后相对论时代的先验哲学

本文以康德的空间概念和数学哲学为切入点,试图给出在非欧几何与相对论的冲击之下,康德先验哲学得以进行自我辩护的一条思路.本文认为非欧几何和相对论与先验哲学是相容的,并且先验哲学为说明数学推理的内在约束机制提供了依据.     

绝对度量:非欧几何的开端

非欧几何的建立源于平行公设证明问题的解决过程,是数学家描述物理空间相对应几何的结果。从度量的角度审视非欧几何的创立过程,分析先驱者和创立者的具体工作。19世纪前数学家已意识到,承认存在长度绝对度量与否,是区分非欧几何与欧氏几何的关键。罗巴切夫斯基和波约考虑到不同尺度的空间具有不同的几何,在允许长度绝对度量的基础上建立了非欧几何。     

非欧几何思想的演化与发展

本文认为，非欧几何思想萌芽、发生和发展经过了三个阶段。第五公设可证明性问题的提出；建立了逻辑上为真的两种非欧几何，即问题的解决；非欧几何深层基础无矛盾性和经验有效性的研究，即理论（答案）的评价。三个阶段相续继起，互为条件，构成多几何思想演化发展的清晰脉络。文章特别注意分析了哲学思想在其演化过程中的重要启迪作用和先驱向导作用。     

关于《数学是什么》的若干疑问

本文对文「１」的几个论断提出一些疑问,并在“非欧几何与现实空间”、“数理逻辑与思维”、“哥德尔不完备性定理的意义”等若干问题上表述了与《数学是什么》一文中不同的观点。     

论高斯非欧几何学思想的实现途径

将高斯的几何学思想视为一个完整的思想体系,考察高斯的内蕴微分几何学与其非欧几何学思想的深刻内在联系、非欧几何学的实现途径以及实际的大地测量对其非欧几何学思想的验证.认为高斯的内蕴微分几何学本质上已经蕴涵了其非欧几何学的基本思想,并为非欧几何学的发展与最终确认指明了一条微分几何的途径.     

罗巴切夫斯基建立非欧几何的动机

通过剖析对比罗巴切夫斯基的几何学思想与拉普拉斯的力学理论,探析罗巴切夫斯基建立非欧几何的动机.拉普拉斯在力与速度存在任意函数关系的假设下,提出更一般的力学定律,罗巴切夫斯基在承认长度与角度存在函数关系的基础上,建立了更一般的几何.罗巴切夫斯基的非欧几何为拉普拉斯的力学理论提供了相应的空间背景;反之,拉普拉斯的力学理论为...     

兰伯特的几何学思想探析

德国数学家兰伯特在《平行线理论》中通过类比球面提出锐角假设在虚半径球面上成立,这一思想成为后来数学家建立和发展非欧几何的关键.兰伯特在对公理和定义的讨论中体现的几何哲学,使得他证明平行公设时回避了困扰前人的几何直观.他在同时期的数学工作中将圆函数和双曲函数类比,反映出其虚半径球面类比思想的来源和应用.     

数学价值标准的社会选择：外部因素在分析严格化运动中的作用

关于数学的发展,人们一般乐于引用汉克尔(H.Hankel)的那段著名的话:“在大多数科学里,一代人要推倒另一代人所修筑的东西,一个人所建立的另一个要加以摧毁。只有数学,每一代人都能在旧的大厦上添建一层新楼。”这是数学发展渐进观的宣言,它明确地指出了数学与其它科学的发展模式之不同。对此,人们更乐于引证这样的实例:非欧几何诞     

中西古代数学构造性之比较

本文试图从构造性的角度来探讨中西古代数学的异同。笔者认为,以《九章算术》为代表的中国古代数学,在具体内容上是构造性的,但理论体系则是非构造性的。具体内容的构造性,使之具有持久的生命力,而理论体系的非构造性,则使其发展缓慢,以至到近代趋于饱和,难于过渡到高等数学。以《几何原本》为代表的古代西方数学,不仅在具体内容上是     

笛沙格及其射影几何学奠基性工作

17世纪法国数学家笛沙格在射影几何方面的工作具有创造性成就.然而,由于笛沙格本人射影几何手稿写作手法晦涩难懂及其客观历史原因,导致他的学术思想的传播障碍以致长期淹没无闻.本文试图对笛沙格生平、学术活动、射影几何思想的形成背景及其射影几何的奠基性工作加以详细研究和评述,恢复笛沙格对射影几何学这一门现代数学学科分支的奠定性贡献的应有历史地位.     

变分法的一次变革:从欧拉到拉格朗日的形式化改造

从欧拉方法发展到拉格朗日方法,其中蕴含着变分法的重大变革.在研读原始文献的基础上,以"为什么数学"为切入点和主要目的,对欧拉和拉格朗日的研究方法进行分析和比较,重点探讨拉格朗日δ-算法产生的数学背景、形成过程及重大影响.拉格朗日以摆脱几何直观和简化计算为目标,以消除欧拉方法中微分符号d的双重意义和混用现象为切入点,通过引进符号δ,借助于形式的类比和反复的推演,提炼出运算规则,最终发明了δ-算法.因此拉格朗日对变分法所作的变革,是形式化改造的产物.而这种形式化改造的成功,对18世纪微积分学从几何形态向"代数分析"形态的过渡、几何论证向分析论证的转变起到了不可忽视的推动作用;同时在一定意义上也增进了对符号的信任程度.对变分法历史的这种探究,为全面理解18世纪数学发展的特点提供了一个新视角.     

