好玩的数学——秦九韶公式

已知三角形的三边边长求三角形的面积,有一个非常著名的公式:S=“p(p-a)(p-b)(p-c)其中S表示三角形的面积,a,b,c表示三角形的三边边长,p表示三角形的半周长,即p=a b2 c。这一形式优美的结论以古希腊数学家海伦(活跃于公元62年左右)命名,被称为海伦公式。鲜为人知的是我国南宋著名数学家秦九韶在其名著《九章算术》中曾给出一个与海伦公式等价的结论。秦九韶把不等边三角形的三边分别称为大斜、中斜、小斜,因此他得到的结果被称为三斜求积公式。如果设大斜、中斜、小斜分别为a,b,c,那么秦九韶的公式用现代符号可表示为p2=21a2c2-#a2 c22-b2$…     

与Fermat大定理有关联的代数等式

从直角三角形三边的关系式c2=a2+b2与公式:1=a2+b2=(a2+b2)2=(a2-b2)2+(2ab)2再由熟知的52=32+42展开讨论,发现并证明了引理1、引理2、引理3中的特性,这是本文的成果之一.把这些特性与Fermat大定理联系起来,虽还未证明Fermat大定理,但得出了定理1、定理2中与Fermat大定理有关联的代数等式,这是本文的成果之二.     

关于某些公式的作图

在这篇短文中, a乙e劣二石不品诬不万我俩研究公式: 11_1=一十二一十一 a OC的雨种筒便作圆法。 这个公式在各种阴题中常会碰得着。除了这个公式的作国而外,还能够得到公式:△MBP的面积=警s,noo。·△BPN的面积一警s,n60。·警。in印。二争;n60。+替s‘n“。·,1一x或ab二公x+bx aba+b-一二些一一或生一生一李一生 aoee了C一口C工C OU假如覆者不境得公式s二等就nc,那末可 ‘‘以及别的一些公式的筒便作1颤。为了作找段‘二变换 abcab+ae+be 2S可以先作似提出如下的定理征明: 刃口// BD丈国1);八刃口B是等边的, 自乃对口N~乃PBN,得…     

微分中值定理中■的渐近性质

利用Taylor公式,积分中值定理研究了微分中值定理,即Lagrange中值定理与Gauchy中值定理中!的渐近性质,得出如下结论:limb→a!!--ab=n-1 1n",lbi→ma!!--ab=n-m"nm.     

微分中值定理中ξ的渐近性质

利用Taylor公式，积分中值定理研究了微分中值定理，即Lagrange中值定理与Gauchy中值定理中ξ的渐近性质，得出如下结论：limb→a（ξ-a）/（ξ-b）=n-1√1/n,limb→a（ξ-a）/（ξ-b）=n-m√m/n.     

交换代数中实系数二次方程的根

给出了交换代数S中二次方程aX2＋bX＋cIS=0S,a,b,c∈R,a≠0（其中IS,0S分别是交换代数S中的单位元和零元,X∈S）的求根公式和根与系数的关系.     

关于若干整数分拆问题

Y．Alavi,A．J．Boals,G．Chartrand,P．ErdSs和O．R．Oellermann提出下面的猜想：已知整数a1,a2,…,ak,满足n≤ai≤2n-2,1≤i≤k,且a1＋a2＋…＋ak=rt（n＋1）／2,则S=（1,2,…,n）包含有k个互不相交子集S1,S2,…,Sk,满足ai=∑（Si）,1≤i≤k。推广该猜想,得到下面的定理：已知整数a1,a2,…,ak,满足ai≥n,1≤i≤k,且a1＋a2＋…＋a4≤n（n＋1）／2,则S={1,2,…,n）包含有k个互不相交子集．S1,S2,…,Sk,满足ai=∑（Si）,1≤i≤k。由此定理易推出K．Ando,S．Gervacio和M．Kano证明的一个主要定理。参考文献中的一个错误同时被更正。     

交换代数中的实系数二次方程的根

给出了交换代数S中二次方程aX2+bX+cIs=0s, a,b,c ∈R,a≠0(其中Is,Os分别是交换代数S中的单位元和零元,X∈S)的求根公式和根与的关系.     

关于“递归定理”

这篇短文证明了如下定理. 定理 设集N包含1,a(?)a~+是N到自身的一个映射且满足递归定理: R.对于任意的非空集S,S内任意给定的元a及S到自身的映射(?),恒唯一存在N到S的映射f满足条件 f(1)=a,f(a~+)=(?)(f(a)),a∈N.则N中必成立 PⅠ.1≠a~+,对任何a∈N. PⅡ.a~+=b~+(?)a=b,对任何a,b∈N. PⅢ.完全归纳法原理:若M是N的满足条件 1∈M,"a∈M(?)a~+∈M" 的子集,则M=N.     

