简单正交多阵SOMA(4,n)的存在性

设整数k0,n≥2,简单正交多阵SOMA(k,n)是一个n×n的方阵A,它的每一个单元格包含kn-元集S的一个k-元子集且满足:1)S的每个元素在A的每一行和每一列恰好出现一次;2)S的每个2-元子集至多出现在A的一个单元格中.总结了SOMA(k,n)存在的最新结果,并且阐述了它和相互正交拉丁方之间的关系,同时通过直接构造的方法证明了n≥5,SOMA(4,n)的存在性,并且提出了进一步研究的问题.     

偶阶同心幻方的简明快速构造

1 几个基本概念1.1 幻方与幻阵.幻方是由1到n~2个连续的自然数构成的有特殊性质的方阵.幻阵是由n~2个互异的非完全连续的可以不包含1的自然数构成的方阵,具有幻方的基本性质,其构造难度通常小于“幻方”,因为对元素的约束条件放宽了.1.2 配对数.在自然数列1,2,…,n~2(n为≥2的偶数)中,其第i项a_i和倒数第i项a_(n~2-i+1)之和a_i+a_(n~2-i+1)≡n~2+1称项a_i和项a_(n~2-i+1)互为配对数,记作     

偶数阶幻方的完成

构造幻方是组合数学中的一个问题,它是用1到n~2这n~2个自然数作一个n阶方阵,使得每行、每列以及两条对角线上各自n个数字之和都等于s(n)=(1/2)n(n~2+1)。奇数阶幻方早已被完成,本文通过降阶法给出偶数阶幻方的完成。     

关于有限环的阶与它的零因子个数

关于有限环中零因子个数问题Ganesan在[1]中证明了,如果R为一具有单位的交换环,n≥2为R 的零因子个数,则有(?)≤n~2.当n 是素数时,可以构造一个环使等号成立.Ganesan 还提出是否当n 是合数时,也存在环R 使得(?)=n~2.本文将给出这个问题的充要条件和其它一些结果.     

关于sum from n=1 to ∞(1/2m(m∈Z~+))的系数的一个递推式

对于sum from n=1 to ∞ 1/n~(2m)(m∈Z~+),当n-1时,有sum from n=1 to ∞ 1/n~2=π~2/6,并且对它有着许多种不同的证法.通过博里叶(Fourier)级数以及逐项积分,得到关于sum from n=1 to ∞ 1/n~(2m)(m∈Z~+)的和的系数的一个递推关系式,并给出当m=1,2,3,4,5时的结果。     

欧氏空间中超曲面的一个共形不变式的极值问题

本文研究欧氏空间E~(n+1)中,半径比为1:n~(1/2)的标准超环面,是否在环面浸入范围内,使一个共形不变的积分式达到极小位的问题,对于2≤n≤11的情形,证明半径比1:n~(1/2)的标准超环面的共形积分不变式的值,在标准超环面范围内取到最小值.     

幻方三定理

§1 幻方定理定义1:n为正整数,由n~2个数排列成n行n列的方阵,若每行、每列及对角线上诸数之和为一常数k_n,则称此方阵为n阶幻方。k_n为该n阶幻方的幻方值。引理1:若有一个n阶幻方及幻方值k_n,若幻方中每数均加同一数a,则构成一个新的n阶幻方,其幻方值k_n~*=k_n n·a。     

徐桂芳猜想"不存在(4k+2)阶纯幻方"的证明

1 问题的提出 定义设一个n阶方阵的元遍历1～n2的n2个连续自然数,如果它的每一行、每一列以及每一泛对角线的n个元素之和都相等,则称这个方阵为n阶纯幻方[1].     

(n~2,(n+1)~2)中至少有一个素数的证明

证明(n~2,(n+1)~2)中至少有一个素数,是一个众所周知的数论难题(华罗庚1979,(美)阿尔伯特·H·贝勒1998)。本文用筛法先证明一个叫做筛不完原理的定理,使用筛不完原理证明了(n~2,(n+1)~2)中至少有一个素数。还给出素数在自然数中的概率为0的一个新的证法。     

关于互素链的个数

在Entringer.R.C.[2]中的主要结果是:关于互素链的个数S(n),得到logS(n)～n~(1/2),并且,对S(n)的上界,得到S(n)相似文献   

一类包含伪Smarandache函数与欧拉函数的方程

利用初等方法以及伪Smarandache函数和Euler函数的性质,讨论了一个数论函数方程Z(n~2)=φ(n~2)的可解性,证明了该方程仅有正整数解n=1.     

