从距离空间完备性角度探讨实数完备性理论

关于分析理论中完备性的相关理论,一般比较熟悉的是实数集完备性定理,但"数学分析"课程中实数集完备性定理的证明比较复杂,学生不太容易理解.为此,从"泛函分析"课程中的距离空间完备性的角度来阐述实数集完备性定理,把实数集看作为一个特殊的距离空间,得到实数完备性理论实际上是距离空间完备性理论的特殊情况的结论,从而帮助学生对实数的完备性理论有更加深入的理解.     

“数学疯病”集合论

自从17世纪牛顿和莱布尼茨创立微积分理论体系之后,在近一二百年的时间里,微积分理论一直缺乏一个严格的逻辑基础。它的一些基本概念的表述,还有某些混乱和自相矛盾之处。从19世纪开始,柯西、魏尔斯特拉斯等人进行了微积分理论严格化的工作。他们建立了极限理论,并把极限理论的基础归结为实数理论。那么,实数理     

实数的稠密性

实数的稠密性最简单的描述是任意两个不等的实数之间都有无限个其它实数.这个命题的证明是简单的.但是实数的稠密性的另一个含义,即任意两个不等的有理数之间都有无限个无理数,任意两个不等的无理数之间都有无限个有理数,确不容易显式的证明.文章利用实数的十进制表示来详细地证明这个事实.     

实数十进制小数表示中的几个问题探讨

用纯粹初等方法回答实数十进制小数表示中几个易被忽视的问题：为什么有理数（分数）恰好是有限小数或无限循环小数？如何认识无理数是“无限不循环小数”？如何化无限循环小数为分数？分数能够化为有限小数、纯循环小数或混循环小数的充分必要条件是什么？最后进一步分析了分数表为无限循环小数的大循环部分与循环节长度问题，由于避开了抽象严密的实数构造理论，本文的论述对中学生、一年级大学生可以有很好的启示作用．     

如何讲好“实数理论”

本文探讨如何讲好“实数理论”。从实数集的完备性的公理出发到讲解“实数理论”的一系列定理及用这些定理证明的后继定理都应该突出“实数集的完备性”。使学生能抓住事物的本质，深刻理解“实数集的完备性”是《数学分析》的理论基础。     

一个非线性素变数丢番图不等式

假设λ1,λ2,λ3,λ4 是非零实数,并且不同一符号,η是实数,λ1 /λ2 是无理数,那么有无穷多有序素数组(p1,p2,p3,p4 )使得 |η+λ1p1 +λ2p2 +λ3p23 +λ4p24 |< (maxpj)-1/14 (logmaxpj)7.     

素变量混合幂丢番图方程

设η是任意给定的实数,假设λ_1,λ_2,λ_3,λ_4是非零实数,不全同号,并且λ_1/λ_2是无理数,则不等式■有无穷多组素数解p_1,p_2,p_3,p_4,使用Davenport-Heilbronn方法计算,得到maxp_j的指数估计为■     

相容关系的改进及其属性约简

针对经典粗糙集理论处理不完备信息系统存在的局限性,作者从扩展粗糙集理论的适用范围出发,引入不完备信息系统对象的先验概率并结合量化相容关系的思想,提出了改进的相容关系模型.以该模型为基础研究了不完备信息系统的属性约简.通过严格的数学证明,给出了属性约简算法.该算法以空集为起点求取系统的约简,不需要计算核,节约了时间,减少了占用空间,简化了求解过程.通过实例验证该改进相容关系模型及其属性约简算法.     

极大相容度关系模型及其属性约简

经典粗集理论以等价关系为基础,它们在处理不完备信息系统时存在一定的局限性.从扩展粗集理论的适应范围角度出发,引入信息系统对象的先验概率,结合量化相容关系的思想,提出了极大相容度关系模型,然后以该模型为基础研究了不完备信息系统的属性约简,通过严格的数学证明,提出了一种不完备信息系统的启发式属性约简算法.最后通过一个实例验证了该相容关系模型及其基于启发式的属性约简算法.     

非标准实数域R及其性质

在对实数域保持有序性而放弃完备性之要求下的一个扩超实数域。超实数域作为对零，正整数直接施行有限哐光限次的加、乘及逆运算（零可作除数、域的定义随之家所扩展）封闭的有序不完备域的建立及其性质。