主理想整环上线性方程组的矩阵解法

利用主理想整环D上矩阵的初等变换理论确定了D上线性方程组可解的判别准则，并且对于D上可解的线性方程组给出了其解的结构和求解方法。     

主理想整环上的线性方程与一类矩阵方程

本文给出含幺主理想整环上线性方程组与一类矩阵方程可解的条件与通解。     

非交换主理想整环上的右线性方程组

证得非交换主理想整环R上右齐次线性方程组基础解系存在定理，给出R上右线性方程组解的表示。     

实二次域K =Q(√5n)的整数环OK

用简单的证明方法推出实二次域K=Q(√5n)(其中n为正整数,5n无平方因子)的整数环OK只有在n=24t +1(t∈Z)的时候才有可能是主理想整环,其他情况下,二次域K=(√5n)的整数环OK一定不是主理想整环.     

Z上线性方程组有整数解的判定

利用Z上矩阵的不变因子理论，证明了整系数线性方程组有整数解的充要条件，从而彻底解决了Z上线性方程组的整数解问题．     

实二次域K=Q(（5n）1/2)的整数环OK

用简单的证明方法推出实二次域K=Q(（5n）^1/2)（其中n为正整数,5n无平方因子）的整数环OK只有在n=24t+1（t∈Z）的时候才有可能是主理想整环,其他情况下,二次域K=(（5n）^1/2)的整数环OK一定不是主理想整环。     

交换主理想整环上交错矩阵的距离与极大集

讨论了交换主理想整环上交错矩阵的算术距离与距离之间的关系,并用两个矩阵之间的算术距离得到了交换主理想整环上交错矩阵极大集的结构.     

主理想整环上的矩阵方程

讨论了主理想整环上的矩阵方程，其思想方法是：先建立主理想整环上的矩阵范畴，并证明这个范畴是一个有满单分解的范畴，然后利用范畴论中的结论给出主理想整环上矩阵方程有解的条件。     

主理想整环上的线性方程组

对主理想整环上的线性方程组作了初步探讨，推广了域上线性方程组的已知结果，并给出求解的几种新方法。     

实二次域K=Q（√5n）的整数环Ok

用简单的证明方法推出实二次域K=Q（√5n）（其中n为正整数,5n无平方因子）的整数环Ok只有在n=24t＋1（t∈Z）的时候才有可能是主理想整环,其他情况下,二次域K=（√5n）的整数环Ok一定不是主理想整环。     

(t,v)-Dedekind整环的局部化问题

证明了整环R是(*,v)-Dedekind整环当且仅当R[X]N*是拟Dedekind整环当且仅当R[X]N*是拟主理想整环.特别地,取星型算子*=v时,证明了整环R是(t,v)-Dedekind整环当且仅当R[X]Nv是拟Dedekind整环当且仅当R[X]Nv是拟主理想整环.同时,举例说明了(t,v)-Dedekind整环与弱分解整环之间的关系,并给出了当整环R是弱分解整环时,R是(t,v)-Dedekind整环当且仅当R是拟Dedekind整环当且仅当R是拟主理想整环.     

整系数线性方程组有整数解的一个充要条件

讨论了整数环上矩阵的初等变换和初等方阵理论 ,引用整数环上的不变因子理论 ,证明了整系数线性方程组有整数解的一个充要条件 .     

主理想整环上有限生成模的基本结构定理的另一证明

所谓主理想整环(p、i、d)上有限生成模的基本结机定理,是指:如果M≠0是p、i、d、D上的一个有限生成模,则M是循环模的直和:M=Dx_1 (?)Dx_2 (?)…(?)DX_n并且,生成元的阶理想合乎条件:annx_1(?)annx_2(?)…(?)annx_n,annx_i≠D,i=1,2,…n.N·Jacahson在《Basijc Algebraf》一书中利用主理想整环中矩阵的标准形,给出了这个定理的证明;并且提示,如果将主理想整环中元素长度的概念推广到主理想整环上的有限生成模中,可以得到基本结构定理的另一证明.本文根据这个提示,首先证明三个引理,     

在一类整环上的特征向量的求法

设 R 是有单位元1的可换整环,本文给出了环 R 上齐次线性方程组的求解方法,从而对矩阵 A 的任意特征根 r_0∈R 给出了其对应的特征向量的求法。因为本文中的环 R包含整数环,因此整数环上的齐次线性方程组的整数解问题将在本文中得到解决。本文最后研究了一类特殊环上矩阵的标准形。     

关于主理想整环上的矩阵

证明了主理想整环上任一对矩阵均有右最大公因子，任一对非奇异矩阵有左最小公倍，并且证明了主理想整环上任一个非奇异不可逆的矩阵可分解成有限个素矩阵之积。     

关于整数矩阵几个问题的思考

由于环中的元素未必有逆,因此域上的矩阵的那些结果在交换环上的矩阵就未必能够成立。在前人研究整数矩阵可逆的等价条件、整数矩阵的初等变换、整系数线性方程组解的判定、整数矩阵的应用的基础上,进一步提出整数矩阵的特征值、特征向量、相似以及相似对角化等问题,并得出了一系列结果。主要结果有整数矩阵仅通过整初等行变换一定可变成上三角矩阵(下三角矩阵);整特征向量对应的特征值一定是整数;对称整数矩阵的特征值与特征向量的关系;整数矩阵与对角矩阵整相似的两个充要条件;对称整数矩阵A有n个不同的特征值,且A可对角化,则A一定是整对角矩阵。     

主理想环上的矩阵Goldbach问题

研究主理想环上的矩阵表示为素阵之和的问题，证明了阶不小于２的矩阵恒能表示为两个素阵之和．结果表明，矩阵环及其子环的表示关系是相当复杂的．     

Gauss整数的既约分解

Gauss整数环Z[i]是单一分解整环。因而任一Gauss整数Z=a+bi(a、6∈Z)都可以分解为既约元的乘积。此文首先给出Gauss整数环Z[i]的既约元与其范数的关系,Z[i]的既约元的集合,然后讨论素(自然)数在Z[i]中的既约分解。在以上基础上给出Gauss整数的分解方法。     

广义四元数代数上伴随矩阵和Cramer法则的推广

设H(F;a,b)是特征≠2域F的上广义四元数代数,利用极大交换子环的矩阵表示,本文定义了H(F;a,b)上方阵的伴随矩阵,得到逆矩阵存在的充分必要条件,并且推广Cramer法则到H(F,a,b)上右线性方程组。参6。     

关于多个无挠自由子模DMi的交模与其秩之间的关系公式

主要利用主理想整环D上的分块矩阵,得到一种直接求多个无挠自由子模的交模的理论方法-初等变换法;并在此基础上,给出了多个无挠有限生成子模的秩之间的关系公式.