拓展教学内容,培养学生能力——谈谈行列式一个定理的教学

<正> 行列式是高等代数或线性代数课程中的重要内容。关于行列式的展开,有几个重要的定理,为了叙述方便,现列示如下:定理1:n(n>1)阶行列式D等于行列式的任意一行(列)元素与它们对应的代数余子式乘积的和。定理2:n(n>1)阶行列式D的某行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积的和等于0。定理3:(拉普拉斯定理):在n(n>1)阶行列式D中,任意取定k(1≤k1)阶行列式D中,任意取定k(1≤k相似文献   

n阶行列式的一个等式

文[2]证明了一个关于三阶行列式的等式。本文利用矩阵及其子式的运算,将等式推广到n阶行列式,且证明更加简洁。 设有n阶方阵A=(a_(ij))_(n×n),B=(b_(ij))_(n×n)。A中的元素工、a_(ij)的代数余子式记作A_(ij),A之伴随矩阵记作A,即A=(A_(ji))_(n×n)。A的子矩阵、子式、代数余子式的表示全按文献[1]记为:块A     

关于Frobenius的一个定理

§1.Frobenius曾证明了:如果f(λ)表λ的任一多项式,f(A)=0,那末Ψ(λ)|f(λ),其中Ψ(λ)=(△(λ))/(D_(n-1)(λ)),Ψ(λ),△(λ),分别表n阶方阵A的最小多项式,特徵多项式,D_(n-1)(λ)记特徵矩阵λE-A中所有n-1阶子式的最大公因式。Ostrowski,把Frobenius的定理推广到下面的结果:1.设F(x_1,…,x_m)=A_1x_1+…+A_mx_m,Ai为n阶常数矩阵且至少有一个是满秩的,f(x_1,…,x_m)=det|F(x_1,…,x_m)|,f_1(x_1,…,x_m)表,表,的所有n-1阶子式的最大公因式,ρ(x_1,…,x_m)为x_1,…,x_m的任一多项式。如果     

用递归关系计算n阶行列式的规律

给出了用递归关系方法求任意 n 阶行列式的值的一般方法:首先,把已知的 n 阶行列式看作为阶数 n 的一个函数,记为 D(n);其次,按行或按列展开这个行列式,并仔细观察存在于余子式及 D(n)里的关系,建立关于 D(n)的某一递归关系,此关系总为一个齐次的或非齐次的递归关系;最后,借助于 D(0)、D(1)和D(2)等求出递归关系的通解的系数.虽然此法不一定简单,但毕竟是一个有用的方法.     

n阶r-循环行列式的计算及其应用

文章首先给出n阶r-循环矩阵及其行列式的定义;然后,分别用析因子法、作辅助行列式法及特征根法证明了n阶r-循环行列式的计算公式｜D｜=nⅡk=1 f（xk）;最后,给出该公式在两个方面的应用：（1）用来计算具有某些特征的行列式的值;（2）可以推出一些有关多项式的有趣结论．     

创新教育下的行列式概念教学

提出了行列式的新定义——子式降阶法定义,展示了概念形成的思维过程,将行列式的概念与降阶法计算有机地统一,简化了教学过程,降低了难度,使学生受到了数学发现的创新思维训练。     

关于行列式的计算与讨论

在传统的讨论中，大多集中两个方面：其一在近似算法上，即关心的是结果的误差，误差越小越好；其二是一些特殊行列式；而很少关心普通行列式的精确值的算法。一般认为，这是一个NP难题，n阶行列式需计算要n!次n个数之乘积，即计算量在0(n!)上，才可能计算出行列式的精确值。本文讨论了两个内容：首先对普通行列式的值的计算进行了探讨，改进了高斯消去法，将欧几里德求公因子的计算方法加入到高斯消去法中，提供的方法可望在0(cm^3)上计算出行列式的值；第二，对模m上的行列式的计算进行了讨论，给出了不用解同余方程，只需作模运算，就可计算模m的方法。     

特殊行列式D_n(m,k)的计算

给出了计算以数列 {Pn}的项为元素的特殊行列式 Dn( m,k)的一般公式 .以及数列 {Pn}一般项由递推公式 Pn+ 1( x) =s( x) Pn( x) + t( x) Pn-1( x)确定时 ,求数列一般项的公式 ,并讨论了当 Pn=ncλn + P0 λn( c,λ,P0 为常数 )且 m 相似文献   

酉矩阵的子式与余子式的关系

一、引言一般矩阵的子式与它的余子式是毫无关系的,但酉矩阵(或实正交矩阵)则不然.本文导出它们之间的关系.特别有趣的是,n 阶酉矩阵的任何 m 阶子式与它的 n-m 阶余子式其绝对值相等.     

λ阶短哈密顿回路的匹配法

无向权图G(n,m)的任始结点哈密顿回路可分成两条匹配半路径,根据给定λ值,用最小权路径延长法,对所有相关半路径进行匹配,便可完全确定从最短到λ阶短哈密顿回路的匹配法和相应的匹配算法.λ阶短哈密顿回路的匹配法可用于判别权图G(n,m)是否为哈密顿图.     

