关于孤立子的研究

首先简单回顾了光滑孤立子、尖孤立子、紧孤立子的发现过程.然后用动力系统分支方法和积分方法获得了4类方程的一些新孤立子解,这4类方程分别是著名的KdV方程、MKdV方程、Camassa-Holm方程和B(m,n)方程.       

Camassa-Holm方程的精确行波解及其凹凸尖峰与光滑孤立子解

在引入凹凸尖峰孤立子和光滑孤立子解的概念后,研究了一类完全可积的新型浅水波方程Camassa Holm方程的行波孤立子解.通过引入一个可以构造微分方程解的定理,构造出了Camassa Holm方程的行波解中具有尖峰性质的凹凸尖峰孤立子和光滑孤立子性质的解.     

一般变系数KdV方程的自-BT和变速孤立波解

设方程的系数满足线性相关条件 ,用齐次平衡原则导出了一般变系数KdV方程的自—Backlund变换(BT)。利用BT获得了变系数KdV方程的变速孤立波解 ,方程的系数不改变孤立波的波形 ,但是直接改变孤立波的传播速度 ,对于孤立波的振幅影响是增大或减小常数倍 ,该常数正是方程的变系数之间的一比例常数。     

(2+1)维ZK方程的多孤立波解

通过引入一个简单的线性变换,将(2+1)维Zakharov-Kuznetsor(ZK)方程化为一维Korteweg-de Vries(KdV)方程,然后利用KdV方程的多孤立波解得到了ZK方程的多孤立波解.结果表明,此时ZK方程的多孤立波为彼此平行的线孤子.     

广义强色散DGH方程的新型孤立波解

研究一类浅水波方程即广义强色散DGH方程,通过转化为双线性形式,得到了双Hamilton结构和一些守恒量．通过7种拟设得到了该方程丰富的精确解：紧孤立波解（compacton）,多重紧孤立波解,光滑孤立波解,尖峰孤立波解（peakon）,移动尖峰孤立波解,周期解等,特别是得到了一类新型孤立波解即具有尖点或者奇异点的双孤立波解．     

时滞Cahn-Hilliard方程的孤立波解

利用流量松弛方法导出了时滞Cahn-Hilliard方程,并利用最近提出的(G'/G)-展开法,求得了时滞Cahn-Hilliard方程的孤立波解,比较时滞Cahn-Hilliard方程和Cahn-Hilliard方程的孤立波解得出结论:时滞效应的存在将使孤立波的振幅增大,波宽变小。     

基于Matlab研究孤立波的非线性作用

孤立波在许多自然科学领域存在重要价值,它是推动非线性科学发展的重要概念之一,也是非线性发展方程的一种独特的现象。KdV方程的提出也从理论上阐明了孤立波的存在。利用Matlab软件绘制孤立波图,分析图中孤立波的性质,并对比了消除KdV方程非线性项后绘制出来的线性方程的波图形,总结出了KdV方程的非线性项对于孤立波存在起着重要的作用。     

(3+1)维ZK方程的N孤子解

运用Hirota方法解析求解Zakharov-Kuznetsov(ZK)方程,得到了ZK方程单孤立子解、双孤立子解以及多孤立子解的具体表达式.用三维图形展示了ZK方程双孤子的特殊相互作用过程.     

KdV-Burgers方程的孤立波解的性质

本文首先证明了KdV—Burgers方程的孤立波解的一个有用的等式:其中S(ξ)为孤立波波形,v为波速,C_(±)为s(ξ)的二不同渐近值(ξ→±∞时)。并由此推出孤立波解具扭钟形等若干性质,扭钟形孤立波兼有KdV方程和Burgers方程的孤立波的特性,但指出KdV方程不存在扭状或扭钟孤立波解,其次,还讨论了KdV—Burgers型方程的孤立波解的类似性质。     

Conley指标在偏微分方程的应用

将Conley指标应用到偏微分方程,对偏微分方程定义了孤立不变集、孤立邻域和孤立块,进而由拟指标对给出了Conley指标的定义,并对带概周期、快速振荡主部和非线性作用的非自治抛物方程,定义了孤立不变集的Conley指标.当振子的频率趋于无穷时,证明了平均自治方程的每个孤立紧不变集可以连续到非自治方程的斜积半流的孤立紧不变集上.     

