几何范围,在计算上具有高效性和可操作性.得到的结果能够用于利用微分不变量寻找WhithamBroer-Kaup方程的解和不变性质以及研究水波、大气等非线性运动的本质.     

相似几何中的活动标架

利用Fels和Olver的活动标架法,探讨2维和3维相似几何中曲线的具体活动标架和微分不变量．得到了2维和3维相似几何中曲线的微分不变量在局部坐标下的具体形式,相应的Frenet标架和公式．活动标架法提供了研究相似几何在相似变换群作用下的几何性质的方法．     

一种非线性系统的群叶状方法

通过研究等价活动标架理论与非线性系统精确解的关系,提出一种基于活动标架理论的群叶状方法来求解微分方程的精确解,并用计算机代数得到了1+1维非线性偏微分方程的变量分离的新精确解,验证了群叶状方法的有效性和便捷性。从而推广和丰富了非线性系统的研究内容,该方法也适用于其他的复杂非线性系统。     

活动标架在对象识别中的应用

基于Fels-Olver等变活动标架理论,借助构造活动标架的经典方法,得到了平面上欧几里得曲线的不变量和微分不变量,即曲率和曲率关于弧长参数的导数(包括关于弧长参数的所有高阶导数).由这些欧几里得微分不变量可以构造出曲线的欧几里得签名曲线,而签名曲线在刚性运动下是不变的.在计算机视觉中,签名曲线可以广泛地用于对象识别、视觉跟踪和对称检测.此外,在Cartan等价理论是签名曲线的基础理论支撑下,结合微分不变量在对象识别方面的抗噪优势,对签名曲线进行数值逼近,并用此方法给出若干欧几里得曲线的微分不变签名曲线.所给实例显示了基于曲线的微分不变量方法在计算机视图领域中的有效性.     

相似空间中不变的欧拉-拉格朗日方程

利用Fels和Olver的等变活动标架法及Kogan和Olver的诱导的不变变分二重复形对3维相似几何中曲线微分不变量的不变变分问题进行了研究.给出了3维相似几何中相似变换群的延拓无穷小生成子,得出了3维相似几何中曲线微分不变量的变分所对应的具体的欧拉-拉格朗日方程.     

三维欧氏空间中的球面曲线

依据经典微分几何空间曲线的基本理论与特征,采用一种新的活动标架——三维欧氏空间中的球面Frenet标架,并利用三维曲线的Frenet标架场,对三维欧式空间中的球面曲线进行研究,得到了在三维空间E~3下的贝特朗、曼海姆及从切等特殊曲线,给出了一个由曲线的曲率与挠率的一阶常微分方程描述的三维欧氏空间中的球面曲线,得出了比对应微分方程阶数更低的条件,且大大简化了计算过程.     

波动方程u_(tt)=u_(xx)在不变群下的不变解

利用PDE在Lie群下的不变性理论研究了波动方程utt=uxx在不变群下的不变解,并给出波动方程在不变群下的不变形式和不变解.     

方程kt=k2(kθθ+k)在容许群下的不变解

利用PDE在Lie群下的不变性理论研究了方程kt=k2(kθθ k)在不变群下的不变解,并给出方程在不变群下的不变形式和不变解.     

非线性与线性微分系统的等价关系研究（英文）

建立了一类时变非线性微分系统与线性微分系统之间的等价关系,给出了一类二次微分系统具有有理分式形式的反射函数的充分条件。并应用所得结论研究了二次微分系统及时变Kolmogrov系统的周期解及其定性性态.     

用改进的双曲正切法求解KP方程新的精确解

提出一种改进的用以求解非线性偏微分方程新类型精确解的双曲正切函数求解算法,并给出其符号计算方法和实现步骤的归纳描述.基于该新方法,研究了非线性系统中经典Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程新的孤立波形式精确解构造.结果表明,该方法可以有效求解非线性偏微分方程新的形式复杂的精确解.     

非线性与线性微分系统的等价关系研究

建立了一类时变非线性微分系统与线性微分系统之间的等价关系,给出了一类二次微分系统具有有理分式形式的反射函数的充分条件.并应用所得结论研究了二次微分系统及时变Kolmogrov系统的周期解及其定性性态.     

R~3的射丛上方程u_(xx)+u_(yy)+λu~p=0的不变群和不变解

利用PDE在Lie群下的不变性理论研究了方程uxx+uyy+λup＝0在不变群下的不变解,得到相应的一些几何不变群,并给出方程在不变群下的不变形式和不变解.     

一个奇摄动四阶微分方程的非线性混合边值问题

研究了一个带非线性混合边界条件的四阶非线性微分方程的奇摄动边值问题。运用合成展开法构造了该问题的形式渐近解,并利用微分不等式理论证明了该问题解的存在性,给出了渐近解关于精确解的误差估计。     

一类非线性二阶微分系统的可解性

利用上下解方法，研究一类非线性二阶微分系统解及正解的存在性，得到了该微分系统解的存在性结论，同时给出了应用的例子。     

利用MSE-法求Whitham-Broer-Kaup方程组的行波解

通过对一个简单方程变形的方法,来构造数学物理与工程学中的非线性发展方程精确解的方法 (MSE),研究Whitham-Broer-Kaup方程组的行波解,得到了Whitham-Broer-Kaup方程组的几组新的更广义类型的精确解,其中包含一些新的孤立波解和周期波解.相比之前的求非线性发展方程精确解的方法,这种方法在精确解的构造过程中更具一般性,并且计算过程简单明了,不需要借助于任何复杂的符号计算软件.这一方法还可以被应用到其它非线性发展方程、常微分方程解的研究过程中.     

一类级联系统的微分无源性

微分无源性将微分存储函数和微分李雅普诺夫函数联系起来,是研究非线性系统稳定性的有力工具.通过判断系统解之间的距离研究系统解的跟踪、同步等问题.研究了一类级联系统的微分无源性,讨论了保证系统具有微分无源性的条件,并给出这类级联系统具有的一些性质.     

奇摄动二阶非线性方程混合边值问题

本文研究奇摄动二阶常微分方程非线性混合边值问题。利用复合展开法,构造了高阶边界层形式渐近解,并借助微分不等式技巧,证明了原问题的解的存在性,且给出解的一致有效渐近估计。     

非线性微分-差分二元Volterra晶格方程的精确解

把(G′/G)展开法推广应用于研究非线性微分-差分二元Volterra晶格方程的精确解问题,借助数学软件计算得到该方程的双曲函数和三角函数等形式的精确解;当参数取特定的值时,应用该方法又得到一些特殊形式的扭结型孤立波解及奇异行波解。比较发现,该方法比用双曲正切法能得到更多类型的精确解,从而证实了该方法研究非线性微分-差分方程精确解问题的有效性。     

两体量子模型的代数动力学方法求解

引入广义坐标和广义动量,将非线性自洽两体量子模型表述为经典不含时哈密顿系统并实现了去约束经典哈密顿量的正则化。量子系统的整体规范不变性,体现在去约束经典哈密顿量和哈密顿动力学关系的不变性中。利用代数动力学方法求解经典哈密顿方程,得到了两体量子系统的六阶近似分析解。