对增乘开方及其相关问题的再探讨

通过对开方术、带纵开方及增乘开方算法的比较分析,认为增乘开方的思想源于《九章算术》的开方术,带纵开方是中间的过渡阶段.增乘开方是将开方术归纳、推广的结果.而贾宪三角是记录了用增乘法得到的各乘方之廉.即:传统开方立成释锁释锁求廉本源(贾宪三角的造表法)增乘开方.因为贾宪三角中每一行的系数,都可由贾宪所创增乘方求廉草所得到的,因此贾宪不可能认识到贾宪三角中行与行之间系数关系.在开方算法的完善中体现出的中算的构造性特征及程序化的算法思想,至今仍有重要意义.     

立成释锁方法操作问题探究

通过对《九章算术》的开方术，以及贾宪、吴敬、骆腾凤、李異等人立成释锁的研究，对立成释锁的定义、操作方法以及它与增乘求廉草的关系做了初步探讨。     

中国开方算法系统及其机械化特征

中国于公元前1世纪成书的《九章算术》少广章中就已经提出了完整的开平方、开立方算法程序，贾宪的立成释锁法，可以推广到任意次方的开方程式，秦九韶的正负开方术成为求解高次方程正根的一般方法．中国开方算法系统不仅表现了中国筹算所能达到的高超算技，而且充分体现了中国数学思想方法的构造性和算法机械化特征．     

程之骥《开方用表简术》补记

开方术是中国传统数学中发展较为完善和成熟的内容之一,最早见于《九章算术·少广》章.后经宋元发展为"立成释锁"和"增乘开方"算法,这是一种解决一元高次方程的一个正实数根的有效方法,对于开方不尽而有奇零的情况,如根为无理数则"命分"得近似值,或"续开"直到满足要求精度;分数(小数)根则可"续开"得近似或准确值,"之分法"则可得准确值.明朝"增乘开方"算法失传,珠算"立成释锁"开方法一枝独秀.清后期李锐、汪莱和焦循等,重新发现并使用"增乘开方"算法.华蘅芳在其《开方古义》中误以为发现了古代"增乘开方"算法,实际上是"增乘立成"开方法,程之骥则简而化之.因程之骥书中有缺漏部分,今以算补校.     

<太西算要>发掘与探析

<太西算要>,明末孙元化著,前人多说失传.1983年,上海文物管理委员会在整理徐光启著作时,发现该书手稿.该书为明末传播西方数学的一部力作,介绍了笔算加、减、乘、除、开方的算法,以及等差、等比数列前n项求和公式和比例式.该书利用中国传统数学对方、廉、隅的几何解释说明开三、四乘方方法,使其中每一步骤清楚明了.     

"益积"和"翻法"研究

最早见于《九章算术》"少广"章的开方术,后经宋元发展为一种解决一元高次方程的一个正实根的有效方法,即"立成释锁"和"增乘开方"算法.开方算法在中算中内容丰富、地位重要,在开方算法中也有与计算细节相关的各种称谓,"翻法"和"益积"就是这样的例子.从刘益开始,经秦九韶研究易名、李冶推广、朱世杰的心不在焉、周述学的复兴,到焦循完备化和李锐的放弃,"翻法"和"益积"经历了出生、成长、繁荣和终结的过程.这些名称强烈地依赖于开方算法的过程,他们因算法中细节的改变而生,之后历经成长、繁荣和成熟,最后随着算法的完备而消亡.     

筹式开方中借算的位置

筹式开方中，“借算”在整个运算中起到定位作用，通过对借算和商位置的初步研究得到一些结论。认为“等”即位，“超一等”，“超二等”步之，均为连跳，分别每次跨过一位，二位，后来为退位制，方一，廉二，次廉三…下退ｎ（开ｎ次方）。乘商作除时，商不带位值而乘，商的位置，开方中的“步至百而止”实指商之百位。     

"增乘开方法"与"立成释锁"的关系研究

在一种算法的发展应遵循由繁到简的原则假设下,以立成释锁方法的算法为基础,比较了立成释锁、增乘开方与九章开方,以立成释锁和增乘开方的算法及其演进过程为切入点,探讨了二者之间的关系,认为增乘开方是在立成释锁的基础上发展起来的一种算法的判断更为合理。     

《九章算术》开方术今释

大约成书于东汉初年（公元50年-100年）的《九章算术》，是现有传本的中国最古老的数学经典著作D‘。其中少广章记载了迄今所知的我国最早的开方术。从两晋南北朝至宋元的千余年间，这一开方术始终是我国高次方程数值解理论发展的重要源泉。公元三世纪，伟大数学家刘徽对《九章算术》开方术作了忠于原著的注释（以下简称《激注｝）［’］。但由于开方术文辞简晦，且困于表达工具及古今概念之差异，因此不论是《九章算术》开方术术文还是刘徽注文，措辞不能完全达意是难免的。故自魏晋刘微之后，历代中算家也相继作了不少注释或评述‘”［’…     

