多元函数的H-B插值(Ⅱ)——全n次插值

本文把H-B插值推广到二元全n次多项式的情形,得到了关联矩阵正则的必要条件和一些关联矩阵非正则的充分条件。最后,把全n次的多次式H-B插值问题归结为双n次的H-B插值问题。     

多项式的H-B插值

本文详细地报告了20年来多项式的H-B插值的研究成果,其内容包括,H-B插值的基本概念,关联矩阵正则的必要条件,关联矩阵的分解定理,正则矩阵和奇异矩阵,行的结合方法,三行矩阵的正则性,Birkhoff核及其应用,独立结点方法等。     

二元Birkhoff插值

研究了二元函数的一般插值，主要是二元Ｂｉｒｋｈｏｆｆ插值关联矩阵的正则性问题，并把二元函数的插值化为一元函数的插值。     

H-B样条插值整函数和多元函数的H-B插值

本文综述了H-B样条插值的基本概念和分解定理,H-B 样条插值正则性的充分条件和必要条件,H-B 样条插值的其它结果,整函数和多元函数的插值问题。     

H-B插值的推广和应用

本文综合论述了H-B插值在缺项插值问题、g-样条及其最佳性质、GHB插值、共轭H-B插值、三角插值及Haar子空间中的插值方面的推广和应用,对国内外许多学者的研究工作进行了总结和概括。     

H-B插值样条误差估计及其应用

本文研究了H-B插值样条的余项估计及渐近展开,所得的表达式用于讨论H-B插值样条;给出统一的处理方法,导出了多类插值样条的误差。     

三行H-B插值关联矩阵正则性的一些新结果

本文研究了第一行和第三行分别有p和q个1元素的Hermite序列,第二行中有四个支柱1元素的三行Hermite-Birkhoff插值关联矩阵的正则性。对于P=1,p=q,p 1=q的情形,得到了一些新的结果。     

一类H-B正则矩阵

G.D.Birkhoff[1]在1906年首先提出了H-B插值问题,1966年I.J.Scboenberg[2]引入“关联矩阵”的概念推动了这方面的研究。最近一些论文[3,4,5,6,7)对三行关联矩阵进行了研究,如用正整数1_1<1_2<……<1_(q_1)表示关联矩阵第二行零的列标,本文研究的关联矩阵E=(eij)可描述为:     

指数型整函数的(0,Imh1,…,Imhq)插值问题

通过引入积分算子,减弱被插值函数光滑性的要求,研究等距节点上的整(0,Imh1,…,Imhq)插值问题,给出插值问题在空间B2rσ(2r＝q+1)中的正则条件,并证明插值算子的收敛性.     

关于一类三角多项式差分插值的正则性

本文通过引进差分算子,在结点处对函数和它的m阶差分同时插值,给出了这种插值为正则的一个充要条件,并求出满足条件的三角多项式的显式表达式.     

指数型整函数的(0,I_h~(m_1),…,I_h~(m_q))插值问题

通过引入积分算子,减弱被插值函数光滑性的要求,研究等距节点上的整(0,Ihm1,…,Ihmq)插值问题,给出插值问题在空间Br2σ(2r=q+1)中的正则条件,并证明插值算子的收敛性.     

一类广义Birkhoff插值问题的适定插值基

Birkhoff插值在应用密码学,逼近论以及PDE求解等领域有着重要应用。由于微商插值条件的不连续性,使得该问题比Lagrange和Hermite插值要复杂的多。提出了基于多项式微分条件的广义Birkhoff插值格式。探究广义Birkhoff插值问题的适定插值基,使得对任意给定的型值,在该组基张成的空间中插值时总存在唯一满足插值条件的多项式。采用代数几何的方法,通过对多样性的插值条件分析,证明了当定义插值格式的关联矩阵满足较好的性质时,适定的插值基无需繁琐的计算,可以由微分插值条件直接获得。最后通过算例验证了该方法的有效性。     

旋转抛物面上的Lagrange插值问题研究

以二元函数Lagrange插值研究结果为基础,对三元函数Lagrange插值结点组可解性问题进行了研究,提出了定义于旋转抛物面上的Lagrange插值正则结点组的基本概念,研究了定义于旋转抛物面上的Lagrange插值可解结点组的某些基本理论和拓扑结构,得到了构造定义于旋转抛物面上的Lagrange插值可解结点组的添加圆锥曲面法.这些方法都是以叠加方式构造完成的,因而对于编译计算机算法程序,进而在计算机上自动完成插值可解结点组的构造并得到插值格式创造了十分便利的条件.最后给出了实例验证算法的有效性.     

沿球面插值正则性问题研究

本文在文献[1]的基础上,以代数几何中若干理论和方法为工具,对沿球面上Lagrange插值正则性问题进行了进一步的研究和探讨.文中将文献[1]中所给出构造沿球面插值正则结点组的添加平面法推广到了添加圆锥曲面的情形,从而进一步搞清了沿球面插值正则结点组的拓扑结构和几何特征.     

二元有理插值公式

降低有理插值函数的次数和解决有理函数的存在性是函数逼近的一个重要问题。文章利用牛顿插值的承袭性性质和分段组合方法,构造出一种二元有理插值算法并推广到向量值有理插值,既解决了有理插值的存在性问题,又降低了有理插值函数的次数。相比于其他方法,算法的可行性是无条件的,有理插值函数次数较低,算法具有承袭性,计算量低,便于实际应用。     

三元分次Lagrange插值

多元插值是目前计算数学领域的一个热门研究问题,这源于它在多元函数列表、有限元法、工业产品外形设计等实际科研生产中的广泛应用.首先给出了三元分次插值的基本概念,进而研究了多元分次插值函数的存在唯一性问题,构造出六面体上的插值基函数,得到了构造三元分次插值适定结点组的构造方法.最后应用本文给出的构造方法,使用MATLAB软件来分别计算三元函数在六面体上的三元一次、三元二次插值多项式,并将计算所得结果进行了对比,发现随着插值多项式次数的增加插值效果也越来越好.     

有限函数列的插值

本文提出了一种新的插值问题——有限函数列的插值,并且给出了有限函数列的插值公式及其误差分析。     

函数的样板插值再探

用位移法按照弹性薄板的光滑性要求构造样板插值函数,插值基函数由薄板弯曲问题的特解组成,插值域的划分是任意的。另外,还给出只用节点函数控制的插值方案,从而使这种可普遍运用于各类问题的插值新方法使用更方便。     

矩形网格上的有理插值公式

有理插值是非线性逼近的一种重要方法,由于它的复杂性,所以至今还未见到类似于多项式那样的插值公式．大部分研究是基于连分式给出构造有理插值函数的方法．对于给定的节点,有理插值问题是否有解取决于给定函数值．为了保证算法的可行性,在连分式方法的基础上给出了多种构造有理插值函数的改进方法,但构造出的有理插值函数次数较高,计算量较大．文中针对矩形网点从二元多项式Lagrange插值基函数出发,给出二元有理插值公式．该公式具有多项式插值公式类似的性质．公式简单,计算量较小,且所构造的有理插值函数次数较低。还可以通过引入参数,降低有理插值函数的次数,便于实际应用．     

奇数个等距结点上的2-周期(0,p(δ/2h))三角插值

研究了插值结点数是4n 1的2-周期(0,p(δ/2h))三角插值,找出了正则时的充分必要条件及相应的插值基函数,并给出了当p(t)=tm时的收敛阶.