一类广义Dullin-Gottwald-Holm方程的行波解分岔

对一类广义Dullin-Gottwald-Holm方程ut-α2uxxt+2ωux+βumux+γuxxx=α2(2uxuxx+uuxxx),利用平面动力系统理论研究其行波解分岔.发现在一定参数条件下,方程具有不同种类的行波解,如孤波解,尖波波解和周期尖波解.结果表明,有界行波解在广义Dullin-Gottwald-Holm方程中得以保持.     

一类高阶KdV方程的行波复化亚纯解

考虑了一类高阶KdV微分方程u_t+δu~2u_x+βu_xu_(xx)+γuu_(xxx)+ωu_(xxxxx)=0.通过行波变换u(x,t)=w(z),z=x+λt(λ≠0),这类高阶KdV微分方程变为常微分方程w~(4)+δww″+βw'2+γw~3+λw+μ=0,其控制项有4项:E(z,w)=w(4)+δww″+βw'2+γw3.主要结果是运用复方法给出这些常微分方程的3类亚纯解表达式,即椭圆函数解、有理函数解、eαz(α∈C)的有理函数解,并以行波复化modified Sawada-Kotera方程u_t+u_(xxxxx)+5uu_(xxx)+15u_xu_(xx)+5u~2u_x=0,Kaup-Kupershmid方程u_t-u_(xxxxx)+20uu_(xxx)+50u_xu_(xx)-80u~2u_x=0为例说明:除了该文所确定的亚纯解之外,或许有方程还有其他的亚纯解.     

含频散项的k(3,2)方程的周期尖波和孤立波解

利用动力系统的定性分析来研究k(3,2) 方程 u_{t}+(u^{3})_{x}+(u^{2})_{xxx}=0 的分支问题, 并且利用 maple 软件进行数值模拟得到行波解系统相应的相图. 然后通过积分计算得到周期尖波和孤立波的精确解表达式. 它补充了方程k(3,2) 的研究结果.     

修正的Kurramoto—Sivashinsky方程的周期行波分支

本文研究具有色散项μu_(xxx)的修正的Kunamoto—Sivashnsky(以下简称mks)方程,该方程具有重要的物理应用价值。本文证明了对任意波速c>0,存在μ=2~(1/2)c+μ_2ε~2+O(ε~3),0<ε<<1,使得mks方程有一个周期行波解。     

一类非线性波方程的尖峰孤立子解

根据尖峰孤立子解的特点,提出了待定系数法求非线性方程尖峰孤子解的方法,并利用该方法求出了一类非线性波方程u_t+2ku_x-u_(xxt)+(b+1)uu_x=bu_xu_(xx)+uu_(xxx)-γ·u_(xxx)的几类尖峰孤立子解.几个重要的非线性方程,如CH(Camassa-Holm)方程、DP(Degasperis-Procesi)方程和带色散项的DP方程等,作为该方程的特殊情形也得到了若干新的尖峰孤立子解.文献中已有的结果成为本文结果的特例.本文方法也适用于求其他多个非线性方程的尖峰孤立子解.     

一类非线性波动方程的孤波解

利用首次积分法来求解一类非线性波动方程u_(tt)- a_1u_(xx)+ a_2u_t+ a_3u + a_4u~2+ a_5u~3= 0的孤波解.同时,物理学中几个非常重要的非线性数学物理方程,如φ~4方程、Duffing方程、Sine-Gordon方程的近似方程、Sinh-Gordon方程的近似方程、Landau-Ginzburg-Higgs方程、Klein-Gordon方程以及非线性电报方程等都可以通过该方程来求解出其相应的孤波解.     

Ostrovsky方程的Cauchy问题

研究Ostrovsky方程的Cauchy问题{u_2+αu_(xxx)+u_x+((u~p)_x)_x=yu, u(x,0)=φ(x),其中,x∈R,t≥0,α、β、γ是常数,p≥2是正整数.证明了该问题的解在空间χ_s中的局部存在性和解在空间χ_2中的整体存在性.     

一个新的两分量系统的行波解

利用平面动力系统方法研究系统η_t+(ηu)_x=0,u_t+3uu_x+ηη_x=[η~2(uu_(xx)+u_(xt)-(u_x~2)/2)]_x的行波解,给出了参数在实数范围内取不同值时系统的相图,并得到了孤立波解和周期波解的参数表达形式,同时用M印le软件给出了这些解的数值模拟,从而得到了这个系统的一些新的结果.     

含频散项的K(3,2)方程的周期尖波和孤立波解（英文）

本文利用动力系统的定性分析理论研究了K(3,2)方程u_t+(u~3)_x+(u~2)_(xxx)=0的分支问题,并利用Maple软件进行数值模拟得到行波解系统相应的相图,然后通过积分计算得到周期尖波和孤立波的精确解表达式.本文补充了方程K(3,2)的研究结果.     

耗散KDV型方程的渐近吸引子

考虑了耗散KDV型方程u_t+νu_(x~4)+αuu_x+u_(x~3)+βu=f(x)的渐近吸引子,即构造了一个有限维解序列.首先利用数学归纳法证明了该解序列不会远离方程的整体吸引子;其次,证明了它在长时间后无限趋于方程的整体吸引子, 并且给出了渐近吸引子的维数估计.     

