方程(dy)/(dx)=sum form 0≤i+j≤2 q_(ij)x~iy~j/sum form 0≤i+j≤2 p_(ij)x~iy~j之定性研究

本文已将方程:的轨线分布的全局拓扑结构研究清楚,此外,给出方程:有唯一极限环的一个证明。     

具有两条实或虚直线解的系统 X|.=-ax-by+sum from i+j=3 a_(ij)x~iy~j,y|.=cx+dy

本文给出了当实系统X|.=-ax-by+sum from i+j=3 a_(ij)x~iy~j,y|.=cx+dy具有两条相交实直线解或两条共轭虚直线解时的一般形式。我们证明了,若此系统具有两条相交实直线解,则此系统不存在极限环;若此系统具有两条共轭虚直线解,则此系统至多存在一个极限环。关于极限环唯一性的证明,我们应用了Dulac函数。本文还给出了此系统恰好存在一个极限环的充分必要条件。     

关于(dy)/(dx)=(λx~5+sum from 1 to 5a_iy~ix~(n-i))/(-y~5+sum from 0 to 4b_iy~ix~(n-i))的积分曲线

记所论微分方程为(E_λ)_5,本文继续文[1]的研究,求出(E_λ)_5的全部51种“基本型阵”,并证明相应的“实现定理”。最后,指出(E_λ)_6的基本型阵总共有281种。     

微分方程dy/dx=(a_1x b_1y c_1)/(a_2x b_2y c_2)

1.引言对于这类方程的传统处理,是就系数比a_1/了_1与a_2/b_2相等和不等的情况而分为两支进行独立研究。当a_1/b_1≠a_2/b_2时,先化成齐次式     

关于微分方程dy/dx=(a_1x b_1y c_1)/(a_2x b_2y c_2)的解法

讨论了微分方程dy/dx=a_1x b_1y c_1/a_2x b_2y c_2的一般解法,并给出了该微分方程的另一种解法。     

关于丢番图方程sum from i=1 to n sum from j=1 to n a_(ij)x_ix_j=0的整数解

当丢番图方程∑ni=1∑nj=1aijxixj=0有一组不全为0的整数解时,给出了它满足(x1,x2,…,xn)=1的全部整数解的公式.     

关于丢番图方程sum from i=1 to n sum from j=1 to n(a_(ij)/x_ix_j)=0的整数解

当丢番图方程∑ni=1∑nj=1aijyiyj=0有一组非平凡的整数解y 1,y 2,…,y n(y n≠0)时,给出了方程∑ni=1∑nj=1aijxixj=0满足(x1,x2,…,xn)=1的全部整数解的公式.     

二次型f(x_1,x_2…,x_n)=sum(sum(a_(ij)x_i x_j) from i=1 to n) from i=1 to n)(a_(ij)=a_(ji))在重积分上的应用

<正> 众所周知,“二次型是代数学的一个基本内容。其用途十分广泛,而重积分的计算往往存在技术性的困难,若利用“二次型”有关理论去解决某些重积分的计算问题是颇有功效的。本文将给出怎样利用“二次型”有关理论去处理重积分的某些问题。     

微分方程(dy)/(dx)=(ax~4+bx~3y+cx~2y~2+dxy~3+ey~4)/(a_1x~4+b_1x~3y+c_1x~2y~2+d_1xy~3+e_1y~4)的积分曲线的分布

指出了关于建立一阶齐次方程dy/dx=f(y/x)的积分曲线的一般方法。利用这一方法作出了方程的各种类型的积分曲线。张棣又用这个方法讨论了方程的     

dx_i/dt=-a_(ii)(t)f_(ii)(x_i)+sum(a_(ij)(t)f_(ij)(x_j)) from j=1(j≠i) to n 的解的全局稳定性

讨论了系统dx_i/dt=-a_(ii)(t)f_(ii)(x_i)+sum(a_(ij)(t)f_(ij)(x_j)) from j=1(j≠i) to n(i＝1,...,n),应用大系统的分解理论,得到了该系统零解全局稳定的充分条件.此条件简明扼要,容易验证,实用方便.     

微分方程组(dx)/(dt)=y,(dy)/(dt)Q_3(x,y)的极限环

<正> 的极限环之若干存在和唯一性条件。当(1)仅有一奇点时,1964年我们曾作过讨论,其中部分结论与文[1]一致。本文就(1)有两个和三个奇点的情况讨论极限环的存在与唯一性,并讨论(1)二次和三次代数曲线解与极限环的存在性的关系。     

关于方程sum from j=0 to h(x-j)~n=sum from j=1 to h(x+j)~n

(1)Ed.CollignonO)售经证明方程h h∑(形一力“=∑(。+歹)”j—O j;1对于铭=3或4无正整数解。今年一月问,秦淦来信提出关于方料C1)的正整数解z,h的问题。他说用很麻烦的计算可能证明在3≤竹≤100时,(1)式无正整数解。但是对于n>100,无法解决。本文将证明妲墩.2兰曼堕垂要鍪墼篓二, ‘ 当n=l时,显然(1)式有解(2)皂口有(3) z=2∑歹=忍(忍+1)。 . j=1当诏=2时,亦易知(1)式有正整数解设竹≥3,由(1)式得出:z=4∑,=2庇(死+1)。 j=1 『等L 1z”=妾((抖∥一 “)=2善(:,二。)蚤h(x-4) 1尹斗1矿@件1),z”=∑((抖,)“一 “)=2∑(:川)∑∥Ⅵ叫。件¨,…     

微分方程(dx)/(dt)=h(y)-F(x),(dy)/(dt)=-g(x)存在极限环的一个充分条件

For the equations dx/dt=h(y)-f(x), dy/dt=-g(x)there are some results about the existence of limiting cycle under the monotone condition provided on h(y). In this paper, the same result without the monotone assumption is proved.     