二次多项式n2±n+c表素数、合数的问题

利用整除的性质,研究了二次多项式n~2±n c表素数与合数的问题,给出了Beeger的多项式n~2–n 72491在0≤n≤11000时表素数的个数.     

整函数理论的应用(一)——级数求和

判断一个级数收敛与发散的方法较多,但在知道一个级数收敛后,欲求其和,一般情况是比较困难的,而且通用的方法甚少。贝努里兄弟曾尽全力求级数sum from n=1 to ∞(1/n~2)之和,而未得结果。1736年,欧拉(Kuler)首先求得级数sum from n=1 to ∞(1/n~2)之和为π~2/6。以后又有了:     

TSP最短路径的必要条件初探

对于被访问城市数为n的不对称旅行商问题,构造了一个n行和n列的方阵,每一行上的n个元素为同一个被访问城市;每一列上的n个元素为n个互不相同的被访问城市.依次从该方阵的第一列到第k列上各取出一个城市,同一行上不存在两个被取出的城市,这样取出的城市序列就构成了一条长度为k的路径.主要讨论最短路径的性质:如果一条长度为(n-1)的最短路径能被产生,则该路径上的任一长度为k的路径都为最短路径,k=1,2,…,n-2.该性质为旅行商问题算法研究的基础.     

有向图中路和弧数

设 D 是 n 个点的有向图,k≥1,n≥k~2-2k+9.本文证明了:若|A(D)|≥n~2-(k+2)n+k+2,则 D 中含长 n-k 的有向路.这证明了Sotteau 和 Wojda 的一个猜测对大的 n 成立.     

绝对正则序列强大数律的收敛速度

r·v·序列强大数律的收敛速度问题曾被许多作者讨论过。最近Berbee在[1]中研究了有界非平稳绝对正则序列{η_i,i≥1}强大数律的收敛速度,他在混合速度:sun from n≥1(n~(p-2)β_n<∞(1))的条件下(β_n是混合函数,定义是§1)证得了 对ε>0 sun from n≥1(n~(αp-2)P(_k≤n~mαx|S_k|≥εn~α))<∞(其中(1/2)<α≤l,αp≥1,p≥1)这一结果与i·i·d·情形下相应的结果一致,因而是理想的。本文用精细的分组方法对无界情形证得了相应的结果,同时还讨论了足标为随机数时的情形。     

数集构成奇数阶幻方的充分条件

关于幻方的构造,文讨论了由1、 2、…、n~2构造幻方的问题。本文证明构成2n+1(n≥1) 阶偏差分对称方阵的数集均可构成2n+1阶幻方,且对3阶幻方条件是充要的.满足这一条件的数集相当宽广,构成二维等差方阵的数集及1、 2、…、n~2组成的数集仅是构成偏差分对称方阵数集的特殊情况.偶数阶情况见文.     

一类具有有限零因子的环

N.Ganesan在[1]中证明:若R是具有n(≥2)个零因子的交换环,则R的元数|R|有上界n~2。本文证明,当|R|≠n~2,(n>2)时,|R|的上界为n(n-2),并给出|R|=n(n-2)时R的分类。在本文中,R恒表示具有n(>2)个零因子的交换环。主要结论是: 定理1.设R是具有n个零因子的交换环,N是R的幂零根,|R|≠n~2,则|R|≤n(n-2)。这里n>2,当N≠0;n>3,当N=0。     

奥妙无 穷的古题

把1到 n~2的这一组共 n~2个连续自然数,排成纵横各有 n个数的正方形,使在同一纵行、同一横列和同一对角线上的每 n 个数的和都相等,这样的排列的 n 阶纵横衅叫做幻方,也称魔方。我国汉代已有三阶幻方(如图1),称为"九宫"。6世纪北周甄鸾注《数术记遗》中指出了"九宫"的构造法:"九宫者,即二、四为肩,六、八为足,左三右七,戴九履一,五居其中。"即如图1,它恰好符合要求,在这三阶纵横图中的每一纵行、每一横列、每一对角线上的3个数之和均为15。我们规定,在这样的 n 阶纵横图——幻方中,纵向上下称为行,横向左右称为列。如图1,4、3、8,3个数     

类数为1的实二次域

H.Hasse等人在[1]、[2]中証明: 定理1.設素数p=4n~2 1,n>1,如n不是素数,則实二次域Q(p~(1/2))的类数h(p)>1。我們在[3]中,对H.Hasse在[1]所提出的問题給了一个完滿的解答,其中有一个推論包括了定理1。定理2.設素数p=4n~2 1,n>1,則实二次域Q(p~(1/2))的类数h(p)=1的充要条件是