二次曲线弦中点轨迹的求法

二次曲线弦的中点轨迹,按定义来求比较复杂.现在我们给出一种求法,它可以使这个问题简单化、公式化.二次曲线的一般形式为:F(x,y)=a_(11)x~2+2a_(12)xy+a_(22)y~2+2a_1x+2a_2 y+a_(32)=0.构造一函数:定义:已知一点 P(x,y),如果此点与某一焦点在二次曲线的同测.则称此点 P(x,y)为二次曲线的内点,如果此点与焦点在二次曲线的异侧则称为外点。     

求复合函数的反函数的方法与教学问题探讨

一、问题的提出 目前,求复合函数的反函数问题虽未列入高中和大学数学教材,但师生在教与学过程中思考此类问题却是顺理成章的。曾有学生提出诸如:“(1)已知f(x)=2x+1,求f(x-1)的反函数;(2)已知f(x/3);(2x+3)/X,求f(x/3)的反函数。”等问题。他们的解答是: 问题(1) 解:令y=2x+1,得x=(y-1)/2,∴f~(-1)(x)=     

点与多面体空间拓扑关系的判定研究

引入线段定比分点公式及其变形,将该公式推广到平面、三维及n维空间,并从理论上严格证明该定比分点公式推广后的正确性.以推广后的定比分点公式为基础,提出一种判定点与多面体包含关系的有效方法,为最终解决点与多面体之间的拓扑关系判定问题提供了新的途径.     

求变限积分的导数

按积分限分类讨论变限积分的求导,不外乎如下三种情况。1.上限是变量,下限是常数。设(?)(x)可导,则证明:这是一个复合函数求导的问题。令u=(?)(x),则=f(u)((du)/(dx))=f[(?)(x)](?)＇(x)2.下限是变量,上限是常数设(?)(x)可导,则证明:根据“定积分对调上下限时要改变符号”的性质:     

Hesse矩阵在平稳点处的意义和作用

我们可以把无约束问题的目标函数在稳定点处附近的值用它的二阶Taylor展开式近似表示,并利用稳定点的性质,使其函数增量由目标函数F(x)的Hesse矩阵G(x)来表示,从而导致可以利用G(x)的特征值的性质来判断该稳定点是极小点、极大点、还是鞍点     

关于1-无条件体两个仿射不变量的渐进性质

K是欧拉空间内的1-无条件体,该文给出了K中任意一个随机单形的仿射不变量m2(K)和S2(K)的渐进性质,同时,Bnp={x∈Rn∶‖x‖p≤1}时,讨论了这两个仿射不变量的渐进性质的应用。     

矿质营养教学中“Donnan平衡”的计算

植物生理学中常用Donnan平衡来解释不消耗代谢能也可以逆浓度梯度积累离子的现象。一些教科书在推导因Donnan平衡所引起的离子浓度变化时设想的条件是:一膜将溶液分为两部分,膜内为非扩散性带负电荷的蛋白质Pr~-和可扩散的阳离子K~+,浓度均为C_i,膜外为可扩散性离子K~+和Cl~-,浓度均为C_0。因膜内无Cl~-,Cl~-将沿浓度梯度向膜内扩散,同时与Cl~-等量的K~+也透入膜内,使电荷保持平衡。假定平衡时有一定量x的K~+与Cl~-进入膜内,这时膜内的K~+浓度为C_i+x,Cl~-浓度为x,膜外的K~+和Cl~-的浓度均为C_0-x(图1)。     

多变量函数的可微性

本文论证 n 变量函数可微的充要条件,怀莱布然(de la Vall'ee Poussin)在差分的观点上建立二元函数可微的充要条件,即二元函数 F(x,y)在点 P(x,y)处可微的充要条件为i)函数 F(x,y)在点 P(x,y)处具有确定而有限的偏导数;ii)函数 F(x,y)的第二差分Δ~2F=F(x+h,y+k)-F(x,y+k)-F(x+h,y)+F(x,y)是的无穷小量.但是奥斯脸罗斯基(A.Ostrowski)引用均匀可导的概念建立二元函数可微的主要条件,即二元函数 F(x,y)在点 P(x,y)处可微的主要条件为函数 F(x,y)在点 P(x,y)处对 x 及 y 都是均匀可导:本文首先叙述 n 变量函数 K 度均匀可导的定义,借此来推广奥斯脱罗斯基定理,再通过条件等价性的论证来推广怀莱布然的定理.一、n 变量函数 R 度均匀可导的定义二、奥氏条件的推广三、奥氏条件和怀氏条件的扩充四、和奥氏条件等价对怀氏条件的扩充(一)五、和奥氏条件等价对怀氏条件的扩充(二)     

椭圆曲线y2 =x3+27x+62的整数点

椭圆曲线的整数点是数论中的一个重要问题。关于椭圆曲线y2 =x3+27x+62的整数点问题至今仍未解决。利用同余、 Legendre 符号的性质等初等方法证明了椭圆曲线y2 =x3+27x+62无正整数点,从而推进了该类椭圆曲线的研究。
     

函数拟凹性的若干等价条件

介绍了函数具有拟凹的一些充要条件，包括以了限制在线段上的性质进行描述，包括以限制在线段上的性质进行描述，单调性的描述，几何的描述，一个定比分点性质的描述。     

定比分点和定比的对应性质

一、通常定义下的分析式和图象 定比分点通常的定义可表述为:在某一轴上有已知不重合的两点M_1和M_2,设点M在同一轴上,且有 M_1M/MM_2=λ 则称点M为分有向线段为定比入的分点(图1)。 为了研究定比分点M和定比λ之间的对应性质,我们给出分析式,并作出图象。 取已知轴为X轴,设点M_1、M_2和M在X轴上的坐标分别为X_1、X_2和X(图2),那末据定义有 λ=M_1M/MM_2=(X-X_1)/(X_2-X),(X_1≠X_2)。 由此可见,λ是X的线性分式函数,它的定义域为{X:X∈R,X≠X_2}。 反解出X,得反函数     