在三角中运用解析法的几个问题

在新编中学数学课本中,我们已经看到,一些重要的三角定理和公式,如余弦定理、三角形面积公式Δ=1/2bcsinA、两角差的余弦公式等都是用解析法证明的。然而,三角习题却少见用解析法解答。现就几个问题,作如下尝试。     

Frobenius问题的偏序算法

设ai>O i=1,2,“…·k,(al,a。……,a,()=1,线性型 ’ fK= ∑ aixi xi≥0 i一1,2,……,k 。 ”'一 ～ i=1的最大不可表数记作M x。求Mx的问题ulj做Frobenius问题,这个问题在数学的理论和应 广'～1 0 1用两方面都具有相当的价值。国内外许多数学家0 0研究过它,但问题至今尚末完全 r 1 1]解决。当k=2时,M。=a。a z—a。一a 2;当k===3一时L 。给出了M 3的公式。但当k>3时,则无这样的j般公式。 ’ 本文利用偏序理论研究Frobenius问题,得到一条求Mx的定理,这个结果是[5]定理5的一种推广。应用这个结果,文本还给出了R obert s公式一个新的证…     

运动学中几个公式的讨论

一、关于竖直上抛运动公式的讨论在高中物理课本中,分析匀减速运动时,一般都要把竖直上抛物体的运动作为匀减速运动的实例而引入,在这里让a=g,S=h,代入匀减速运动的公式:V_1=V_0-at,S=V_0t-1/2at~2, 即得到:V_1=V_0-gt ① h=V_0t-1/2gt~2 ②但在应用此公式解决问题时,经常有人提出下面两个问题: 1.为什么公式①和②不仅适用于物体上抛过程的匀减速运动,同时也适用于物体抛至最高点后,再落下的匀加速运动呢?     

关于积分中值定理中ξ的渐近性质

利用L’Hospital法则、带Peano余项的Taylor公式研究了积分中值定理中值点ξ的渐近性质,得出如下渐近公式:limx→aξ-ax-a=n n1+1,ξ∈[x,a].     

费马数与伪素数

如果合数N满足2N≡2(modN),则称N为伪素数.本文运用数论中的一些简单结果,如任何费马合数都是伪素数以及费马小定理(若p为素数,a为整数,且(a,p)≡1,则ap-1≡1(modp))等,给出了N=FS1FS2…FSk为伪素数的充要条件:S1≤2S2-1且Sk≤2S1-1,这里S1＜S2＜…＜Sk,FS=22S+...     

全纯函数的正规族与分担集

利用分担集合的思想证明了定理：设F是单位圆盘内的一族全纯函数族,a1和a2是2个不同的有限复数且a1＋a2≠0;当α≥1时。如果对于任意的f∈F,Ef（S）=Ef′（s）,S={a1,a2}在单位圆内成立,那么f是一个α-正规函数．     

等积法教学中的迁移训练与能力培养

在求异面直线距离以及有关体积的证明问题中,等积法是一种简捷而又常用的方法。本文就等积法教学中对学生进行迁移训练和思维能力的培养谈一点体会。等积问题一若△ABC 的边长为 a、b、c、,各边上的高分别为 h_a、h_b、h_c,△ABC 的面积为 S,则S_(ΔABC)=1/2ah=1/2bh_b=1/2ch_c, (1)上述公式在学生开始学习三角形的面积时是显而易见的。但在高一学完异面线间的距离、     

Cp，q圆型域上的面积定理

主要讨论圆型域Cp,q=E{a｜z1｜2/p＋b｜z2｜2/q〈1,0〈a,b≤1,p,q为整数}上的面积定理。     

关于Smarandach平方根部分数列a2(n)和b2(n)

文章讨论了一个数论函数-平方根函数的算术平均值及几何平均值的极限问题,它与平方根函数值的分布密切相关;设n是正整数,a2(n)表示不小于n的最小平方根部分,b2(n)表示不超过n的最大平方根部分,即a2(n)=min{m|m≥n1/2,mN+},b2(n)=max{m|m≤n1/2,m∈N+}.定义数列S2(n)=[a2(1)+a2(2)+a2(3)+…+a2(n)]/n=1/n n∑l=1 a2(n),I2(n)=[b2(1)+b2(2)+b2(3)+…+b2(n)]/n=1/n n∑i=1 b2(n).研究了整数n的最小平方根a2(n)和最大平方根b2(n)部分数列的均值,采用初等及解析的方法,给出了两个有趣的渐近公式.在所得的定理1的基础上,研究了数列S2(n)/I2(n),K2(n),L2(n),(S2(n)-I2(n)),(K2(n)-L2(n))的敛散性,给出了相关的极限式,推论1、推论2和推论3.     

复系数复数方程的求根公式

本文首先将文[1]、[2]的主要结论概括为两个引理,由此推出复系数方程Z~2+(a+bi)Z+c+di=0求根公式,所得结果是有关文献定理的推广。最后还列举了实例。     

抽象函数积分的Newton—Leibniz公式的一点注记

关于定义在实区间[a,b]上,而在实 Banach 空间 E 内取值的抽象函数积分的Newton—Leibniz 公式,定光桂在[1]中证明了如下定理:设 x(s)是实区间[a,b]上有 R—可积的弱导数 x′(s),则有:ingegral from a to b x′(s)ds=x(b)-x(a)本文的目的在于:得出两个有关抽象函数积分的 Newton—Leibniz 公式的定理;从