一类一阶微分方程独立通解的研究

通过对一类微分方程通解的讨论,提出了独立通解的概念,得到了一阶高次齐次微分方程的独立通解的个数,给出了一阶高次齐次微分方程的通解表达式,并计算了一阶高次非齐次微分方程右端为特殊结构时的一个特解.     

一类一阶变系数高次微分方程的通解

通过对一类微分方程通解的讨论,提出了独立通解的概念,得到了一阶变系数高次齐次微分方程的独立通解的个数,给出了其通解表达式,并计算了一阶变系数高次非齐次微分方程右端为特殊结构时的一个特解．     

一类一阶变系数高次微分方程的通解

通过对一类微分方程通解的讨论,提出了独立通解的概念,得到了一阶变系数高次齐次微分方程的独立通解的个数,给出了其通解表达式,并计算了一阶变系数高次非齐次微分方程右端为特殊结构时的一个特解.     

二阶变系数线性微分方程的求解定理

先提出引理,即某函数是二阶变系数线性齐次微分方程的解的充要条件,再给出在已知二阶变系数线性齐次微分方程的某一解的条件下,二阶变系数线性非齐次微分方程的通解公式——即定理1,然后借助引理及定理1提供了几类二阶变系数线性非齐次微分方程通解的积分表达式,从而获得求几类方程通解的统一方法.     

具多时滞的混合型分数阶微分方程的通解表示

主要讨论混合型分数阶线性多时滞微分方程通解表示问题.基于Gronwall-Bellman积分不等式获得该方程解的指数估计,利用线性齐次微分方程的基础解和Laplace变换导出齐次方程的通解,利用Laplace逆变换和卷积定理获得非齐次方程的通解表达式.     

时标意义下微分方程的常数变易法

主要研究时标意义下的线性常微分方程解的常数变易法,同经典处理方式一样,通过齐次通解进行常数变易法直接导出时间模上非齐次线性常微分方程的解.证明出时标下高阶线性微分方程解的存在唯一性,并通过Wmnskians行列式和Cramer法则得到其通解公式.     

两类高阶高次非线性差分方程的精确解

利用独立通解法(UGS)研究2类非线性差分方程的精确解,得到了一类非线性齐次差分方程的精确解,它由若干个独立通解共同构成,且独立通解的个数与差分方程的阶数n和方程的次数m的乘积mm无关;还得到了一类非线性非齐次差分方程的一组特解.     

两类变系数二阶线性齐次微分方程通解的构造

在假设变系数二阶线性齐次微分方程两个线性无关解的比值已知的前提下,从这个比值入手去倒推变系数二阶线性齐次微分方程的基本解组,从而得到两类变系数二阶线性齐次微分方程通解的非级数求法.     

一类二阶变系数非齐次线性微分方程的通解

为了对形如y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的二阶变系数非齐次线性微分方程的通解进行研究,利用高阶微分方程的常数变易法,在齐次情形的基础上给出了非齐次情况下的通解公式,将结果推广至二阶欧拉方程,并举例说明了具体应用.     

二阶常系数线性非齐次微分方程的一些解法

我们探讨了如何求二阶常系数线性齐次微分方程的解,利用通解的结构和自由项的形式来求解;利用通解公式来求解。     

一类非线性差分方程的精确解

将非线性微分方程的独立通解法推广到差分方程,给出了一类非线性差分方程的精确解,该精确解是由若干个独立通解共同构成,且独立通解的个数与差分方程的次数n无关.     

某类常微分方程的积分解法

关于二阶常系数线性微分方程的常规解法是非常完善的,而且还可推广出高阶常系数线性微分认识方程的求解。但是这个方法也是比较复杂的,对于某些二阶常系数线性微分方程完全可以改用简单实用的方法来解决。根据其特征根的不同情况进行分类讨论可以得到通解的一般表达形式。     

一种利用初值条件解决DE增解问题的方法

在求解微分方程(DE)过程中,会遇到一些需要对原方程先求导再求解的操作过程,在这个过程中会出现增解的情况,由此会造成方程的通解或解无法正确表达.利用隐含的初值条件,对增解进行辨析,可以得到原方程的通解或解,并辅以典型例题进行演释.     

从齐次方程的一个特解到非齐次方程的通解—二阶线性微分方程的又一种常数变易法

介绍了二阶线性微分方程的又一种常数变异法。其基本思想就是:首先,通过观察法可以得到满足某些特定条件的线性齐次微分方程的一个特解;其次,通过这一个特解用降阶法得到另外一个与之线性无关的特解,从而得到线性齐次方程的通解;最后,通过一种常数变异法得到对应非齐次方程的通解。     

含有任意次正幂项非线性广义BBM方程的精确解

利用F-展开法的思想(F是一阶四次常微分方程的一个解),将求含有任意次正幂项非线性广义BBM方程的精确解转化为求一阶四次常微分方程的精确解。并利用一阶四次常微分方程的部分正精确解求得含有任意次正幂项非线性广义BBM方程的一些精确解,包括钟状孤波解、扭状孤波解以及用三角函数表示的周期解。     

Toda连续系统的Compacton解及Peakon解

研究了一类Toda连续晶格系统的特殊孤立波解：紧孤立波解Compacton和尖峰孤立波解Peakon．设Toda系统中横向与纵向波动处于同一量级,通过行波约化,将Toda系统约化为关于行波变量的常微分方程．假设该方程的解具有局部正弦、局部余弦和指数形式,将常微分方程的求解问题转化为代数方程的求解,利用吴消元法,借助Mathematica数学软件,获得了Toda系统的Compacton解和Peakon解．Compacton解在有限区间外恒为零,是更强局部性的孤立波解．Peakon解在波峰处一阶导数不连续,但可用Dirac广义函数表示．通过电一力类比可以建立与Toda系统等价的电路,利用电路产生的孤子信号可以进行一些特殊的信号处理．     

非线性常微分方程数值解的渐近表示以及应用

对于非线性常微分方程一般不存在解析解,但是通过数值方法发现,有些非线性常微分方程的振荡渐近解是有规律的.因此,可以用最小二乘法等方法对这些数值解拟合出渐近解,在此基础上,再通过理论分析得出更具体的结果,为非线性微分方程的研究提供了一种途径.为了提高计算精度、避免计算过程出现崩溃,我们引入了数值解的函数变换和自变量变换的方法,这也保证了数值结果的可靠性.本文通过对数值解的渐近表示,验证了Painlevé方程振荡渐近解的一些现有结果,并得出一些新的结果.     

一类常系数微分方程组的通解

采用待定系数法,给出了一类非齐次项为二次多项式与指数函数之积的三维二阶常系数微分方程组的通解形式,并通过算例验证了特解公式的正确性。     

改进的截断展开法及其在变系数非线性方程中的应用

本文对截断展开法进行了改进.首先,通过行波变换,将偏微分方程(PDE)转化为常微分方程(ODE).然后,在截断展开中,采用了非线性Riccati方程F′=p qF rF2将复杂的变系数非线性方程转变为一组超定代数方程组.再利用计算软件mathematic求解出代数方程组.从而得到变系数非线性演化方程的精确解.我们将这种方法应用于第一类变系数KdV方程和广义变系数KdV方程,得到了一系列精确解,其中包括一组Weierstrass椭圆函数解.这组解可以表示成Jacobi椭圆函数解,在模数m→1或m→0时这组解又可以分别退化为双曲函数解和三角函数解.