关于pk(p＞3)元域上的三次方程

F是pk(p＞3)元域.本文首先证明,研究F上的三次方程可以转化为研究方程x3+ax+b=0(a≠0,b≠0);而后得到,x3+ax+b=0(a≠0,b≠0)在域F中有且仅有一根,或一个单根与一个二重根,或三个互异的根,或没有根;给出了必要充分条件,完整地解答了这一问题     

具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题正解的存在性

为了进一步研究非线性项的分数阶微分方程边值问题的性质,讨论了带有变号非线性项的(n-1,1)分数阶微分方程特征值问题正解的存在性,其中分数阶导数是Riemann-Liouville型。首先利用给定边值问题的Green函数,将微分方程转化为等价的积分方程,然后在非线性项f(t,x)满足Caratheodory条件(即任意选取变量x,非线性项f(t,x)为可测函数,对(0,1)区间内几乎所有t,非线性项f(t,x)为x的连续函数)下。通过构造适当的Banach空间,运用锥拉伸与锥压缩不动点定理和Leray-Schauder非线性抉择得出边值问题正解存在的充分条件。结果表明,非线性项f(t,x)中的t可以在(0,1)区间内任何点处具有奇性,同时还改变了使边值问题的解存在的特征值λ的取值范围。研究结果为现存结论的深入研究打下了基础。     

R~n空间中r-维单形的定比分点公式

如所熟知,在R~2空间中,点P(x,y)分有向线段AB成定比λ时,其中A(x_1,y_1),B(x_2, y_2),则分点P的坐标公式为:(x=(x_1 λx_2)/(1 λ)y=(y_1 λy_2)/(1 λ)本文的目的是将这一公式推广至R(?)空间中的γ-维单形,得到与之相应的定比分点公式。为了便于对照,我们先讨论(1)的一个直接的推广,     

次限制树存在性定理

本文所应用的术语及符号,除特别说明外,均来自于[3] 。设 G=(X,U)是一个无向联通图,S(?)X 是 G 中点的一个内固集(亦称为独立集)。对每一点 x_i∈S,有一个正整数 d(x_i)与之对应。我们的问题是:给定一组正整数{d(x)i)|x_i∈S),G 中是否存在一棵树 T,使得 T 在点 x∈S 上的次恰好等于 d(x)?令 V_G(x),V_T(x)分别表示 G、树 T 中与点 x 相关联的边的个数。设 S′(?)X 是 G 中点的一个真子集,令ρ(S′)+1表示从 G 中除去与 S′中点相关联的边后,G 被分为联通片的个数(注意,一个孤立点也视为一个联通片)。我们称与内固集 S 中的点相关联的边为限制边,而其余之边为非限制边。     

非线性抛物型方程的差分方法

§1.引言 [1]曾利用差分方法证明了在矩形区域:0≤x≤x,0≤t≤T内,线性与非线性抛物型方程: α~2u/αx~2=A(x,t)αu/αt+B(x,t)αu/αx+C(x,t)u+F(x,t), α~2u/αx~2=A(x,t,u)αu/αt+B(x,t,u)αu/αx+F(x,t,u) 第一边值问题解的存在性和唯一性。[2]也得到了哥西问题解的存在性和唯一性,并指出这个证明方法可以推广到多维空间变量酌情形。近来李立康和吴昌熾[3]利用上述证明方法研究了非线性抛物型方程     

椭圆曲线y~2=x~3+27x+62的整数点

椭圆曲线的整数点是数论中的一个重要问题。关于椭圆曲线y~2=x~3+27x+62的整数点问题至今仍未解决。利用同余、Legendre符号的性质等初等方法证明了椭圆曲线y~2=x~3+27x+62无正整数点,从而推进了该类椭圆曲线的研究。     

利用Bessel函数求解波动方程的定解问题

分离变量法是求解波动方程定解问题的一种重要方法。分离变量法的重点在于求特征值及其对应的特征函数。Bessel函数是应用很广泛的一种特征函数,运用Bessel函数的有关性质可以很方便地求解波动方程的定解问题。     

Г函数在级数求和中的应用

我们知道,Г函数为Г(x)=integral from=0 to +∞ (t~(x-1)e~(-t)dt) (x>0) (1) 它有如下递推性质 Г(x+n+1)=(x+n)(x+n-1)…(x+1)x Г(x) (2) 特别 Г(n+1)=n1 (3) 根据上述性质,在求和中如果出现等差因子的连乘积,我们可考虑利用     

关于直线束方程中参数的几何意义

我们在解析几何教学中,讲到直线束的时候,遇到这样的问题:已知相交于P_0(x_0,y_0)点的两条直线:l_1:A_1x+B_1y+C_1=0,和l_2:A_2x+B_2y+C_2=0,为什么可以用参数λ来构造直线束(l)A_1x+B_1y+C_1+λ(A_2x+B_2y+C_2)=0呢?它是怎样想出来的呢?在这里,λ的几何意义又是什么呢?这些问题的存在,往往使学生感到参数的引进比较突然。因此,也就觉得比较抽象,不利于更好地掌握直线束方程。