平面图G有X(G)=3的充要条件

染色问题是图论的一个重要领域，在四色定理得到证明［１］之后，仍然存在“什么样的平面图 可以３－染色？”这样的难题［２］．目前已有结果：“欧拉极大平面图Ｇ有ｘ（Ｇ）＝３”［３］、［４］，本 文在研究０－１循环排列的基础上给出了平面图Ｇ有Ｘ（Ｇ）＝３的充要条件．     

关于一个猜想的简单证明

图Ｇ的一个（正常）路着色是一映射φ：Ｖ（Ｇ）→Ｃ,使得Ｃ中任一元素的原象的导出子图是路的不交并,使Ｇ有正常路着色所需要的Ｃ的最小基数｜Ｃ｜,称为Ｇ的路色数,用ｘ（Ｇ;Ｐ∞）表示。Ｊ．Ａｋｉｙａｍａ和Ｅｒａ［３］提出如下问题：是否存在平面图Ｇ使得ｘ（Ｇ;Ｐ∞）＝４？关于这一问题,已有人证明［３,５］;对于任意平面图Ｇ,都有ｘ（Ｇ;Ｐ∞）≤３,这里我们从路色数的角度给出该问题的一个更简单的证明     

路和回路的各种乘积图的联结数

图的联结数是图的示性数之一．Ｄ．Ｒ．Ｗｕｏｄａｌｌ［１］首先引进了这个概念，研究了联站数与 图的其它量之间的关系．Ｖ．Ｇ．Ｋａｎｅ，Ｓ．Ｐ．Ｍｏｈａｎｔｙ和Ｒ．Ｓ．Ｈａｌｅｓ［２］研究了一些乘积图 的联结数．［３］中证明了［２］中提出的关于ｂｉｎｄ（Ｃｍ×Ｃｎ）的猜想．本文进一步研究了［２］、［３］未 解决的若干乘积图的联结数，得到了Ｌｍ×Ｃｎ，Ｃｍ　Ｃｎ，Ｌｍ　Ｃｎ，Ｃｍ＊Ｃｎ，Ｌｍ＊Ｃｎ，Ｃｍ（Ｃｎ），Ｌｍ（Ｃｎ）等图的联结数。     

关于图的圈覆盖

Ａ．Ｉｔａｌ和Ｍ．Ｒｏｄｅｈ给出了两个关于图的圈覆盖的猜想：（ｉ）任意２－边连通图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）有困覆盖Ｃ，使ｌ（Ｃ）≤｜Ｅ｜＋｜Ｖ｜－１；（ｎ）任意２－边连通图有困覆盖，使图的每条边至多被覆盖两次．本文证明了猜想对平面图和２－边连通没有３－边割的图成立，并给出了一与两猜想等价的条件．同时也对著名的２－圈覆盖猜想作了讨论．     

两类笛卡尔积图的关联色数

Ｒｉｃｈａｒｄ Ａ． Ｂｒｕａｌｄｉ 和 Ｊ． Ｑｕｉｎｎ Ｍａｓｓｅｙ 在［１］ 中引入了图的关联色数,并且提出了关联色数猜想,即：每一个图 Ｇ 都可以用Δ（ Ｇ） ＋ ２ 种色正常关联着色。本文的主要结果如下：我们不仅证明了路与路、路与圈的笛卡尔积图满足关联色数猜想,进而确定了它们的关联色数。     

图的升分解问题的两个新结果

Ａｌａｖｉ等人在１９８７年定义了图的一种新分解,即“升分解”（ＡｓｃｅｎｄｉｎｇＳｕｂｇｒａｐｈＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ）,并且猜想：任意有正数条边的图都可升分解．该文证明了下面两个新结果：（１）Ｈｉ是ｉ条边的Ｋｎ的子图,当ｎ＋１≤ｉ≤２ｎ－２ｎ／３［］２－２时,Ｇ＝Ｋｎ－Ｈｉ可升分解为Ｋ１,１,Ｋ１,２,…,Ｋ１,ｎ－５,Ｋ１,ｎ－４,Ｇｎ－３（ｎ≥６）,其中Ｋ１,ｎ－４Ｇｎ－３．（２）Ｈｉ是ｉ条边的Ｋｎ的子图,当ｉ≥２ｎ－２ｎ／３［］２时,Ｇ＝Ｋｎ－Ｈｉ不一定有定理１形式的升分解．     

图的路分解

Ｇａｌａｉ提出的小路分解（ＳＰＤ）猜想：任一连通图的路分解的路数的最小数目至多为［（ｎ＋１）／２］,迄今还未完全得以解决而这个问题在运筹、网络及信息最优传递过程中有着实际的应用价值本文利用Ｌｏａｓｚ定理证明猜想在一定条件下是成立的     

关于图的边染色方面的一些结果

改进了一些边染色临界图的边数的下界．同时证明了：对没有４圈或任何两个３面都不同时关联于一个点的平面图,关于边染色的平面图猜想成立．     

Halin图的边列表染色

图的染色是图论的重要研究内容之一．平面图染色是其中的一个主要方面．有各种各样的染色方式，近来，又出现了列表染色［１］．定义１称图Ｇ是ｋ－边可选择的．如果任给ｅ∈Ｅ（Ｇ），和边ｅ的任给颜色集Ｌ（ｅ），｜Ｌ（ｅ）｜＝ｔ，都可以选一种颜色σ（ｅ）∈Ｌ（ｅ）...     

