修整HERMITE-FEJER插值在ORLICZ空间中的逼近

给出了不等式‖ＰＮ‖（Ｍ）Ｗ≤Ｃｉｎｆα｛α＞０：１ｎｑｊ＝０ｎｋ＝１Ｍ［１α（１－ｘ２ｋｎ）ｊ｜ＰＮ（ｊ）（ｘｋ）｜］≤１｝其中Ｎ＝（ｑ＋１）ｎ－１,ＰＮ（ｘ）为阶≤Ｎ的代数多项式,ｘｋ（ｋ＝１,２,…,ｎ）为第一类Ｃｈｅｂｙ－ｓｈｅｖ多项式的零点．讨论了此不等式的应用．     

关于Hermite-Fejēr插值算子的p方收敛

在以第二类Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ多项式Ｕｎ（ｘ）的零点ｘｋ＝ｃｏｓθｋ＝ｃｏｓｋπｎ＋１，（ｋ＝１，２，…，ｎ）为插值节点的条件下，讨论了Ｈｅｒｍｉｔｅ－Ｆｅｊēｒ插值算子在［－１，１］上以（１－ｘ２）１２为权函数的ｐ方收敛问题，得到的收敛阶为Ｏ（１）ｗ１ｎＰ＋Ｂｎｐ｛｝．     

时间序列引出的数学问题（三）

若Ｘ′＝（ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ）,问在ｎｉ＝１ｘ２ｉ≤１条件下,ａ３＝ｎ－２ｉ＝１ｘｉｘｉ＋２,ａ５＝ｎ－１ｉ＝１ｘｉｘｉ＋１,当ｘ取遍ｎｉ＝１ｘ２ｉ≤１的点,（ａ３,ａ５）在平面上构成怎样的图形．该文对ｎ＝５给出解析解．     

关于连续数方程注记

本文用初等方法证明了,当ｎ,ｘ ,ｒ 是正整数且ｒ ＞ ３ ,ｄ ＝ ２ｓ＋ ２ ,整数Ｓ≥０ ,ｇｃｄ（ ｘ,ｄ） ＝ １ ,丢番图方程ｎ－１ｋ＝ ０（ｘ ＋ ｄｋ）ｒ ＝ （ｘ ＋ ｄｎ）ｒ 无整数解。     

关于Aithem加速方法的一个注记

证明了当序列＾／ｘ＝ｘｋ＝（ｘｋ＋１－ｘｋ）＾２／ｘｋ＋２－２ｘｋ＋１＋ｘｋ，（ｋ＝０，１，…）满足一定条件时，必定比序列｛ｘｋ｝更快的收敛于极限点ｘ＾＊。     

Cycles Through Many Vertices of Given Subsets in 1-Tough Graphs

设Ｇ是ｎ阶１－坚韧图，Ｘ是Ｇ的顶点子集合，定义α（Ｘ）＝ｍａｘ｛｜Ｓ｜｜Ｓ是诱导子图Ｇ［Ｘ］中的顶点独立集｝，σｋ（Ｘ）＝ｍｉｎ｛ｋｉ＝１ｄ（ｘｉ）｜｛ｘ１，ｘ２，…，ｘｋ｝是独立集｝和ｃ（Ｘ）＝ｍａｘ｛｜Ｖ（Ｃ）∩Ｘ｜｜Ｃ是Ｇ中的圈｝。我们得到如下主要结果：设Ｇ是ｎ阶１－坚韧图，并且σ３（Ｘ）≥ｎ，则ｃ（Ｘ）≥ｍｉｎ｛｜Ｘ｜，｜Ｘ｜＋δ（Ｘ）－α（Ｘ）＋１｜，并且这下界是最好的，这里δ（Ｘ）是不小于１３σ３（Ｘ）的最小正整数．     

