二阶数值微分的积分方程方法

考虑一个由函数的测量数据求解其二阶导数的数值微分问题。这是一个经典的不适定问题,测量数据的微小扰动将引起其导数的急剧变化。将该问题表示为第一类的积分方程,并引入Lavrentiev正则化方法对其进行求解,获得了二阶数值微分的稳定化算法。另外,基于积分方程算子的性质,进一步给出了正则化解的收敛性以及正则化参数的选取策略。     

基于MATLAB的数值求导

数值微分作为一个典型的反问题,在Hadamard意义下是不适定的,即在求导中函数的微小扰动就可能导致计算上很大的误差.本文基于连续的Tikhonov正则化方法,讨论了用离散正则化方法处理数值求导的有关理论和技术问题包括离散正则解的收敛性、稳定性和在原始数据的误差水平已知和未知的情况下的正则参数选取问题,给出了稳定的和有效的算法,并在Matlab环境下加以实现,进行了成功的数值试验和对比试验研究.     

算子及观测数据都非精确情况下一种新的正则参数选择方法

在考虑算子及右端项都扰动的情况下,研究求解第一类算子方程的正则参数选择方法.提出了一种新的正则参数选择策略:即修正的广义偏差原则(MGDP)并进行了理论分析,数值试验则进一步证明了该方法的有效性.     

关于不适定问题的迭代Tikhonov正则化方法

讨论了求解不适定问题Kx=y的迭代Tikhonov正则化方法:x0a=0,(αI+K*K)xma=K*y+αxm-1a,m=1,2,….文中将参数α取为固定常数(α＞0),这时迭代次数m起到正则化参数的作用.推导出正则滤波函数的性质,给出正则化参数m的先验估计m=m(α,δ)=O(αδ-2/2r+1),r≥0,证明了误差估计的收敛阶达到最优.在实际中,这种方法比将α看作正则化参数更容易计算.数值例子验证了理论结果.     

解非线性不适定问题的一种正则化方法

研究了在实Hilbert空间中,求解非线性不适定问题的方法．通过对修正的三阶牛顿法进行Tikhonov正则化,得到新的迭代格式．在适当的条件下选取正则化参数,应用广义偏差准则,得出该迭代格式是单调的且是收敛性的．结果表明此迭代格式可应用于求解非线性不适定问题．     

数值微分问题正则化解的局部性质

数据微分问题是一个典型的不适定问题.讨论关于不连续函数的数值微分问题,证明其正则化解的二阶导数的范数会出现趋向无穷的现象,并且证明这种趋向无穷的现象发生在不连续点附近.这种现象可以用来识别不连续点的位置.     

广义迭代Tikhonov正则化方法的参数选取

在模型具有误差的情况下，讨论了求第一类算子方程解的含闭算子的迭代Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法．运用谱理论建立使正则化逼近解具有最优收敛阶的选取正则参数的方法，得到收敛性及收敛阶估计定理     

解非线性不适定问题的一种正则化方法

研究了在实Hilbert空间中,求解非线性不适定问题的方法.通过对修正的三阶牛顿法进行Tikhonov正则化,得到新的迭代格式.在适当的条件下选取正则化参数,应用广义偏差准则,得出该迭代格式是单调的且是收敛性的.结果表明,此迭代格式可应用于求解非线性不适定问题.     

一类非特征Cauchy问题的积分方程方法

利用积分方程方法讨论了一类抛物方程变系数非特征Cauchy问题,恢复了解的稳定性,得到了误差估计,并给出了数值算例.     

非齐次热传导方程逆时问题的一种正则化方法

考虑了一类非齐次热传导方程的逆时问题,它是个典型的不适定问题．通过将方程的非齐次项和T时刻的温度场u（x,T）作Fourier展开,构造出正则化的近似问题,从而获得原逆时问题的正则化解,并给出了正则化解的稳定性估计和收敛性估计．最后,用数值例子说明该正则化方法是可行的．     

解二维第一类积分方程的正则化方法

采用修改的Tikhonov正则化方法，提出了一种新的求二维第一类积分方程数值解的计算方法，并证明了解的存在唯一性，给出了算例，说明了算法的有效性．     

解不适定算子方程的多层迭代法

将多层迭代法应用于不适定算子方程的数值求解,给出了利用离散偏差原则确定正则化参数进而求出近似解的快速算法。文章对算法误差进行了理论分析,并通过算例说明方法的有效性。     

近似已知函数的高精确度样条磨光微商方法

利用高精度样条函数磨光方法,构造了一种新的求近似已知函数微商的稳定方法。与G ROETSCH提出的求近似导数方法相比较,极大地提高了稳定近似导数的收敛率,在一定条件下可达到O(LΔL-1)(L是奇数)。数值实验显示新方法是有效的算法。     

椭圆方程初值问题的一个数值解法

讨论一类椭圆型方程初值问题的数值求解. 由于这类问题的严重不适定性, 其求解过程中必须采取适当的正则化. 利用算子谱分解的特定形式, 对问题的解进行分解, 在一个特定子空间上提出一种正则化方法, 并对Laplace方程初值问题进行数值计算. 数值结果表明该方法可行、 有效.     

周期函数的数值微分问题

用Tikhonov正则化方法讨论了周期函数的数值微分问题．证明Tikhonov正则化泛函存在唯一的极小元,且这个极小元是一个周期样条,并给出了该方法的误差估计．同其他相关的工作相比,发现对周期函数而言,此方法在边界上拟合的效果更好．     

算子非精确条件下确定正则化参数的一种方法

基于非标准的广义偏差原则,在算子及观测数据都有扰动的条件下,对于求解不适定问题的Tik-honov正则化方法,给出了一种选取正则化参数的简单迭代算法,并阐明了该迭代算法是一种线性模型函数算法.进一步地,利用线性模型函数方法,在一定条件下证明了所提出的选取正则化参数的简单迭代算法是收敛的,并通过数值算例验证了该方法的有效性.