Rosenau-RLW方程的非线性守恒差分格式

对Rosenau-RLW方程的初边值问题研究差分数值计算方法,提出了一个带有加权系数θ的两层非线性差分格式。格式模拟了方程的两个守恒量,并利用差分解的先验估计和能量方法分析了该格式的二阶收敛性与无条件稳定性。数值结果表明,适当调整加权系数θ,可以大幅提高格式的计算精度。
     

Rosenau-KdV方程的一个线性守恒加权差分逼近

利用LXA加权差分格式的构造思想,在空间层引入加权系数,对Rosenau-KdV方程的初边值问题进行了数值研究,提出了一个具有二阶精度的三层线性空间加权差分格式,该格式合理地模拟了原问题的两个守恒性质,给出了差分解的先验估计,分析了差分解的存在唯一性,用离散泛函分析方法证明了该格式的无条件稳定性与收敛性。数值算例表明,该加权方法是可靠的,且适当调整加权系数可以大幅提高计算精度。
     

两边空间-时间分数阶扩散方程的加权有限差分格式

对于空间-时间分数阶扩散方程的初边值问题提出了一种加权差分格式. 利用能量估计, 得到了差分格式的稳定性. 然后使用数学归纳法证明了在相同的条件下, 所提出的的格式是收敛的. 最后通过一个例子说明了所提出的格式是可靠的、有效的.     

解双边空间分数阶对流扩散方程的二阶隐式有限差分法

给出一类解变系数双边空间分数阶对流扩散方程的隐式有限差分格式,并证明这类格式当分数阶导数 * 时无条件稳定且由此得出其收敛阶为 * 。最后给出数值算例验证。（注：*处代表公式）
     

一种Caputo型时间分数阶波动方程的差分方法

将带阻尼项的波动方程中的阻尼项和对时间的二阶导数,用Caputo分数阶导数替换,从而得到一个带Caputo分数阶阻尼项的分数阶波动方程.对该方程,建立了一种差分格式,证明了此格式差分解的存在唯一性,分析了差分解的收敛性和稳定性,并用数值试验验证了格式的有效性.     

分数阶对流-弥散方程的有限差分方法

本文对分数阶对流-弥散方程的初边值问题进行了数值研究.我们采用移位Grun-wald公式对空间分数阶导数进行离散,在此基础上建立Crank-Nichonlson(简称C-N)差分格式,并讨论了差分解的存在唯一性,然后分析了该方法的稳定性及收敛性,并利用外推法提高收敛阶.数值算例验证了格式的有效性.     

时间分数阶粘弹性方程的一种新的数值解法

含有Caputo型分数阶导数的微分方程在进行数值求解时,常常会用到前面各时间层的数据,这不仅使得运算的复杂性加大,更加剧了数据储存的难度.对时间分数阶粘弹性方程中的Caputo型导数,利用Laplace变换,构建了一种高效的数值格式,论证了该格式数值解的存在唯一性、数值解法的稳定性和收敛性,最后用数值实验验证了格式的有效性.     

时间分数阶对流-扩散方程的有限差分法

时间分数阶对流-扩散方程可以用来模拟由传统的对流-扩散方程演变而来的反常扩散方程.本文针对一类时间分数阶对流-扩散方程提出了一个新的隐式差分格式,时间分数阶导数采用直接离散,空间导数采用中心差分格式离散,讨论了差分解的存在唯一性,并利用能量范数证明了该格式的无条件稳定性、收敛性,分析了收敛阶.数值试验验证了该格式的有效性.     

分数阶Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov方程新的精确解

【目的】构建分数阶Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov方程新的精确解。【方法】结合修正的Riemann-Liouville导数,运用扩展的(G’/G)- 展开法,引入了新的辅助方程。【结果】这些新的精确解包括了双曲函数解、三角函数解以及有理函数解。【结论】得到方程更多的精确解。
     

求解一维线性双曲型方程的高精度紧致差分格式

【目的】双曲型方程是一类重要的偏微分方程,由于寻求问题本身的精确解比较困难,数值方法来求解此类方程有极具深远的意义和实际应用价值。【方法】首先对于一维的线性双曲型方程,在空间上采用Kreiss提出的四阶紧致差分公式进行逼近,时间上采用Taylor级数展开及截断误差修正的方法,推导出一个隐式的紧致差分格式。【结果】该格式在时间和空间上都有四阶精度,截断误差为O(τ4+h4)。【结论】采用Fourier方法分析了该格式的稳定性。数值实验证明提出的格式具有较好的稳定性和精确性。
     