自相似分形的Hausdorff测度

研究了自相似分形的Ｈａｕｓｄｏｒｆ测度的上界估计问题,得到以下结果：设Ｓ是Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ垫,ｓ＝ｌｏｇ２３是Ｓ的Ｈａｕｓｄｏｒｆ维数,对任一ｘ,０＜ｘ＜１２,将ｘ表为ｘ＝１２ｉ１＋１２ｉ２＋…,ｉ１＜ｉ２＜…,ｉ１,ｉ２,…∈Ｎ．则Ｓ的Ｈａｕｓｄｏｒｆ测度Ｈｓ（Ｓ）满足Ｈｓ（Ｓ）≤１１－３２∞ｊ＝１２ｊ３ｉｊ（１－ｘ）ｓ．取ｘ＝１２３＋（１２４＋１２６＋…＋１２２ｋ＋…）,ｋ＝２,３,…．则得到Ｈｓ（Ｓ）＜０．８７０１．记Ｈ（ｘ）＝１１－３２∞ｊ＝１２ｊ３ｉｊ（１－ｘ）ｓ则ｉｎｆ０＜ｘ＜１２｛Ｈ（ｘ）｝≥ｍｉｎ｛Ｈ（ｉ２ｎ）（２ｎ－ｉ－１２ｎ－１）Ｓ：ｉ＝１,２,…,２ｎ－１－１｝．取ｎ＝２０,上机运算得ｉｎｆ０＜ｘ＜１２｛Ｈ（ｘ）｝＞０．８７００．由此可知０．８７０１是本文这种方法估计Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ垫的Ｈａｕｓｄｏｒｆ测度的相当好的上界．     

关于“k——序哈密尔顿图”一文的一点注记

本注记改正文［１］中一个引理的一点错误及引理证明中的失误。重新证明了若ｎ阶图Ｇ的任二不相邻顶点ｕ、ｖ有ｄ（ｕ）＋ｄ（ｖ）≥ｎ＋２ｋ－７，４≤ｋ≤ｎ，则对于Ｇ的任意不同的ｋ个顶点ｖ１，ｖ２，…，ｖｋ，有ｖ１（ｘ１）ｖ２（ｘ２）…ｖｋ－１（ｘｋ－１）ｖｋ型ｖ１—ｖｋ路（我们用ｖｉ（ｘｉ）ｖｉ＋１表示ｖｉｖｉ＋１或ｖｉｘｉｖｉ＋１。）或ｖｋｖ１（ｘ１）…（ｘｋ－２）ｖｋ－１型ｖｋ—ｖｋ－１路；若对任不相邻两顶点ｕ、ｖ有ｄ（ｕ）＋ｄ（ｖ）≥ｎ，则对于Ｇ中任三点ｖ１，ｖ２，ｖ３存在ｖ１（ｘ１）ｖ２（ｘ２）ｖ３型ｖ１—ｖ３路。最后对文［１］中的公开问题１提出自己的看法。     

平均差

对于一组数据ｘ１、ｘ２、…、ｘｎ,把各数据与它们的平均数的差的平方的平均数Ｓ２＝１ｎ［（ｘ１－ｘ）２＋（ｘ２－ｘ）２＋…＋（ｘｎ－ｘ）２］叫做这组数据的方差,公式简记作：Ｓ２＝１ｎｎｉ＝１（ｘｉ－ｘ）２（１）在实践中,针对不同的数据为了简化计算,式（１）有几个变形：Ｓ２＝１ｎ（ｎｉ＝１ｘ２ｉ－ｎｘ２）（２）Ｓ２＝１ｎ（ｎｉ＝１ｘ′２ｉ－ｎｘ′２）（３）其中ｘ１′＝ｘ１－ａ,ｘ２′＝ｘ２－ａ,…,ｘｎ′＝ｘｎ－ａ,这里ａ是接近这组数据的平均数的常数－在实践中,对一般的组数据,方差的计算非常麻…     

中立型时滞微分方程的离散分析的振动性

本文考虑时滞差分方程Δ（ｘ＿ｎ—ｃｘ＿（ｎ－１））＋ｐ＿ｎｘ＿（ｎ－ｋ１）—ｑｘ＿（ｎ－ｋ２）＝０，ｎ＝０，１，２……的解的振动性，得出其振动的两个充分条件。     

r阶导数为ΦBV中函数的Fourier级数收敛速度估计

对于周期为２π并且ｒ阶导数为φ－有界变差函数,我们证明了：│Ｓｎ（ｆ,ｘ）－ｆ（ｘ）－ｓｉｎｒ／２π／πｎ＾ｒ（ｆＲ＾（ｒ）（ｘ）－ｆＬ＾（ｒ）（ｘ））│≤３／ｎ＾ｒ＋１Σ↑ｎ↓ｋ＝１Ｖφ（ψｘ,［０,π／ｋ］）＋２│ｓｉｎｒ／２π│／πｎ＾ｒ＋１│ｆＲ＾（ｒ）（ｘ）－（ｆＬ＾（ｒ）（ｘ）│,其中ｆ∈φＢＶ∩Ｖｒ。     