复方阵的Hermite阵与酉阵和分解的存在性与唯一性

证明了n阶复方阵的Hermite阵与酉阵和分解定理 ,即对任一D∈Cn×n,T =12 (D D 0 ,W =12 (D -D ) ,存在唯一分解D =H U的充分必要条件为W的最大奇异值σ1(W )≤ 1,其中 表示共轭转置运算 ,H是Hermite阵 ,U是特征值的实部不小于零的酉阵 ,且H =T -I -A ,U =W I A ,A =λ1W2 λ2 W4 … λsW2s。此处λ1,λ2 ,… ,λs 是实常数 ,s是W的不同的非零奇异值的个数 ,I为n阶单位矩阵     

论行列式的对角线法则

二阶、三阶行列式有对角线法lJ!IJ。而n阶(n>3)行列式是否也有对角线展开法则,是一个人们很感兴趣的问题。本文论证了行列式对角线法则的新结果,分三部分内容:(一) 给出四阶行列式的对角线展开法则;(二) 提出、讨论第二种对角线展开法则;(三) 证明n阶行列式可以对角线展开,并且有(2n)~(n-1)!/2种方法(n≥3).     

关于Leverrier算法一个新的证明和推广

本文给出了Leverrier算法一个新的证明,并将n×n特征矩阵λI_n-A行列式算法推广到矩阵多项式λ~2I_n-λA_1-A_2。此成果可应用于线性控制系统理论。     

行列式搜索法与解某类特征方程KX=λMX

本文针对K和M均为n阶实对称正定矩阵时的特征方程KX=λMX (A)的广义特征值及其相应的特征向量的求解问题,讨论了: 1.如何用行列式搜索法确定方程(A)在某个区间(0,μ)内的特征值的个数(其中μ>0)。2.反幂法求方程(A)的最小特征值和相应的特征向量的算法构造及其所构造的算法的收敛性问题。3.在行列式搜索法的基础上结合反幂法求方程(A)的任一个特征值的方法。4.初始迭代向量的生成方法,并严格证明了第P个初始迭代向量必能保证所构造的算法收敛到方程(A)的第P个特征值λ_p及其相应的特征向量φ_p。     

求矩阵的广义逆

利用行式和列式的性质,给出了两种求矩阵广义逆的方法:1.伴随矩阵法,若m×n矩阵A的行(列)式|A|≠0,则1|A|A*是矩阵A的广义逆.2.如果m×n矩阵A是满秩的,且A的子式Ni1i2…irj1j2…jr(r=min(m,n))的行列式不等于零,则pN-112…mj1j2…jm0或Nii1i2…in12…n0P是矩阵A的一个广义逆.     

关于Wronskian行列式亏量和的Ozawa问题

若f(z)为有限级λ的亚纯函数,a1,a2……an为f(z)的n个线性无关的小函数，L(f)=W(a1,a2……an,f)为f(z)的Wronskian行列式，T(r,f)=O(r,L(f)δλ表示有限级λ的亚纯函数集合，K(λ)=inff∈δλ ^-limδ→∞N(r,1/f) N(r,f)/T(r,f),则存在只与n，λ有关的正常数d，满足n/3n 2≤d≤1/3使得∑a∈Cδ(a,L(f)≤2-dK(λ）。     

广义行随机矩阵的逆谱问题

非负矩阵的逆谱问题是:确定一个n元复数组σ=(λ0;λ1,…,λn-1)是某个n阶非负矩阵的谱的充要条件.论文结合Brauer秩1扰动定理和广义行随机矩阵的性质,分5种情形给出了n阶非负矩阵实现n元复数组σ=(λ0;λ1,…,λn-1)的充分条件和构造性算法,并且结合具体实例证实了这些算法的实用性和有效性.     

二元二次对角逼近的代数性质

在计算函数的二元二次对角逼近时,要计算3个(m2+2m+1)×(m2+2m+1)阶的行列式,计算量很大.该文给出二元二次对角逼近的对偶性、自变量分式变换下的不变性和对称性,利用这些代数性质可以由某些已知函数的二元二次对角逼近,而不需要计算3个(m2+2m+1)×(m2+2m+1)阶的行列式,来确定出另外一些相应的函数的二元二次对角逼近.     

Dirichlet空间上的Toeplitz算子组的Fredholm谱表示及凸性

首先讨论了Dirichlet空间上Toeplitz算子组Fredholm谱的表示,证明了:当φi∈H∞1(D) C1()(i=1,2,...,n)时,(Tφ1,Tφ2,…,Tφn)的右Fredholm谱SP, re(Tφ1,Tφ2,…,Tφn)与Fredholm谱SP, e(Tφ1,Tφ2,…,Tφn)相同;当φi∈C1()(i=1,2,...,n)时,(Tφ1,Tφ2,…,Tφn)的左Fredholm谱 SP, le(Tφ1,Tφ2,…,Tφn)与Fredholm谱SP, e(Tφ1,Tφ2,…,Tφn)相同.然后讨论了Dirichlet空间上Toeplitz算子与算子组的凸性问题.证明了乘法算子Mz是非凸型的,这与Hardy, Bergman空间上所有乘法算子都是凸型算子不同.也证明了:T=(Tz,Tz2)不是联合凸型算子;若φi∈H∞1(D) (i=1,2,…, n),则W(Tφ1,Tφ2,…,Tφn)是凸集.本文还给出了一个一般性的结论:假定H为Hilbert空间,T∈B(H)为一个有界线性算子,当n=2m时有σ(Tm,Tn)={(λm,λn)λ∈σ(T)}.     

二阶线性椭圆型方程组广义黎曼-希尔伯特问题

考察二阶方程组AU_(xx) 2BU_(xu) CU_(vv) DU_x EU_v FU=g,(1)其中A、B、C、D、E、F 都是2×2阶函数阵,g 为已知函数向量,U 是未知函数向量.方程组(1)为椭圆型的条件是对一切实数λ,行列式