一类(1+1)维非线性微分方程的不变集与精确解

不变集方法是构造非线性偏微分方程精确解的一种有效方法,文章利用不变集思想方法,讨论了(1+1)维偏微分方程u_t=A(u)u_(xxx)+B(u)u_xu_(xx)+C(u)(uu_(xx))_x+D(u)u_x+P(u)问题,并得某些情况下方程的精确解。     

一类更广泛的Korteweg-de Vries方程的初边值问题

本文利用Galerkin方法和解的先验估计,研究了一类更广泛的Korteweg-de Vries方程的初边值问题。 u_t+f(u)_x-αu_(xx)+u_(xxx)=0 (x,t)∈R~+×[0,T] u(x,t)|_(t=0)=u_0(x) x∈R~+ u(x,t)|_(x=0)=0 u(x,t)→0 (x→∞)及 u_t+f(u)_x-u_(xxx)=0 u(x,t)|_(t=0)=u_0(x) x∈R~+ u(x,t)|_(x=0)=u_x(x,t)|x=0=0 u(x,t)→0,(x→∞)弱解的存在性,在适当的条件下,还可以得到古典解的存在性。     

两点边值问题的双向迭加法

考虑二阶线性常微分方程的两点边值问题: Lu=f(x),a≤x≤b (1) (I){ a_1u′(a)+a_2u(a)=α,b_1u′(b)+b_2u(b)=β (2) (a_1~2+a_2~2≠0,b_1~2+b_2~2≠0)不失一般性,算子L可看作 Lu=u″(x)-q(x)u(x) (3) 众所周知,方程(1)的通解具有如下迭加结构: u(x)=c_1u_1(x)+c_2u_2(x)+u_f(x) (4)其中u_1,u_2为对应(1)的齐次方程     

广义Zakharov-Kuznetsov方程的行波解

本文研究广义Zakharov-Kuznetsov方程ut+αupux+γuxxx+δuxyy=0的行波解.利用平面动力系统的分岔方法,本文得到了该方程孤立波解和周期波解存在的充分条件及这些解的隐式精确表达式,即它所对应的Hamiltonian系统的精确隐式解,并通过数学软件Maple模拟了这些解.     

广义(2+1)维浅水波方程的精确解

通过行波解法将广义(2+1)维浅水波方程转化为常微分方程,然后借助辅助方程得到大量新的精确解,其中包括椭圆函数解、双曲函数解、三角函数解等.     

广义Boussinesq方程孤立尖波解的不存在性

利用微分方程定性理论和动力系统分支方法,对一类广义Boussinesq方程的孤立尖波解的存在性进行了研究.给出了该方程对应的行波系统的分支相图,并利用相图证明了该方程不存在孤立尖波解     

一类广义Camassa-Holm方程的孤立尖波、孤子类解和周期解

应用一种新的数学技巧,即基于用积分因子求解常微分方程的方法,研究了一类广义Camassa-Holm方程,求出了该方程的孤立尖波、孤子类和周期行波解,并在不同的参数条件下分别把孤立尖波、孤子类以及周期行波解用显示公式表示出来,得到的解的结构的定性变化条件是明显的.     

一类广义非齐次BBM方程周期行波解的存在性

研究了一类广义非齐次BBM方程[g_0(u)]_t+[f_0(u)]_x-εu_(xx)-δu_(xxt)=h_0(x-βt)周期行波解的存在性.通过求解显式格林函数,将周期边值问题转化为相应的积分方程来研究.最后,使用Schauder不动点定理得到了该方程周期行波解的存在性,推广了已有结果.     

具有对流项的非线性奇摄动抛物型方程的周期解

本文证明了如果f和F关于t为周期函数,下面的奇摄动方程的边值问题有周期解:μ~2u_(xx)=u_t+bu_x+au+μF(x,t,u)+f(x,t)。文中亦给出解的渐近展式。     

浅水波方程模型与奇非线性行波方程解的动力学行为及精确的参数表示：动力系统方法

首先,介绍在重力作用下,无旋、无黏性和不可压缩的流体的表面波传播的一维(或两维单向)浅水波运动的各种不同模型(PDE),这些模型对应的行波系统一般是奇平面动力系统.其次,用著名的广义Camassa-Holm方程作为例子,通过对应的行波系统的精确解来研究该方程的尖孤子、周期尖波、伪尖孤子、伪周期尖波及有界破缺波解的存在性.第三,应用动力系统分支理论和奇摄动几何理论相结合的方法,建立了奇非线性行波方程研究的理论和方法,介绍奇非线性行波动力学行为的2个主要定理,完整地解决了波的光滑性与非光滑性、完整性和破缺性的判定问题.第四,介绍当伴随正则系统直线解上的奇点是结点时,如何用相轨道识别对应的波形,并研究一个非线性水波方程,获得该系统的各型光滑的孤立波和周期波在不同参数条件下的存在性和精确的参数表示.