一个四阶非线性微分方程李稚普诺夫函数的构造及其全局稳定性

Ponzo 关于四阶非线性方程x+a(z)x+b(x,(?))(?)+c(?)+d(x)=0(0.1)得到了以下结果[1]:定理0.1:如果 a(z),b(x,y),c(y),d(x)满足以下条件:(1)a(z)≥a>0,(2)b(x,y)≥β>0,(3)c(y)/y≥r>0,(4)0ε≥0,其中ε≥(?)[(?){(αδ/r)(A_1(z)/z-α)+c(y)/y-r}],(6)c(y)/y-rd′(x)/δ+(r/2αδ)d″(x)/y-1/y(?)b_x(x,u)udu≥0,(0.2)(7)ab(x,y)-c′(y)-(αδ/r)(A_1(z)/z)-6/2>0 (0.3)(8)当|x|→∞,D(x)→∞则(0.1)的零解全局渐近稳定。     

关于丢番图方程z2=(x(x+1)(x+2))2+(y(y+a)(y+b))2

证明了对任意的整数a,b,方程z~2=(x(x+1)(x+2))~2+(y(y+a)(y+b))~2有无穷多整数解(x,y,z).特别的,当a为偶数以及b=a+2,a+4时,该方程有无穷多组满足x■y的整数解.     

关于丢番图方程(na)x+(nb)y=(nc)z(c=65,89,101)

设a,b,c为两两互素的正整数且满足a2+b2=c2.1956年,Je?manowicz猜测丢番图方程(na)x+(nb)y=(nc)z仅有正整数解x=y=z=2.此利用初等方法证明了:对于任意的正整数n,除去x=y=z=2外,丢番图方程(56n)x+(33n)y=(65n)z,(80n)x+(39n)y=(89n)z和(20n)x+(99n)y=(101n)z无其他的正整数解,即当(a,b,c)=(56,33,65),(80,39,89)和(20,99,101)时,Je?manowicz猜想成立.     

一类具有双异宿环的五次哈密尔顿系统的极限环分支

研究了一类具有双异宿环的五次哈密尔顿系统x=y,y=-(ax+bx3+cx5)在ε(α+βx2+x4)/y扰动下的分支现象,其中a0,b0,3b2=16ac.证明了当0|ε|1时至多能分支出2个极限环,并且给出了完整的分支图.     

一类四阶非线性微分方程的渐近稳定性

假设存在常数h0,k0,m0,ε0,使得当|y|≤h,|z|≤k,|y|≤m|z|时,函数G(y)具有连续的二阶导数,四阶非线性微分方程x(4)+ax(3)+G′(x′)x(2)+cx′+f(x)=0,f(0)=0,在满足:acG′(y)-c2-a2≥ε0,|G′(y)|≤ε/(am2+c)k,|f′(x)|≤2a/2a+1,2a2+ac,(f(x)+cy)sgn z≥0,(az+u)sgn y≥0的条件下,利用Lyapunov函数构造法,给出了其零解的全局渐近稳定性的充分性准则,所得结果包含并改进了相关文献的结果。     

一道IMO试题的探源及启发

第二十届 IMO竞赛有这样一题 :设 a,b,c分别为一个三角形三边的边长 ,证明 :a2 b( a- b) + b2 c( b- c)+ c2 a( c- a)≥ 0 ,并指出等号成立的条件。此不等式的左边是轮换式 (将 a换为 b,b换为 c,c换为 a时不变 )但不是对称式 (将 a,b互换时不变 ,将 b,c互换时不变 ) ,证明方法通常有两种 ,一种是把它化为一个不带附加条件 ,b+ c>a,a+ c>b,a+ b>c的不等式 ,即可令 a=y+ z,b=z+ x,c=x+ y,( x,y,z>0 ) ,另一种是设 a为最大边 ,即可令 a=x+ y+ z,b=x+ z,c=y+ z( x,y≥ 0 ,z>0 )代入不等式左边 ,然后证明其非负 ,最简单的方法是原联邦德国选手…     

线性反馈控制法识别一类混沌电子线路的参数

将控制器G=k(y-x)施加到一类混沌电子线路系统x=a(z-x),y=bx-xz,z=xy-cy-4z的第一个方程的右侧,得到系统参数的准确表达式a=-k(y-x)/(z-x),b=z,c=x-4z/y,从而提出一种识别混沌系统参数的线性反馈控制法,并进行计算机仿真实验。在系统参数保持不变和系统部分参数发生阶跃或周期性变化情况下,该方法可以快速有效地识别系统参数。     

求解一类二阶线性齐次微分方程边值问题的相似结构法

研究二阶线性齐次微分方程边值问题{y″+p(x)y’+q(x)y=0,[Ey+(1+EF)y’]x=a=D,[Gy+Hy’]x=b=0,其中,D、E、F、G、H、a和b均为已知的实常数,且D≠0,G2+H2≠0,a相似文献   

一类三阶线性偏微分方程奇性定解问题的显式解

本文研究了下列三阶Fuchs型方程: U_(xyz)+a/(x+y+z)U_(yz)+a/(x+y+z)U_(2x)+c/(x+y+z)U_(xy)+d/(x+y+z)~2U_x +e/(x+y+z)~2-U_y+f(x+y+z)~2U_z+g/(x+y+z)~3U=0 (1)(其中a,b,c……,g均为常数) 的奇柯西问题、奇第三问题及奇第四问题。当方程(1)的系数满足一定关系时,证明这些问题是适定的,并给出了解的表达式。当(1)的系数不满足上述关系时,我们对一个较简单的方程(33),通过Riemann公式建立了其柯西问题解的表达式。     

广义(3+1)维浅水波系统的复合波解及其局域激发

利用Riccati方程(ξ’=a0+a1ξ+a2ξ2)展开法和变量分离法,得到了广义(3+1)维浅水波(GSWW)系统包含q=C1x+C2y+C3z+C4t+R(x,y,z,t)的复合波解.根据得到的孤波解,构造出该系统新颖的复合波局域激发结构,研究了复合波随时间的演化.     