求方程组(dy)/(dx)=Ay+P_m(x)~(e~(x))特解的矩阵解法

本文讨论方程组dy/dx=Ay+Pm(x)e~(αx)(1)的矩阵解法,其中A为n阶常系数矩阵,Pm(x)为m次矩阵多项式,α为常数.通常书中所给出的求这类方程特解的待定系数法只能在具体方程给出后由手工计算求解,无法在计算机上实现.关于齐次方程组dy/dx=Ay(2)的基解的一般递推公式已有人给出.本文用矩阵导出求(1)的特解的一组递推公式,与[2]中公式相结合形成了求(1)的通解的完整算法。这一算法易于编制程序,完全实现了用计算机解方程组(1)的目的.     

迭代序列x_(n+1)=(α+βx_(n-k))/(1+sum from i=1 to k x_(n-i+1)~γ)的全局性质

通过函数f(x)=(α+βx)/(1+kxγ)在[0,+∞)上的单调性,并利用上下极限方法得到了非线性差分方程x_(n+1)=(α+βx_(n-k))/(1+sum from i=1 to k x_(n-i+1)~γ)正平衡点的全局吸引性,同时还得到正振动解的半循环分布.其中α>0,0<β<1,0<γ≤1,k∈N,x-k…x0是任意非负实数.     

微分方程组(dx)/(dt)=P_3(x,y),(dy)/(dt)=Q_3(x,y)的週期解与极限环

討論题目中P_3(x,y)与Q_3(y,x)是具实系数的三次多項式时的方程組的週期解与极限环問题。設方程組至少有一指标为+1的初等奇点且可写成下列形式 dx/dt=-y+xF_1(x,y)+gy~2+hy~3,dy/dt=x+yF_2(x,y)+rx~2+sx~3其中,F_1(x,y)与F_2(x,y)均为二次多項式。当g=h=r=s=0时,在F_1(x,y)≡F_2(x,y)或F_2(x,y)≡0的假設下,就上列方程組建立了极限环的存在唯一性定理。此外,对上列方程組本身以及其他一些特殊情况分別給出了存在极限环或不存在週期解的充分性条件。     

关于方程sum from j=0 to (n-1)(x+jr)~t=(x+nr)~t

V.A.Lebesque1 曾经证明方程 在t=3时,仅有正整数解n=3,x=3r。本文证明了方程(1)在4≤t≤10时无正整数解。由于(1)对于x和r是齐式的,所以我们可以假定(x,r)=1。对于方程(1),有下面的一些性质。引理1.n≥2t+2,k≤t,则有     

渐近估计式(sum form n≤x) φ(n)=(3/π~2)x~2+O(xlogx)的推广

设φ(n)是 Euler函数 ,本文将渐近估计式 ∑n≤ xφ(n) =3π2 x2 +O(xlogx) (x >2 )进行了一系列推广 ,给出了∑n≤ xnαφ(n) ,∑n≤ x(-1 ) n- 1 nαφ(n) ,∑n≤ xp | nnαφ(n) ,∑n≤ xp | nnαφ(n)等和式的渐近估计式     

关于高阶方程(~nu/t~n)=(-1)~(n+1)sum from i''j=1 to M a_(ij)(~(2n)u/x_i~nx_j~n)的一个DUFF型差分格式

Ｓ．Ｍｃｋｅｅ在［１］中讨论了高阶方程 的Ｄｕ Ｆｏｒｔ－Ｆｒａｎｋｅｌ（ＤＵＦＦ）差分格式的稳定性，本文讨论一般的高阶方程 的一个ＤＵＦＦ型差分格式的稳定性．其中系数ａｉｉ＞０，ａｉｊ＝ａｊｉ（ｉｊ＝１，２，…，Ｍ）均为常数， 且满足关系式 其中ξ１，ξ２，…ξＭ不全为零的任意实数。     

方程(dy)/(dx)=(q_(00)+q_(10)x+q_(01)y+q_(20)x~2+q_(11)xy+q_(02)y~2)/(p_(00)+p_(10)x+p_(01)y+p_(20)x~2+p_(11)xy+p_(02)y~2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅴ)

本文考虑形如 dx/dt=-y+ny~2+mxy+dx,dy/dt=x(1+ax)(1)的第Ⅱ类方程的极限环的相对位置,方程(1)一般有四个初步奇点,两个指标+1的奇点,两个指标-1的奇点(即鞍点)。在§1中,我們給出两个指标+1的奇点附近存在极限环与不存在极限环的某些充分或必要的条件,且給出两个指标+1的奇点附近同时存在极限环与不可能同时存在极限环的充分条件。在§2中,我們分析了方程(1)的軌綫的全局拓扑結构,並分析了两个指标-1的鞍点产生分界环线的可能性,且由这些分界环线的稳定性确定指标+1的奇点附近出現极限环的个数的奇偶性。同时,我們发現了在某些情形,当|d|由零增加至|m|时,在奇点R′附近会突然跳出一个半稳定坏,然后分裂为至少一个稳定环和一个不稳定环。