混合AKNS-CLL方程的N-孤子解

由Hirota方法推导出混合AKNS-CLL方程的双线性导数方程和N-孤子解, 并比较混合AKNS-CLL方程、AKNS方程和CLL方程的单孤子解|q|和|r|的图像, 可以发现混合AKNS-CLL方程的特征形状不同于经典AKNS和CLL方程解. 最后, 通过约化, 得到混合非线性Schrödinger方程的N-孤子解.     

2+1维孤子方程的分解和相容解

一些2+1维孤子方程被分解成NLS方程和复MKdV方程,利用它们的分解包括Jacobi椭圆函数解、三角函数解、孤子解等可得到NLS方程和复MKdV方程的相容解.     

简单方程法求解非线性发展方程

利用已知精确解的简单方程求解高阶非线性发展方程,以SK方程为例,利用简单方程和Painleve截断展开法,求出该方程的多组行波解,包括孤立波解和类孤立波解,以及若干周期函数解,这种方法还可以用来求解其他高阶非线性发展方程.     

耦合的修正变系数KdV方程的非线性波解

研究一个带变系数的耦合修正KdV方程的非线性波解,利用F-展开法获得多种非线性波解,这些解包括孤立波解、扭波解(反扭波解)、爆破解和周期爆破解.带变系数的耦合修正KdV方程具有扭波解(反扭波解),而对于带变系数的耦合KdV方程,却未得到.这个结果与修正KdV方程和KdV方程的情形是类似的.     

含强非线性项的Davey-Stewartson方程组的显式精确解

对含强非线性项的Davey-Stewartson方程组进行了研究,首先将含强非线性项的Davey-Stewartson方程组约化成Lienard方程.通过求解Lienard方程,得到方程的精确解,包括钟型孤立子解、冲击波型孤立子解、周期波解和类孤立子解.     

mKdV和mBBM方程的新型孤子解

尖峰孤子解和紧孤子解是非线性方程的新型孤子解.利用相关文献提出的方法分别研究修正的KdV方程(mKdV)和修正的BBM方程(mBBM),得到3种形式的孤子解:尖峰孤子解、双峰孤子解和尖峰紧孤子解.通过数值模拟得到解的图像,其中之一为双峰形的孤立波.这些结果进一步丰富了这2个非线性波方程的精确解的形式和内容.该文提出的3个拟解之一还可以用于其他多个非线性波方程,如:Klein-Gordon方程、Ф4方程、Sine-Gordon方程和Landau-Ginzburg-Higgs方程.     

一个新的Hamiltonian振幅方程的周期波解

由扩展的F-展开法获得了一个新的Hamiltonian振幅方程的新形式的周期波解.在极限情形得到了由双曲函数和三角函数表示的解.作为特别情形,得到了非线性Schr(o)dinger方程的相应解.     

Sawada-Kotera-Kadomtsev-Petviashvili方程的行波解

研究了SK-KP方程,该方程同时具有Sawada-Kotera方程和Kadomtsev-Petviashvili方程两个模型的双重特点,是一个可积性非常好的高阶非线性偏微分方程.利用F展开法与指数函数法相结合的方法,考察了该方程的精确解,获得了许多与现有文献中解的表达式不相同的各种精确解,从而丰富了相关文献中关于SK-KP方程的孤立子解和周期解的种类.尽管这些解的形式独特,但它们同样具有孤立波解、纽子波解和周期波解的各种动力学特征.     

(3+1)维破裂孤子方程的精确解

引入1个简单的变换，把(3 1)维破裂孤子方程化为一维的KdV方程，从而通过已知KdV方程的解得到了(3 1)维破裂孤子方程的若干精确解．这种方法可以推广开来，方便地建立起某一高维方程和其他低维非线性方程的联系，然后通过求解低维的非线性方程来找到高维非线性方程的精确解．     

基于辅助方程法对Gardner-KP方程精确解的研究

用辅助方程法并借助符号计算软件Maple求解了Gardner-KP方程,获得了该方程丰富的精确行波解,其中包括双曲函数解、双周期Jacobi椭圆函数解。