关于CockayneEJ的两个猜想

猜想１〔１〕当Ｋ（Ｇ）＝Ｃ２ｎ＋１时有Ｃ（Ｇ）≤ｄ（Ｇ）;猜想２〔１〕当Ｋ（Ｇ）是偶图时有Ｃ（Ｇ）≤ｄ（Ｇ）．以下通过反例说明猜想１不成立．然后证明猜想２成立．设Ｇ是无向、无环、无多重边的简单图,Ｇ＝（Ｖ,Ｅ）,其中Ｖ＝Ｖ（Ｇ）表示Ｇ的顶点集,Ｅｎ＝...     

关于Cheeger与Simons猜想的一点注解

本文指出Ｍ．Ｂｅｒｇｅｒ在［１］中描述的Ｃｈｅｅｇｅｒ与Ｓｉｍｏｎｓ对ｎ≥４时的Ｇｉｒａｒｄ公式的猜想是平凡的。     

包含Vr（G）中所有顶点的圈

设Ｇ是一个ｎ阶２－连通图，ｒ是实数，并且，令Ｖｒ（Ｇ）＝｛ｖ∈Ｖ（Ｇ）｜ｄ（ｖ）≥ｒ｝．我们用Ｇ［Ｖｒ］表示由Ｖｒ（Ｇ）诱导的Ｇ的子图，ａ（Ｇ［Ｖｒ］）表示Ｇ［Ｖｒ］中的最大独立点数，σｋ（Ｇ）＝ｍｉｎ是Ｇ中的独立集｝．我们证明了如下结果，如果，则图Ｇ存在一个圈包含Ｖｒ（Ｇ）中的所有顶点．这个结果推广了Ｖｅｌｄｍａｎ的一个最新结果．并且解决了由朱永津教授提出的问题．     

不含3圈的平面图的无圈边染色

图的无圈边染色是图的染色理论中的一个重要问题,2001年,Alon等猜想任意简单图G的无圈边色数都不超过△（G）＋2,其中△（G）为图G的最大顶点度。为了研究该猜想对平面图是否成立,利用差值转移方法,证明了不包含三角形的平面图G的无圈边色数不超过△（G）＋3．     

X—可迹图的两个推论

在［２］中的结果：如果Ｇ是ｎ阶２－连通图，Ｘ∪→－Ｖ（Ｇ）并且ＮＣ２（Ｘ）≥ｎ－１／２，则Ｇ是Ｘ－可迹图。本文利用该结果推广了Ｄｉｒａｃ和Ｏ．Ｏｒｅ分别在文献［３］和［４］中有关可迹图方面的结论。     

图的正交因子分解

研究了图的正交因子分解问题．设ｋ１,…,ｋｍ是正整数,Ｇ是［０,ｋ１＋…＋ｋｍ－ｍ＋１］－图,Ｈ是Ｇ的任一有ｍ条边的子图．若｜Ｖ（Ｈ）｜≥｜Ｅ（Ｈ）｜＝ｍ,则图Ｇ有一个［０,ｋｉ］ｍ１－因子分解与Ｈ正交     

关于正则图的道路双覆盖猜想

［１］汇集了１９９０年国际图论会议（丹麦）上所提出的２７个新的未解决的问题，其中第一个就是关于正则图的道路双覆盖猜想，Ａｄｒｉａｎ Ｂｏｎｄｙ等人利用Ｐｅｔｅｒｓｅｎ定理已证明：对于３－正则图猜想为真。本文证明了对于任意的ｍ－正则的完全图，猜想是成立的。     

4－连通无爪图中的Hamilton圈

Ｍａｔｔｈｅｗｓ等猜想：每一个４－连通无爪图是Ｈ－图．本文证实当Ｇ不含局部连通点及３团时该猜想成立．     

关于图的泛连通性的几个结果

如果对ａ≤ｉ≤ｂ，图Ｇ的任一对顶点ｕ、ｖ都存在长为ｉ－１的路Ｐｉ（ｕ，ｖ），则称Ｇ是［ａｂ］－泛连通的．文中证明了关于图的泛连通性的下述结果：设Ｇ为ｎ阶连通图，且对Ｇ中任一对距离为２的顶点ｕ，ｖ，有ｄ（ｕ）＋ｄ（ｖ）≥ｎ，则图Ｇ是［５ｎ］－泛连通的当且仅当Ｇ是Ｈ连通的．此结果推广了Ｆａｕｄｒｅｅ和Ｓｃｈｅｌｐ的一个结论．     

关于一类图的优美性

将齿轮图的每个齿的顶端点与ｍ个孤立点相连后所得的图称为ｎ顶边星图，文［３］猜想，所有的ｎ顶边星图都是优美图，本文证明了这一猜想是正确的．     

乘积图的联结数——证明V.C.Kane等人的猜想

本文证明了Ｖ．Ｇ．Ｋａｎｅ，Ｓ．Ｐ．Ｍｏｈａｎｔｙ和Ｒ．Ｓ．Ｈａｌｅｓ提出的如下猜想［２］： 设 Ｃｍ和Ｃｎ分别是阶数为ｍ和ｎ的两条回路。若ｍｎ为奇数，则 Ｃｍ与Ｃｎ的笛卡儿乘积图的联结数为 ｂｉｎｄ（Ｃｍ×Ｃｎ）＝不仅如此，本文还进一步减弱了猜想中的假设条件，从而获得了更强的结果：若ｍ和ｎ至少有一个是奇数，则 ｂｉｎｄ（Ｃｍ × Ｃｎ）＝ —一””－”Ｉｈｈ一４”