丢番图方程sum from k＝0 to n－1 of （x＋d_2k）~r＝（x＋d_2n）~r

证明了当ｎ，ｘ，ｒ为正整数且ｒ＞３，ｓ为非负整数，（Ⅰ）ｒ为奇数，ｄ２＝４０ｓ＋２，２２．（Ⅱ）ｒ为偶数，ｄ２＝４０ｓ＋１２，ｄ２＝８０ｓ＋２２，４２ｇｃｄ（ｘ，ｄ２）＝１，丢番图方程∑ｎ－１ｋ＝０（ｘ＋ｄ２ｋ）ｒ＝（ｘ＋ｄ２ｎ）ｒ无整数解     

Bernstein不等式的推广

本文得到以下形式的Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ不等式：Ｐｎ（Ｄ）＝∏ｋｓ＝１（Ｄ２＋２αｓＤ＋α２ｓ＋β２ｓ）∏ｎ－２ｋｊ＝１（Ｄ－λｊ），Ｄ＝ｄｄｘ，λｊ，αｓ，βｓ是实数，βｓ＞０，β＝ｍａｘ１≤ｓ≤ｋβｓ，如果σ＞４β，则对任一指数型整函数ｆ（ｘ）∈Ｂσ，有‖Ｐｎ（Ｄ）ｆ（ｘ）‖ｃ≤｜Ｐｎ（ｉσ）｜ｓｕｐ－∞＜ｘ＜∞｜ｆ（ｘ）｜．     

用球面Jackson多项式刻划Besov空间

记Ｓｎ－ １ 为ｎ（ｎ ≥３） 维欧氏空间Ｒｎ 中的ｎ － １ 维单位球面,Ｘｐ （Ｓｎ－ １） 为Ｓｎ－ １ 上的ｐ（１ ≤ｐ ≤∞） 幂可积函数空间,或连续函数空间,并记Δ＝ ｛ｇ（ｘ）｜ｇ,Δｇ ∈Ｘｐ （Ｓｎ－ １）｝,Δｆ ＝ ｎｉ＝ １２ｇ（ｘ）ｘｉ２ ｜｜ｘ｜＝ １,ｇ（ｘ） ＝ ｆ（ ｘ｜ｘ｜）．作Ｋ 泛函Ｋ（ｆ,δ）ｐ ＝ ｉｎｆｇ∈Δ｛‖ｆ － ｇ‖ｐ ＋ δ‖ｇ‖Δ｝以及Ｂｅｓｏｖ 空间（Ｘｐ ,Δ）θ,ｑ（０ ＜ θ＜ ２,１ ≤ｑ ≤∞）,则有下面的（ｉ）,（ｉｉ） 为等价的：（ｉ）　ｆ ∈（Ｘｐ ,Δ）θ,ｑ;　（ｉｉ）　［∞ｖ＝ １（ｖθ‖Ｊｖ,ｓ（ｆ） － ｆ‖ｐ）ｑ １ｎ ］１ｑ ＜ ＋ ∞当ｑ＝ ∞时,ｆ ∈（Ｘｐ ,Δ）θ,∞‖Ｊｖ,ｓ（ｆ）－ ｆ‖ｐ ＝ Ｏ（ｖ－ θ）,其中Ｊｖ,ｓ（ｆ）为球面Ｊａｃｋｓｏｎ 平均。     

丢番图方程∑（n—1,k=0）（x＋d2k）^r=（x＋d2n）^r

证明了当ｎ，ｘ，ｒ为正整数县ｒ〉３，ｓ为非负整数，（Ⅰ）ｒ为奇数，ｄ２＝４０ｓ＋２，２２．（Ⅱ）ｒ为偶数，ｄ２＝４０ｓ＋１２，ｄ２＝８０ｓ２２，４２ｇｃｄ（ｘ，ｄ２）＝１，丢番图方程∑（ｎ－１，ｋ＝０）（ｘ＋ｄ２ｋ）＾ｒ＝（ｘ＋ｄ２ｎ）＾ｒ无整数解。     