流形概念的历史演变

流形是现代数学的重要研究对象。流形概念的起源可追溯到高斯的内蕴几何思想,黎曼继承并发展了高斯的想法,并给出了流形的描述性定义。随着集合论和拓扑学的发展,希尔伯特用公理化方案改良了黎曼对流形的定义,最终外尔给出了流形的严格数学定义。对流形概念演变过程的研究可以更好地理解空间观念的变革历史。     

再论数学史与数学哲学的关系

学术界往往从学理上谈论数学史与数学哲学的密切关联,而较少从研究层面论证两者之实际关系。从研究实践看,数学哲学研究大致有自上而下论述并辩护数学哲学理论与自下而上举例分析数学哲学问题两种范式,数学史研究则经历了由辉格史到反辉格史的范式转变。由于研究范式的自然本性,数学哲学问题范式与反辉格数学史具有天然的亲缘关系。数学史与数学哲学的实作转向之后,两者都以数学实作为研究对象,从而关系更为紧密。因此,历史上数学的发展与当时某种哲学思想的关联是原初意义上数学史与数学哲学的关系;19世纪后半叶开展现代数学史与数学哲学研究以来,两者存在着变动的关系——共同研究数学实作则使得两者的关系比以往任何时候都要密切。     

"几何"译名的历史探源与意义分析

通过对"几何"译名的历史探源,并将"几何"译名与克拉维乌斯拉丁语底本详细比勘,重点分析利玛窦《译几何原本引》中的"几何"术语,进而确定"几何"译名与拉丁语Geometria存在重要的关联.这不只是一种简单的"否定之否定",而是把"几何"译名的考察,上升为对西方从古希腊到文艺复兴以来"几何之学"概念演变的历史认识,从而揭...     

向量理论的产生与发展

向量思想的萌芽可以追溯到古希腊时期。从16世纪到19世纪,随着对力学问题、位置几何以及复数的几何表示等问题的深入研究,向量思想得到进一步发展并逐渐走向成熟。从向量理论产生的三条线索入手,通过对这个理论发展过程中众多数学物理学家的工作的考察,揭示了向量理论产生与发展的全过程。     

吴方法与和式几何研究

分析了宋元数学中几何代数化的数学特征,指出宋元数学传统独特之处在于其抽象化和形式化的代数演算,考察了和算对天元术与代数化几何传统的受容过程以及和式几何发展情形,讨论了和算在多项式方程组消元理论方面的成就及其对于现代计算代数的意义,通过具体案例介绍吴方法与Grobner基方法等数学机械化方法在和式几何研究中的实践与作用。     

论"哥白尼革命"

这篇文章对哥白尼革命在若干学科中的同构性现象作了一些梳理。按照时间顺序排列,基督教神学中关于亚当夏娃的故事;历史学中从希腊史学向基督教史学的转变;路德与加尔文发起的新教改革;康德和胡塞尔的哲学创新;罗巴切夫斯基的非欧几何的创立;列维.布留尔对原始思维的研究;凯恩斯的经济学革命;皮亚杰对发生认识论的研究;生态伦理学的人类中心主义向非人类中心主义的转变中都有天文学哥白尼革命的投影,这种整理对理解不同学科的同构性概念大有裨益。     

从图形“实体”到几何“存在”——对笛卡尔解析几何的哲学反思

笛卡尔的解析几何与欧几里得的《几何原本》在点、线和空间等基本概念上有较大差异。相对于《几何原本》:解析几何中的点可相互区分,且依赖于与其它点的关系而存在;曲线的存在依赖坐标空间整体,同时是点的运动轨迹,与物理运动的可能路径相关;坐标系通过量化空间,提供了对于空间的完整构造。从图形实体到几何存在,是笛卡尔对于数学实在和存在方式所作的区分。     

《几何原本》与中国现代初等几何学科的兴起

几何是中国传统数学和传统文化的固有词汇,伴随着《几何原本》的翻译与传播,"几何"变为一个数学专门术语。经过近300年演变,它作为几何学而成为中国数学学科的一个固定分支,这期间它曾经有几何学、数学、《几何原本》、测量学、形学等多重含义。几何学科兴起的动力主要来自西方数学文化,特别是《几何原本》确立了"几何"一词的典范意义。中国初等几何学科的兴起,见证了《几何原本》对中国数学分科思想的影响,对中国传统数学的近代化如分为算术、几何和代数等分支学科意义重大。     

抽象群思想的历史演变

本文将研究抽象群思想的历史演变：从对称性到群、从具体的群到抽象群。同时也探讨了抽象群的具体化问题。这对于结构数学的一般研究，具有重要的示范意义。