非线性定常系统极限环的存在与唯一性

1.设a,l、m、n、b为实数,对于非线性定常系统 dx/dt=ax-y+lx~2+mxy+ny~2 dy/dt=x+bxy (1) 得到定理1 若a=0,且l-b=0或m~2-4n(n+b)≥0,则系统(1)在整个平面上不可能有极限环。定理2 当真a≠0,但l=0或l-b=0时,系统(1)可分别在两奇点O(0,0)、N(0,1/n)外围出现极限环,但不能同时存在,如存在必唯一。定理3 若n=0或n+b=0成立,则当a≠0时,系统(1)可存在包含原点O的极限环,但最多一个。     

一类平面E3的极限环

当p=q=r=s=0时,(1)式为文献[1]的二次微分系统的I类方程,并已证明:对于任意的a,l,n,I类方程至多有一个极限环;当l=m=n=0时,(1)式为文献[2]研究的平面三次系统,并利用二次型理论,Poincare-Bendixson定理,Levinson-Smith定理得出一系列结论.本文在更大的参数范围内得到(1)式存在极限环的充分条件.作地形系.当n~2 4s<0时,(3)式是一族包围原点的闭曲线;当n~2 4s≥0时,(3)式以P为分界线,当C>φ(k)时,λ(x,y)=c是一条围绕原点且包含Γ于其内部的闭曲线,当C<φ(k)时,λ(x.y)=c是由两个互不相交(可能重合)闭分枝组成,分别位于Γ内部.借助Poincar(?)-Bendixso定理和无穷远的方     

一阶泛函微分方程振动性的一些结果

从而定理1证明了Hunt和Yorke(J.Diff.Equ.,53(1984),139—145)对于超前型方程的猜想。 定理2 若(R_1)g(t,ζ)≤t,ζ∈[a,b],R~*=[t_0,+∞)g(t,ζ) 是从 R~*×[a,b]到R~+的连续函数,关于ζ不减     

关于Линник的两个定理

以R(a,T)表示复s平面上如下的矩形区域:s=σ it:a≤σ<1,|t|≤T。N(a,T,q)表示函数L(s,x)在R(a,T)中的零点个数,本文证明了如下的定理。定理1 设(11/12)≤a<1,T≥2,则当qT充分大时,有N(a,T,q)(q~(3/2)T~(12))~((1 6)/(6a-5)(1-a),其中“(?)”所包含的常数仅与B有关。当函数L(s,x)有例外零点时,若不计此零     

关于属于极限圆型的二阶微分方程

本文考虑线性二阶微分方程及其摄动方程:x″(t) a(t)x(t)=0,t≥0 (1)y″(t) [a(t) b(t)]y(t)=0,t≥0.(2)我们称方程(1)(或方程(2))属于极限圆型(记为L.c.),如果方程(1)(或方程(2))的所有的解均属于L~2[0,∞),我们称方程(1)(或方程(2))为拉格朗日稳定(记为L.S.),如果方程(1)(或方程(2))的所有的解在[0,∞)保持有界,为述下列定理的需要,我们引入一新定义,称方程(1)属于b(t)权平方有界(记为L.b.),如果方程(1)的一切解均满足:     

关于5阶KdV方程及其变形方程的Backlund变换和非线性叠加公式

5阶KdV方程为通过变量代换u=2(lnf)_xx,方程(1)可写为利用双线性算子的性质,我们证得了如下的结果。定理 1方程(2)的一个Backlund变换(BT)为(3b)其中λ为任意参数。定理2 设f_o是方程(2)的一个解,而f_1、f_2分别为由f_o出发经参数为λ_1、λ_2的BT(3)     

一类具偏差变元微分方程解的振动性

引言 许多物理模型中出现二阶非线性微分方程在文献［1-4］中，人们研究了方程(1)的解的振动性与渐近性。特别，最近Marini~[1]研究解的渐近性质,其中q(t)>0,yf(y)>0当y≠0。熟知方程(2)没有振动解,但当其右部出现偏差变元时,振动解的出现是可能的。本文的定理1给出充分条件,保证方程(2)的所有有界解是振动的,当其右部有偏差变元时。下面的定理2是建立保证方程(1)的一切解振动的充分条件,此结果包括了最近Onose和燕居让的工作。     

方程x~4-Dy~2=1有正整数解的充要条件

设D是非平方正整数,对于方程x~4-Dy~2=1,x>0,y>0 (1)的整数解,Ljunggren,Nagell,Cohn,柯召和孙琦等都曾有过许多工作,本文将证明 定理 方程(1)有整数解的充分必要条件是     

一阶中立型时滞微分方程解的振动性

则方程(1)的一切解振动。 定理5 设σ>τ,对充分大的t,有P(t)≥0和P′(t)≤0;又设Q(t)>0是τ-周期函数。若(4)式成立,则方程(1)的一切解振动。     

关于亚纯函数的涉及慢增长函数的唯一性定理

R·Nevanlinna 利用他所建立的第二基本定理,得到了亚纯函数的一个唯一性定理,可表述如下:定理A 设f_j(z)(j=1,2)为非常数的亚纯函数,E_j(a)表示f_j(z)-a 的零点所成之集合(不计重数)(j=1,2).若对五个判别的复数a,有E_1(a)=E_2(a),则f_1(z)(?)f_2(z).当f_j(z)(j=1,2)为整函数时,定理A 取下述特殊形式:定理A 设f(z)(j=1,2)为非常数的整函数,若对四个判别的有穷复数a,有E_1(a)=E_2(a),则f(z)(?)f_2(z).     

