围长为r的圈布图最大边数的新下界

降为n的图G的圈长分布为序列{C1,C2…,Cn},其中Ci是G中长为i的圈的数目,若图G的圈长分布满足C1＝C2＝…＝Cr-2＝0,Cr＝1,且对i＝r 1,…,n,有Ci≤1,则称图G是围长为r的圈分布图,用fr(n)表示阶为n的围长为r的圈分布图最大可能的边数,本文证明：对每个整数n≥R0（其中：r＝3时,R0=17,r≥4时,R＝3r-[r/2] 5,有fr(n)≥n-r ek t 4 η。     

围长不小于r的2圈分布图l的最大边数

阶为n的图G的圈长分布是序列(c1,c2,…cn),其中ci是G中长为i的圈的数目,图G的图长分布满足c1=c2=…=0-1=0且对i=r,r+1,…,n有     

由圈长分布确定的偶图

阶为n的图G的圈长分布是序列(c1，c2，…，cn)，其中ci是图G中长为i的圈数，作者得到如下结果：设n≤r≤min{n 6，2n-3}，则Kn,r是由它的圈长分布确定的。     

偶图Kn,n+8-A(│A│≤3)的圈长分布唯一性

阶为n的图G的圈长分布是序列(c1,c2,…,cn),其中ci是图G中长为i的圈数.设A(∈)E(Kn,n+8),在情况①G=Kn,n+8(n≥13);②G=Kn,n+8-A(│A│=1,n≥15);③G=Kn,n+8-A(│A│=2,n≥17);④G=Kn,n+8-A(│A│=3,n≥19)时,图G由其圈长分布唯一确定.     

偶图Kn，n＋8-A（｜A｜≤3）的圈长分布唯一性

阶为n的图G的圈长分布是序列（c1，c2，…，cn），其中ci是图G中长为i的圈数．设A真包含E（Kn,n＋8），在情况①G=Kn,n＋8（n≥13）；②G=Kn,n＋8-A（｜A｜=1，n≥15）；③G=Kn,n＋8-A（｜A｜=2，n≥17）；④G=Kn,n＋8-A（｜A｜=3，n≥19）时，图G由其圈长分布唯一确定．     

偶图K_(n,n)-A(|A|=6)圈长分布的唯一性

阶为v的图G的圈长分布是序列（c1，c2，…，cv），其中ci是图G中长为i的圈数．计算了Ka,a-A（A∈E（Ka,a），｜A｜=6）的4圈数，以及证明了Ka,a-A（｜A｜=6，n≥22）是由它的圈长分布确定的．     

由圈长分布确定的偶图的几个定理

阶为n的图G的圈长分布是序列(c1，c2，…，cn)，其中ci是图G中长为i的圈数，得到如下结果：(1)设A包含于E(Kn，n)，则当Kn，n[A]≌K1，j或Kn，n[A]≌K2时，Kn，n－A是由它的圈长分布确定；(2)设A包含于E(Kn，n，|A|=4，n≥11，则Kn，n－A是由它的圈长分布确定的。     

关于唯一r-偶泛圈图

设r≥4且r是偶整数．阶为2n的偶图G被称为唯一r-偶泛圈图，如果对每个偶整数t，r≤t≤2n，G恰含一个长为t的圈，且G不含长小于，的圈．若G是唯一r-偶泛圈圈，则称G是r-UB-图．证明了恰好存在6个外可平面的r-UB-图和对m≤3恰好存在12个阶为2n和边数为2n＋m的r－UB－图．     

2-连通图中X-最长圈下界估计

给一个图G,XV(G),G[X]为G的X生成子图,r为正整数。定义α(X)=max｛｜S｜｝S是G[X]的顶点独立集｝,αk(X)=min｛∑ki=1d(vi)｜｛v1,v2,…,vk｝是G[X]的顶点独立集},NCk(X)=min｛｜Uki=1N(vi)｜｛v1,…,vk是G[x]的独点独立集}(k≥2)．我们得到结论;对—任意的n阶2-连通图G(n≥3),xG,且α3(X)≥n+r≥n+2,则存在一个包含X的顶点数为min｛｜X｜,[X]+NC,+2+e(n+r)(X)-α(X)}的圈,ε(i)=3〔1-3i〕-1-3i.该结论推广了H.J.Broersma在文献[1]中的结果．     

关于给定偶图的圈长分布的计算

阶为υ的图G的圈长分布是序列（c1,c2,…，cυ），其中 是G中长为i的圈的数目，得到了计算给定简单偶图G的图长分布的公式。     

至多有2个等长圈的简单图的最大边数

分f*（n,2）表示具有n个顶点的至多有2个等长国的简单图的最大边数．证明了当n≥15时,f*（n,2）≥n＋2Zk－4＋［」,其中k＝［（16＋／42）．     

图的圈长分布和圈长分布唯一的图

阶为ｎ的图Ｇ的圈长分布是指序列（ｃ１，ｃ２，…，ｃｎ），其中ｃｉ是Ｇ中长为ｉ的圈数．若不存在，使Ｇ’与Ｇ有相同的圈长分布，则称图Ｇ是圈长分布唯一图．本文确定了Ｋｎ－Ａ（｜Ａ｜＝ｊ，ｎ≥｜Ａ｜＋３）的最小、最大的４圈和５圈数．证明了当ｎ≥９时，Ｋｎ－Ａ（｜Ａ｜＝４）以及当ｎ≥１４时，Ｋｎ－Ａ（｜Ａ｜＝５）都是圈长分布唯一图．     

一类由圈长分布确定的图

阶为ｎ的图Ｇ的圈长分布是序列（ｃ１，ｃ２，…，ｃｎ），其中ｃｉ是Ｇ中长为ｉ的圈的数目．本文证明了下述结果：设Ａ　Ｅ（Ｋｎ），｜Ａ｜３，ｎ≥｜Ａ｜十３，，则Ｋｎ—Ａ是由它的圈长分布确定的．     

有向图的有向圈长分布

阶为v的有向图D的有向圈长分布是序列(c_1,c_2,…,c_v),其中C_i是D中长为i的有向圈的数目。设0≤x_i≤v-i-1,证明了存在v个顶点的有向图D,使D的有向圈长分布为(0,0,x_1,x_2,…,x_(v-3),1),并且给出了具有有向圈长分布为(0,0,x_1,x_2,…,x_(v-3),1)的有向图的最大可能的弧数以及具有有向圈长分布为(0,0,k,k,…,k,k-1,…,3,2,1)(其中1≤k≤v-2)的有向图的最小可能弧数的上界。     

圈长分布确定的偶图K_（n，n）A_3

阶为ｎ的图Ｇ的圈长分布是序列（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ），其中Ｃｉ是图Ｇ中圈长为ｉ的圈数．本文得到了如下结果：设则是由它的圈长分布确定的．并给出了Ｋｎ，ｎ－Ａ３在各种情形下的圈数计算公式．     

正常返周期马链的平稳分布的构造

给出正常返周期链的平稳分布的构造,从而证明了关于正常返周期链的遍历性的一个定理.