段耀勇1,周畅2,段垒垒3,孙青辉

开方术是中国传统数学中发展较为完善和成熟的内容之一,最早见于《九章算术》和《少广》章.后经宋元发展为“立成释锁”和“增乘开方”算法,是一种解决一元高次方程的一个正实数根的有效方法.不知是巧合还是人为抑或是算法本身的局限,中国古代的高次方程几乎都只有一个正根;而两个正根的方程作为不和谐的声音表现为赵爽二次方程求解的隐喻,刘益、杨辉的视而不见和秦九韶、李冶的不选之择.直到汪莱指出对秦九韶和李冶“不可知为可知”的错误,多正根的方程即“不可知”才进入算家的视野.李锐以前对于有多个正根的方程没有有效的解决方法.为此,李锐给出新的步法,用“代开法”求出多个正根.而就多个正根的方程而言,用基于新步法的“正负开方术”是求解方便且计算效率高的方法.     

论增乘开方法在世界上的领先地位

通过对增乘开方法的介绍及与同时期西方数学发展的比较,论述增乘开方法在世界上的领先地位．     

《九章算术》＂报除＂释义

对《九章算术》与刘徽注文中6处使用"报除"概念时的算法进行数理分析,指出它与普通除法的微妙差别在于运算顺序的改变,这里的"报"是返回的意思,即在分数除法或分数开方运算中,为避免直接相除或直接开方而导致除不尽或开方不尽的现象,先相乘或乘方,然后再进行除法运算.     

浅谈复数的代数形式向复数的三角形式转化的方法

在复数的乘法、乘方、除法及开方运算中，复数的三角形式比复数的代数形式要方便得多。本文把复数的代数形式转化为复数的三角形式的方法加以简析。     

求解多元多重线性回归系数的BP算法

提出了一种基于SCNN的求解多元线性回归系数的改正的BP算法。该算法的基本思想是先将回归系数的估计转化为求相应线性方程组的最小二乘解；然后用BP算法求得方程组系数矩阵的左逆阵，得到方程组的解。算法中不存在除法运算，且便于在计算机上实现。     

曲线的随机拟合及其自适应算法

针对拟合曲线时输入样本的随机性,提出了随机拟合的概念,并给出了相应的自适应算法．该算法能够自动学习拟合需要的统计特性,进而调整拟合多项式的系数．从理论上可以证明,采用该方法所得系数可以任意逼近加权最小二乘标准的系数．对于算法中区间的长度,进行了初步的分析及优化．仿真表明,该算法有较理想的逼近效果,优于一般的最小二乘法．     

正定二次规划的投影最小二乘算法

提出了正定二次规划问题的投影最小二乘算法．该算法先求目标函数无约束优化问题的解，再将此解逐次投影到有效约束的边界．迭代过程中不断更新有效约束，最终得到问题的有效约束集，进而得到问题的解．将该算法应用到FIR滤波器的约束最小二乘设计中，算法分析及约束FIR滤波器的设计例子都表明该算法的计算量远小于目前最流行的二次规划算法——有效集方法．     

基于最小二阶乘快速解线性调频方法

针对解线性调频算法搜索步长减小时运算量增加的情况,提出了基于最小二阶乘方法的快速解线性调频算法.分析了快速算法原理、最终可达到的分析精度及提高分析精度方法.仿真验证表明基于最小二阶乘快速解线性调频算法快速有效.     

求解多元多重线性回归系数的BP算法

提出了一种基于SCNN的求解多元线性回归系数的改正的BP算法.该算法的基本思想是先将回归系数的估计转化为求相应线性方程组的最小二乘解;然后用BP算法求得方程组系数矩阵的左逆阵,得到方程组的解.算法中不存在除法运算,且便于在计算机上实现.     

基于广义交叉检验的自适应约束最小二乘图像恢复

现有的图像恢复方法中有一部分需要正则化系数,而正则化系数估计的准确与否是决定恢复图像质量好坏的关键,为了能够自适应地恢复图像,研究了约束最小二乘算法的图像恢复问题,提出了应用广义交叉检验方法估计约束最小二乘算法中的正则化系数．实验结果证明,用该算法估计的正则化系数恢复图像质量更佳,速度比普通的迭代方法快,而且该最小乘图像恢复方法实现了图像自适应图像恢复．     

对普通高等数学教材中几个问题的研讨（一）

通过教学实践,笔者感到对高等数学教材中的若干问题,尚需进一步研讨。一、关于取对数求导法若所给的函数是由有限个基本初等函数经乘、除、乘方、开方、复合运算而成的幂指函数f(x)~(g(x)) (f(x)>0)的形式,求导数时一般是先取对数化简,然后再求导。在普通高等数学教材中,对取对数求导法没有严密论证,存在一些疵漏。请看下