一类非线性波动方程的柯西问题

文章主要考察一类非线性波动方程*的柯西问题解的存在性和唯一性。当*时，通过构造稳定集（位势井）W=*和不稳定集*，得到了W和V在上述方程的流下是不变的，并证明了如果初始能量.*，那么当初值*时，问题存在惟一整体解*；当初值*时，问题的解在有限时刻*发生爆破.（注：*表示公式，见正文）
     

耗散SRLW方程的拟紧致平均隐式守恒差分格式

对具有耗散项的对称正则长波(SRLW)方程的一类初边值问题进行了数值研究。利用紧致差分格式的构造思想,在数值离散时,引入拟紧致项*从而对耗散SRLW方程的初边值问题提出了一个新的三层守恒差分格式,其截断误差为*;分析了新格式的离散守恒律,并合理地模拟了初边值问题本身的两个守恒量;该格式是一个线性差分格式,数值求解时不需要迭代,计算时间比较节约;得到了差分解的先验估计,并用离散泛函分析方法证明了该格式二阶收敛性与无条件稳定性。最后通过数值试验与已有的二阶格式进行了比较,结果表明新格式不仅保持了线性格式计算量小的特点,而且数值精度有了显著地提高,同时数值结果也验证了新格式的二阶精度和守恒性质。(注:*表示公式,见正文 ）
     

一个推广的周期非线性色散波方程的爆破解

使用经典的数学技巧研究了一个推广的周期非线性色散波方程的柯西问题。通过使用Kato半群理论，获得了这个方程局部解的存在唯一性。在关于初值的适合条件下，得到了这个方程的一个精确爆破图景（即解在有限时间爆破当且仅当lim supt↑T{supx∈S|γux(t,x)|}=+ SymboleB@ ）和一个爆破结果（即解爆破的一个充分条件）。
     

时间分数阶反应-扩散方程的隐式差分近似

考虑时间分数阶反应-扩散方程,它是从标准的反应-扩散方程中用分数阶导数α(0<α<1)代替一阶时间导数而得到.提出了一个计算有效的隐式差分近似.利用分数阶离散系数的特点,证明了这个隐式差分近似是无条件稳定的,并且也证明了它的收敛性.最后给出数值例子.     

二维非线性复Ginzburg-Landau方程的一种解法

为了得到一类二维非线性复Ginzburg-Landau方程的周期行波解,采用变化后的F-展开法,即根据齐次平衡原则,利用F-展开法的思想求出其行波解。由于在平面中考虑问题,首先引入了两个波速和一个频率,将原来的奇阶偏导和偶阶偏导共存的偏微分方程化为奇阶和偶阶导数共存的非线性常微分方程;其次根据非线性项和最高阶偏导数齐次平衡可确定复值函数中的最高次项,将常微分方程表示为一类Riccati方程的解的多项式形式的方程;再令多项式的各次幂系数为零,利用Maple数学软件解出用Riccati方程中的待定常数表示的波速、频率与各系数之间的关系,再把结果代入多项式的幂级数中去;最后应用Riccati方程已知的三角函数和双曲函数表示的解,得到方程的多个包络波形式的精确解。
     

Kdv浅水波方程的Crank-Nicolson差分格式

对非线性发展方程数值求解有着重要意义,而非线性发展方程中,Kdv浅水波方程是最典型的非线性色散波动方程的代表。针对Kdv浅水波方程的定解问题,用Crank-Nicolson差分法求解,该法具有良好的稳定性及二阶收敛性,并能数值模拟出孤立波这一物理现象,说明该差分格式是有效的。     

一类Burgers-Constantin-Lax-Majda方程的奇异性

研究了一类广义的Burgers-Constantin-Lax-Majda方程的奇异性问题,这类方程同时具有Burgers方程和Constantin-Lax-Majda方程的许多性质,同时带有非局部项uHu(其中H表示Hilbert变换),证明了这类方程在非负的初始条件下,其解是在有限时间内是爆破的,这些结果在很大程度上推广和延伸了先前的相关结果。