一类一阶微分方程的通解问题

文章讨论了微分方程y′（x）u（y）=q（x）v（y）解的特殊求法,得出：当{u（y）/v（y）}′=y′/v（y）时y′＋p（x）u（y）=q（x）v（y）有通解u（y）/v（y）=e^-∫p（x）dx[∫q（x）e^∫p（x）dx dx＋c]。     

完全三次方型线性齐次微分方程

通过把完全三次方型线性齐次微分方程：X^3y^（n）＋3n（n-1）xy^（n-2）＋n（n-2）（n-2）y^（n-3）=0化为可逐次积分的线性微分方程,找出了求这类方程通解的方法与理论,对所得定理给出了严格的证明,并通过实例介绍了它的应用．     

一类亚纯函数的广义积分及其Cauchy主值

运用留数定理求解形如∫^∞ -∞e^axf（e^x）dx的一类亚纯函数的广义积分及其Cauchy主值的和,得到∫^∞ -∞e^axf（e^x）dx（Cauchy主值）与留数间的关系．     

利用复积分计算一种特殊类型的定积分

众所周知,我们在复变函数中曾利用留数讨论了形如：∫0^2πR（cosθ,sinθ）dθ,∫-∞^＋∞R（x）dx,∫-∞^＋∞R（x）eiaxdx（a〉0）（当满足一定条件）这三种类型定积分的计算问题。但在实际问题当中我们还经常遇到∫0^＋∞,cosx^2dx,∫0^＋∞sinx^2dx这种类型的积分（如在光学中经常遇到）,本文则利用构造函数法和复积分的计算法,给出了这种类型积分的一种有效计算方法。     

R(z)在半实轴x≥0上含有极点的积分∫+∞0R(x)(logx)kdx的Cauchy主值

首先讨论有理函数R（z）在半实轴x≥0上含有简单极点时积分∫^＋∞0R（x）logxdz的Cauchy主值,然后讨论积分∫^＋∞0R（x）（logx）^2dx的Cauchy主值,得到这些积分主值的计算公式．     

复常系数线性微分方程的解法

文〔１〕仅给出了ｙ″＋（ａ＋ｂｉ）ｙ′＋（ｃ＋ｄｉ）ｙ＝０的通解公式，本文先提出一类高阶复系数齐次方程的通解公式。进而利用选定系数法，得到了二阶复常系数线性非齐次方程特解的简捷求法，即直接利用公式写出相应方程的特解。     

齐型空间上极大奇异积分的不等式

利用重整函数的性质,采用一定的函数分解、空间分解证明技巧,得到对算子估计十分有用的不等式：（Tf）ω^＊（t）≤C（Mμf）ω^＊（（t）/（2））＋C∫t^∞（Mμf）ω^＊（s）（ds）/（s）     

含一般非线性项Kirchhoff型约束变分问题Schwarz对称极小解的存在性

利用约束变分理论和对称递减重排技巧考虑一般非线性项情形下一类Kirchhoff型约束变分问题Schwarz对称极小解的存在性和不存在性.针对非线性项的指数和约束∫RN| u |2dx=c2中的c与极小化问题Schwarz对称极小解存在与否的关系,得到了一个细致明确的划分.     

一类无穷积分收敛性的判定定理及其应用

给出一类无穷积分收敛性的判定定理,即将复杂的∫a^＋∞f（x）dx收敛性的判定问题归结为较简单的∫a^＋∞g（x）dx的收敛性判定。其中g（x）=∫f（x）/x dx.     

三角积分∫dx／sin^nx和∫dx／cox^nx的积分公式

利用分部积分公式,结合递推公式,得到了三角分∫dx/sin^nx和∫dx/cosnx的积分公式,该结果是有一定的理论价值和应用价值。     

一阶常微分方程具有乘积形式f（x^αy^β）g（ax^t＋by^s）积分因子的求解

讨论了一阶常微分方程M（x,y）dx＋N（x,y）dy=0的积分因子问题,给出了方程具有形如f（x^αy^β）g（ax^t＋by^s）,a,b,α,β,t,s∈R的积分因子的充要条件,引入了一种新的求上述积分因子的方法,并通过实例加以应用。     

关于等式∫abf（x）dx＝∫abf（a＋b－x）dx的推广与运用

由等式∫a b f（x）dx ＝∫a b f（a ＋b －x）dx 的特征与功能,变换定积分的上、下限,并进行特殊推广与一般推广,得到一些新结论,可为有关恒等式的证明及一些定积分的计算提供便捷的途径。     

关于不定方程x^3＋64=21y^2

利用递归数列、同余式和平方剩余几种初等方法,证明了不定方程x^3＋64=21y^2仅有整数解（x,y）=（-4,0）,（5,±3）;给出了x^3＋64=21y^2的全部整数解．     

关于不定方程x^2-53=4y^5

利用代数数论中的理想分解,证明了不定方程仅有整数解（x,y）=（±7,-1）．     

Pell方程x^2-（a^2-1）y^2=k的解集

应用本原解、解数列等概念,完整、清晰地表述了形如x^2-（a^2-1）y^2=k（k∈Z,k≠0,a≥2）型Pell方程的整数解集.     

关于一个丢番图方程x^3＋1=65y^2

利用递归数列,同余式证明了丢番图方程x^3＋1=65y^2,仅有整数解（x,y）=（-1,0）（4,±1）．     

关于丢番图方程x(x+1)(x+2)=2p~2y~3

利用初等数论的方法证明了丢番图方程x(x+1)(x+2)=2p2y3没有正整数解,其中p是奇素数。     

矩阵方程X＋A^XA=I（r〉1）正定解

本文讨论矩阵方程X＋AX^’A=I（r〉1）的（半）正定解,首先利用Brouwer不动点定理分别给出在条件AA≤I和AA〉I下该方程正定解和半正定解的存在性以及解的范围,其次利用压缩映射原理,给出方程存在唯一正定解的两个充分条件,最后得到了在A正规的情形下方程正定解的存在性．     

一类n阶变系数线性常微分方程的通解

论述了n阶变系数线性常微分方程∑k=0^nAk（x）y^（k）=f（x）当满足条件：1＋[A1/A0]＇=0,Ak/A0＋[Ak＋1/A0]＇=0,k=1,2,…,n-2时,可用初等积分法求其通解,并推出了求解公式。