一类广义Liénard方程的有界性

定理3 设(H_1)～(H_4)成立,X′_0=X_0=0,如果对一切0相似文献   

Golfnach-Vinogradov定理在算术数列中的推广

奇数情形Goldbach问题在1937年已经被Vinogradov基本解决。设N≥9是一个奇数,用I（M）表示方程 P_1 P_2 P_3=N （1）的素变数解的个数。Vinogradov证明了 定理1 当奇数N充分大时有 I(N)=(1/2)б(N)(N~2/((logN)~3) O(N~2/(log~(3.4)N)),其中 这就是所谓的Goldbach-Vinogradov定理。设q≥1是任一整数,作为对方程（1）研究的一个自然推广,一些作者考虑了方程     

二阶线性中立型微分差分方程非振动解的类型与判别

本文讨论二阶线性中立型微分差分方程其中τ>0,σ>0,c∈R,p∈R~+-{0}。给出了方程(1)的非振动解的所有类型及其判别。 置 z(t)=x(t)-cx(t-τ)。 定理1 当c≤0时,方程(1)不存在     

关于一类环面二阶Fuchs型方程的可积性

对于Riemann球面上的Fuchs型方程——在扩充复平面上只有有限个正则奇点的线性常微分方程(组),Khovanskiy定理指出:方程(组)的单值群包含一具有限指数的可解正规子群是方程(组)“广义”可积的充要条件.本文要研究的是一类以椭圆函数为系数的二阶线性常微分方程——一类环面二阶Fuchs型方程的可积性.考虑复域上的二阶常微分方程     

扩展的Einstein方程及约束条件

经过变分导出,经典EM方程组(1)或作用积分(3)和时空维数D无关,只要D≥4,经典EM方程一般形式的严格解是Kerr-Newman-de Sitter度规。 EM方程的严格解存在本征奇异性和坐标奇异性。要避免这些缺点,人们企图修正EM方程。办法是在作用积分(3a,b)中或EM方程(1a)中加入真空极化修正项,真空极化修正项     

Hall问题有解的充要条件

本文作为文[1]的续篇,将继续研究Hall问题,即求解方程p~m-q~n=2,m>1,n>1(p、q 均为素数).(1)我们证明了下面的结果. 定理方程(l)有2才n     

关于一般的D.H.Lehmer问题

q)3为奇数,对任意整数。,(。,的~1,我们以云记。在modq下的乘法逆,即同余方程ax二l(mod妇在区间1簇:(q一l内的整数解.定义集合 L(宁)~{a!a〔Z,z毛。(宁一z,(a,宁)~1,a+云二l(modz)}.(z)关于L(宁)中元素的分布是D.H.Lehmer问题的一般形式t1,习.最近,张文鹏在文献【3〕中提出如下猜测:}乙(;)卜冬,(,)+o(,全+·). Z(2)本文的目的是在更一般情况下证明(2)式.我们有 定理q)3为奇数,L(刃由(l)定义,N是任意正整数,1攫N《宁一1,则艺艺轰召l~土N. 2中(宁),一‘+o(,全‘(,)109,,),(3)其中武妇为q的正因子的个数,大0常数是绝对的. 在定理中令N一q…     

一阶非线性时滞微分方程的线性化振动性

张炳根指出:条件(6)对u趋于零时,f(u)的变化有限制,并提出这个条件是否可改进?本文获得如下结果:定理 在条件(3),(4)下,方程(1)和其相应的线性方程(2)在振动性上等价,其中     

Филиппов定理的改进

关于Liénard方程(1)或其等价方程组:(1′)的极限环的存在性问题,一般认为以定理的结果为最好,最有代表性,本文证明定理中的某些条件是多余的,     

关于Diophantus方程Ax~2 B=y~n

设Ｎ,Ｑ分别是全体正整数、有理数的集合,Ａ,Ｂ∈Ｎ.方程Ａｘ2 Ｂ=ｙｎ,2ｎ>1,2ｙ,ｘ,ｙ,ｎ∈Ｎ(1)是一类基本而又重要的高次或指数型Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ方程.当Ａ=1,Ｂ=2时Ｌｊｕｎｇｇｒｅｎ[1]证明了方程(1)仅有解ｘ=5,ｙ=3,ｎ=3.当Ａ=1,Ｂ=4时,本文作者之一给出了方程(1)的解答.本文将用虚二次域的基本性质与推广的Ｐｅｌｌ方程的结果研究方程(1)的一些新的情形.设ｈ(-Ｄ)表虚二次域Ｑ(-Ｄ)的类数,本文证明了定理1　设Ａ无平方因子,2Ａ,(ｎ,ｈ(-2Ａ))=1,则Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ方程Ａｘ2 2=ｙｎ,ｘ,ｙ,ｎ∈Ｎ,2ｎ>1(2)仅有解Ａ=1,ｘ=5…