关于Diophantine方程(91n)~x+(4140n)~y=(4141n)~z

1956年Jes'manowícz猜测Diophantine方程(na)x+(nb)y=(nc)z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),其中a,b,c是两两互素的正整数且满足a2+b2=c2。利用初等方法证明了对任意的正整数n,当a=7·13,b=22·32·5·23,c=41·101时,Jes'manowícz猜想成立。     

关于Diophantine方程(36n)x+(323n)y=(325n)z的整数解

Jesmanowicz猜想Diophantine方程(na)x+(nb)y=(nc)z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),其中a,b,c是两两互素的正整数且满足a2+b2=c2.主要运用简单同余法、奇偶分析法、二次剩余理论以及分类讨论等初等方法,证明了对任意的正整数n,Diophantine方程(36n)x+(...     

三维多项式微分系统在z轴附近的极限环

考虑三维多项式微分系统x=-y(1+x)+ε(ax+F(x,y,z)),y=x(1+x)+ε(ay+c(x,y,z)),z=ε(cz+R(x,y,z))(F(0,0,z)=0,G(0,0,z)=0),利用一阶平均理论得到上面系统可以从x=-y(1+x),y=x(1+x),z=0的周期轨中分支出n2个极限环,最后用一个例子展示主要结果的简洁性和有效性.     

一类非线性自治系统的极限环

讨论了非线性自治系统x=x(a0+alx+a2x2-(1-e-λy)),y=y(x2-1)的平衡点的性态,并证明了该系统极限环的存在性与唯一性.     

实对称矩阵特征值的一种在几何学上的应用

实际问题中,经常遇到一些形式较为复杂的二次曲线与二次曲面.对它们形状的研究也是必要的.本文主要从实对称矩阵特征值的角度对于形如a11x2+a22y2+2a12xy+c1=0的二次曲线与形如b11x2+b22y2+b33z2+2b12xy+2b13xz+2b23yz+c2=0的二次曲面的形状进行推断.从而体现了实对称矩阵特征值的一种在几何学上的应用.     

关于丢番图方程Ax4+Bx2y2+Cy4=z2的解

证明了丢番图方程4x4-6x2y2 3y4=z2,(x,y)=1的全部正整数解为(x,y,z)=(x0／2,ab,(3a4 b4)／4), (Xn,2yn,2zn),认为仅有正整数解(x,y,z)=(1,1,1)是不妥的,它漏掉了(xn,2yn,2zn)及(x0／2,ab,(3a4 b4)／ 4);丢番图方程x4-6x2y2 12y4=z2,(x,y)=1的全部正整数解为(x,y,z)=(x0,ab,(3a4 b4)／2),(xn,yn, zn),认为仅有正整数解(xn,yn,zn),则漏掉了(x0,ab,(3a4 b4)／2)。     

二阶变系数线性微分方程的Riccati方程解法

在(b′(x)b+2a(x)b(x))/b~2(x)≡c(常数)条件下,给出了微分方程y″+a(x)y′+b(x)y=f(x)(1)相对应的Riccati方程z′=z~2-a(x)z+b(x)(2)存在通解公式,进而得出了微分方程(1)或其齐次方程的通解公式.应用这些只与方程系数a(x)与b(x)相关的求解公式,求其通解过程十分简捷.     

关于拟共形平坦黎曼流形的超曲面

本文研究拟共形平坦黎曼流形的超曲面,得到两个结果:定理1、拟共形平坦黎曼流形的全脐点超曲面是常曲率的充要条件是:M′(y′,z′)=-a/2(k+λ~2)g′(y′,z′)+λh′(y′,z′)定理2、当〔a+(n-1)b〕≠0时,拟共形平坦黎曼流形 M~(n+1)的超曲面 M~n 满足:1、在 M~(n+1)里 M~n 的第一平均曲率是常数2、内积 a=<▽V,N>在 M~n 上有固定正负号。则 M~n 是全脐点超曲面。     

Fermat大定理的较简证明

对任三个正整数x、y、z,证明了(x/z)~n+(y/z)~n≠1(n≥3的整数),进而证明了n次不定方程x~n+y~n=z~n(n≥3的整数)无正整数解.因为由任三个x、y、z组成的三数组有无限多个,把这些三数组分成五类,并对各类三数组证明都有(x/z)~n+(y/z)~n≠1.前三类x、y、z易证有(x/z)~n+(y/z)~n≠1,第四类x、y、z用无限整体与有限部份间的关系可证(x/z)~n+(y/z)~n≠1,第五类x、y、z,先引入N_小概念,又对N_小3的x、y、z引入N_大概念,再用引2的结果证明N_小与N_大是相邻整数,于是可证(x/z)~n+(y/z)~n≠1,从而易证Fermat大定理正确.     

一类Kolmogorov捕食系统的定性分析

研究一类Kolmogorov捕食系统:ddxt=x(a0-a1x+a2xn-1-a3xn+a4xφ(y)),ddyt=y(b1xn-b2),其中φ(0)=0,φ′(y)ε0,(y0).首先运用等式gf((uu))′=Δlui→m0f(u+Δu)g(u+Δu)-gf((uu))Δu将张芷芬唯一性定理和微分不等式定理中需要的两个不等式联系起来,再配合运用环域定理、ΦИЛИППОВ变换及Dulac函数法得到了该系统存在唯一极限环和不存在极限环的充要条件,从而对其参数范围就其极限环存在性与不存在性讨论完全,推广了前人相关的结果.