从任意2n—1个整数中必可选出n个使其和为n之倍数

柯召、孙琦提出了如文题所述的猜测.单墫证明了这一猜测.本文的目的是用初等方法证明这一猜测.定理1.p 为素数,从任给2p-1个整数中必可选出 p 个使其和为 p 之倍数.证:任给2p-1个整数 a_1,a_2,…,a_2p-1.从中选出 p 个作和.共有 C_(2p-1)~p=C_(2p-1)~(p-1)个和:S_1=a_1+a_2+…+a_p,S_2=a_1+a_2+…+a_(p-)+a_(p+1)     

整数n为素数的一种判别方法

[1]证明了p为素数时，（p-1)! 1≡0(modp)。本证明了其逆命题，同时给出了一种判别整数n(n≥1）是素数的方法。     

有限p—幂零群的一个新刻划

推广了Itδ的结果,得到下述主要定理.定理1 设G是有限群,N(?)G,G/N p-幂零.那么(i)p为奇素数时,G p-幂零当且仅当N的p阶元均含于Z_(p∞)(G);(ii)p=2时,G 2-幂零当且仅当N的2.2~2阶元均含于Z_(2∞)(G).定理2 设G是有限群,N(?)G且G/N是幂零群.那么G是幂零群当且仅当N的素数阶元与2~2阶元均.含于Z_∞(G).此外,还证明了定理3 设G是有限群.则Z_(p∞)(G)=NI_(G)=∩{M|M为G的极大p-幂零子群}.     

三个著名数学猜想的等价命题

文章运用数论中的一些简单结果,如辛达拉姆筛法与威尔逊定理,建立了哥德巴赫猜想、孪生素数猜想以及费马素数猜想的等价命题。其中哥德巴赫猜想是指每一大于2的偶数都能表成两个素数的和;孪生素数猜想是指存在无穷多对素数(p,p+2);费马素数猜想是指形如Fn=22n+1的整数都是素数。     

5~3P(素数P>5,5■P-1)阶群的构造

(一)本文讨论了5~3p (素数p>5,5p-1)阶群的构造。利用可解群的性质及Sylow定理能够得出5~3p 阶群G必有5~3p阶正规子群G_1,从而G是G_1被5阶循环群的扩张。由此可以得出当p>5,5p-1时~(**),5~3P阶群共有五种类型。讨论5~3p阶群的构造,需要知道5~2p阶群的构造。对于满足上述条件的素数p,     

关于Smarandache LCM函数的一个下界估计

应用初等方法与组合方法研究Smarandache LCM函数SL(n)在2p+1和2p-1上的下界估计问题.给出并证明了SL(2)p+1≥10p+1;SL(2)p-1≥10p+1,其中素数p≥17.     

s个几乎相等的素数的k次方和(Ⅱ)

假定 pθ‖ k,当 p =2 ,2 |k时 ,γ =θ +2 ;其他情况时 ,γ =θ +1。而 R = ( p-1) | kpγ。在GRH(广义 Riemann假设 )下 ,证明了当 s≥ 2 k2 (2 logk +log logk +2 .5 ) ,k >1 1时 ,任何足够大的整数 N≡ s(mod R)都可以表示为 s个几乎相等的素数的 k次方和。     

关于多项式 x~((p-1)p~s) x~((p-2)p~s) … x~(2p~s) x~(p~s) 1的不可约性判定问题

本文将要证明:p 为素数,s 为非负整数时,多项式f(x)=x~((p-1)p~s) x~((p-(?))p~s) … x~(2p~s) x~(p~s) 1在有理数域上不可约。当s=0时,便成著名的分圆多项式;当s=1,p=3时,便是诸多材料中引用过的x~6 x~3 1(见〔1,2〕).     

广义Lehmer数的渐近行为（英文）

整数a称为模p的Lehmer数是指1≤a≤p-1且a+a~(-1)为奇数,其中a~(-1)表示a模p的逆.令M_p为模p的Lehmer数的个数.1994年,张证明了■.设整数c≥2,整数d∈[0,c-1].对每个素数p≡1(mod c),如果a+a~(-1)≡d(mod c),则称整数a为关于模p的(c,d)-Lehmer数.令M_(c,d,p)表示模p的(c,d)-Lehmer数的个数.本文得到■,推广了张的结果.     

整数幂模p剩余的差的均值

设p是奇素数,l,m为满足l■m(mod p-1)的正整数,利用三角和的方法研究了整数的m次幂模p剩余与l次幂模p剩余之差的2k次均值,并得到渐近公式。     

关于Golomb猜想

Golomb 猜想为:在任何有限域 GF(p~n)中总存在两个本原元,它们的和等于1.张肇键和 I.S.Reed 证明了在某些类型的有限域中 Golomb 猜想成立.本文的目的是证明比[2]的定理3和定理5更强的定理,对更多一些特殊情况证实 Golomb 猜想,我们将利用下列引理.引理1 设 q_1,q_2,…,q_k 为 p-1的所有不同的奇素因子,则素数 p 的平方非剩余 g 为 modp 的原根的充分必要条件是 g~((p-1))/2_(gi)(?)-1(1≤i≤k).引理2 设 p=2q+1,p,q 均为奇素数,则从 p 的全部平方非剩余中去掉p-1后全部是 modp 的原根.     