Lobesgue型函数的精确阶

给出λｎ（ｘ）＝ｎ／∑／ｋ＝１｜ｚ－ｘｈ｜＾ｚ｜ｌｋ（ｘ）｜＾ｔ和它的更广泛形式∧ｎ（ｘ）＝ｊｎ／∑／ｈ＝ｉｎ｜ｘ－ｘｋ｜＾ｓ｜ｌｋ（ｘ）｜＾ｔ的精确阶，它们分别是１／ｎ＾ｉ－１，其中，ｓ，ｔ是满足ｓ≥ｔ≥１的固定实数，１≥ｉｎ≥ｊｎ≥ｎ，ｍｎ＝ｊｎ＝ｉｎ＋１。     

线性结构关系模型参数估计的强收敛速度

该文讨论了线性结构关系模型｛β’ｘｋ＋α＝０ ζｋ＝ｘｋ＋εｋ ｛εｋ，ｋ＝１，２，…，ｎ｝，ｉ，ｉ，ｄ。ｋ＝１，２，…，ｎ，Ｅ（ε１）＝０ ｖａｒ（ε１）＝σ＾２Ｉｍ式中，｛ｘｋ，ｋ＝１，２，…，ｎ｝为一组ｉ．ｉ．ｄ。的不可观测的ｍ维随机向量，｛ｘｋ，ｋ＝１，２，…，｝，与｛εｋ，１，２，…，ｎ｝相互独立。     

有限域上某些对角方程的解数

设Ｉ（ｄ１…，ｄｎ）表示方程ｘ１／ｄ１＋…＋ｘｎ／ｄｎ＝（ｍｏｄｌ），１≤ｘｉ≤ｄｉ－１，ｉ＝１，…，ｎ的整数解（ｘ１，…，ｘｎ）∈Ｚ＾（ｎ）的个数。作者给出了当Ｉ（ｄ１，…，ｄｎ）＝２，２│ｎ以及Ｉ（ｄ１…，ｄｎ）＝３时，有限域Ｆｑ上的对角方程ｃ１ｘ１＾ｄ１＋…＋ｃπｘπ＾ｄｎ＝０，ｃｊ∈Ｆｑ＾＊，ｉ＝１，…，ｎ的解的数的直接公式，这里ｄｊ│ｑ－１，ｄｊ〉１，ｊ＝１，…，ｎ。     

关于Hennekemper的一个基本不等式

用与Ｈｅｎｎｅｋｅｍｐｅｒ不同的方法研究了（ｆ＾ｋ＋１）＾（ｋ）的值分布，将Ｈｅｎｎｅｋｅｍｐｅｒ所得的基本不等式推广至小函数情形，得到了如下定理：设ｆ为超越亚纯函数，Ｆ＝（ｆ＾ｋ＋１）＾（ｋ），ｋ∈Ｎ，ψ为非零的小函数，则Ｔ（ｘ，ｆ）≤（１＋２ｋ＋１／４ｋ＾２＋２ｋ－１）Ｎ（ｒ，１／ｆ）＋４ｋ＋２／４ｋ＾２＋２ｋ－１Ｎ↑－（ｒ，１／Ｆ－ψ）＋Ｓ（ｒ，ｆ）。     

带有n-1阶差分项的n阶差分方程解的振动性及渐近性

讨论了高阶差分方程Δｎｘ（ｋ） ＋ ｐ（ ｋ）Δｎ － １ ｘ（ ｋ） ＋ ｑ（ ｋ） ｆ（ ｘ（ ｇ１（ ｋ）） ,…,ｘ（ ｇ ｍ（ ｋ））） ＝ ０ ． ｋ ∈ Ｎ（０） 解的振动性及渐近性问题． 这里Δ表示差分算子：Δｘ（ｋ） ＝ ｘ（ｋ ＋ １） － ｘ（ ｋ） ,Δｍｘ ＝ Δ（Δｍ － １ ｘ） ,ｍ ＝ １ ,２ ,…,ｎ ,Δ０ ｘ ＝ ｘ ;ｎ（ ａ） ＝ ｛ａ ,ａ ＋ １ ,…｝ ．