有限群的p-幂零性的一个判定定理

设G是有限群,P是G的Sylowp-子群,其中p是一个素数.利用P的同阶子群的正规化子的p-幂零性以及同阶子群在G中的S-拟正规嵌入性质给出了群G是p-幂零群的一个判定定理.     

关于D.H.Lehmer数及其相关问题

设p是奇素数.对任一整数a且1≤a≤p-1,显然存在唯一的整数0≤b≤p-1,使得ab≡1modp.设N(p)表示同余方程ab≡1modp满足1≤a,b≤p-1,且a和b具有相反的奇偶性的所有整数a的集合,S(p)表示满足a+b≡1modp的所有a,b∈N(p)的解的个数.利用解析方法以及Gauss和的性质,研究了D.H.Lehmer数的相关问题,证明了存在两个整数a,b∈N(p),使得a+b≡1modp,并得到了关于S(p)的一个较强的渐近公式.     

关于模p的一类同余方程解的个数

设p是一个奇素数且满足3|(p-1)。对任意整数k_1及k_2且满足(k_1k_2,p)=1,设N(k_1,k_2;p)表示同余方程k_1x~3+k_2y~3≡1mod p的解的个数,其中0≤x,y≤p-1。该文的主要目的是利用解析方法,高斯和的性质以及S.Chowla,J.Cowles和M.Cowles等人的重要工作研究N(k_1,k_2;p)的计算问题,并给出它的一个精确的计算公式,同时提出几个未解决的问题。     

Hermitian矩阵不等式(英文)

考虑复数域上n阶定正的Hermitian方陣。本文結果基于凸函数的一个引理2.1。假定(?)是E~n上的一个凸域,而Φ(x)=Φ(x_1,x_2,…,x_n)是(?)上对称連續凸函数,若x,y∈(?)且滿足(1.1)(x)<(y),則Φ(x)≤Φ(y)。若A,B皆定正,a_1≥a_2≥…≥a_n,b_1≥b_2≥…≥b_n与c_1≥c_2≥…≥c_n分别为A,B与C=A B的特征根,Φ于(?)={x=(x_1,x_2,…,x_n)|x_i>0 i=1,2,…,n}上滿足引理2.1条件且Φ(λx)=λΦ(x) (对任实λ),則Φ(c)≤Φ(a) Φ(b). 习知Φ=(sum from i=1 to n x_i~p)~(1/p),(p>1);sum from i=1 to ∞x_i~p/sum from i=1 to ∞x_i~(p-1),(11)而当p<1(p(?)0)时,上述不等式反号(定理3.6)。若对p取极限导出著名的Minkowski不等式;定理5.1 tr(A B)~p/tr(A B)~(p-1)≤trA~p/trA~(p-1) trB~p/trB~(p-1),(11,q=p/p-1。当p<1(p(?)0)。正文中,經上式直接导出定理3.5与3.6。本文得到的其他結果,例如定理3.1 tr(AB)≤(trA~p)~(1/p)(trB~q)~(1/q),(p>1,1/p 1/q=1)及当p<1(p(?)0)时,不等式反号(定理3.2)以及定理8.1d(r AB)≥(1 1/tr(AB)/n)~nd(A)d(B)等也是有趣的矩陣不等式。     

ГOPⅢKOB定理的一个注记

设p≡1(mod4)是素数,证明了:ΓOPⅢKOB定理可用于写出1,2,…,(p-1)/2中适合条件p│k2 l2的(p-1)/4个正整数对｛k,l｝.     

关于丢番图方程x(x+1)(x+2)=2p~ky~n的解

设p是奇素数,利用初等方法证明了:当k≥2,n2,且都是整数,则丢番图方程x(x+1)(x+2)=2pKyn没有正整数解(p,x,y).     

Mersenne数的最大素因数

设p是素数.Mp=2p-1是Mersenne数.证明了:当p≥11时,必有P(Mp)>(πp/logp)2或者Q(Mp)>8p2,其中P(Mp)和Q(Mp)分别是Mp的最大素因数和无平方因子部分.     

(i_2i_1i)_*(b_1l_1)在π_*V(2)中的收敛性

利用Adams谱序列,证明了(i_2i_1i)_*(b_1l_1)是永久循环但不是边缘,因此收敛到π_*V(2)中的非零元.其中p≥7为奇素数,q=2p-2.     

关於同馀式的一个定理

定理,若f(x)代表又著,又若s,x,p.n俱为整数且为奇素数,n>o;则有一整数m=m(s,x,n,p)存在适合於 及 证明.先设则因故,故 次设 k 为整数且o< k,o相似文献