不定方程x2-k(k+1)y2=1与y2-Dz2=4的公解

设p₁,…,p_r是不同的奇素数,x₁=2k+1,u,v均为正整数.该文证明了当D=2p₁…p_r(1≤r≤4)时,除开2(4x₁²-3)(4x₁²-1)(2x₁²-1)=Du²或2(2x₁²-1)=Dv²外,不定方程组x²-k(k+1)y²=1与y²-Dz²=4仅有平凡解(x,y,z)=(±(2k+1),±2,0).     

不定方程13x2-11y2=2和48y2-13z2=35的公解

Gel’fond-Baker方法是20世纪超越数论的重要成就之一,该方法在不定方程求解方面具有广泛应用。运用Gel’fond-Baker方法,证明了不定方程13x²-11y²=2和48y²-13z²=35仅有公共解(x,y,z)=(±1,±1,±1),(±551,±599,±1 151)。这改进了之前的结果■。     

关于不定方程x2-3y4=p(p=13,37,61,73)

运用递归序列、同余式以及平方剩余的有关性质,证明了以下结论:(1)不定方程x²-3y⁴=13仅有正整数解(x,y)=(4,1)和(16,3);(2)不定方程x²-3y⁴=37没有正整数解;(3)不定方程x²-3y⁴=61仅有正整数解(x,y)=(8,1)和(44,5);(4)不定方程x²-3y⁴=73仅有正整数解(x,y)=(11,2)和(29,4)。     

不定方程x3±133=y2的整数解

利用Pell方程的解的基本性质、同余理念、因式分解等相关知识,证明了不定方程x³-13³=y²仅有整数解(x,y)=(13,0),不定方程x³+13³=y²仅有整数解(x,y)=(-13,0)。     

不定方程x3±4913=34y2的整数解

运用同余式的性质研究了不定方程x³±4 913=34y²的整数解问题,并得到了不定方程x³+4 913=34y²仅有正整数解(x,y)=(17,17),(391,1 326),不定方程x³-4 913=34y²仅有整数解(x,y)=(17,0)的结果。研究结果为解决x³±a³=Dy²这类不定方程的整数解问题奠定了一定的基础。     

不定方程x3±2197=26y2的整数解

主要利用同余式性质和佩尔方程解的性质等初等数论的方法,证明了不定方程x³+2 197=26y²仅有正整数解(x,y)=(13,13),(299,1 014),不定方程x³-2 197=26y²仅有整数解(x,y)=(13,0)。从而丰富了不定方程x³±a³=Dy²整数解的研究内容。     

关于不定方程x3-1=193y2

关于不定方程x³-1=Dy²(其中D为素数且D≡1(mod 6))的求解是数论中仍未解决的重要问题之一。利用同余式、Pell方程整数解的性质及递归数列等初等数论方法对D=193的情形进行了研究,得到了不定方程x³-1=193y²仅有整数解(x,y)=(1,0)。     

不定方程x2-72y2=1与y2-Dz2=4的公解

设P1,…,Ps是不同的奇素数,证明了：当D=2p1…Ps（1≤s≤4）时除开D为D=2×577外,不定方程组x2-72y2=1与y2-Dz2=4仅有平凡解（x,y,z)=（±17,±2,0)。     

不定方程x2+324=my19(m=1,2,3,6,9,18)的整数解

主要利用代数数论和同余理论的相关知识,研究了不定方程x²+324=my¹⁹(m=1,2,3,6,9,18)的整数解问题,得出该方程无整数解的结论,从而丰富了不定方程x²+D=myⁿ(x,y∈Z,n∈N,n≥2)的研究内容。     

关于不定方程x3+1=38y2

利用递归数列和同余式证明了不定方程x³+1=38y²,仅有整数解(x,y)=(-1,0),(31,±28).     

关于不定方程x~2-6y~2=1与y~2-Dz~2=4的公解

利用递归序列、Pell方程的解的性质、Maple小程序等,证明了D=2~n(n∈Z+)时,不定方程x~2-6y~2=1与y~2-Dz~2=4:(i)n=1时,有整数解(x,y,z)=(±485,±198,±140),(±5,±2,0);(ii)n=3时,有整数解(x,y,z)=(±485,±198,±70),(±5,±2,0);(iii)n=5时,有整数解(x,y,z)=(±485,±198,±35),(±5,±2,0);(iv)n≠1,3,5时,只有平凡解(x,y,z)=(±5,±2,0).     

关于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)= 66y(y+1)(y+2)(y+3)

利用Pell方程基本解性质、递推序列、同余思想以及二次剩余等初等方法证明了在(M,N)=(1,66)时不定方程Mx(x+1)(x+2)(x+3)=Ny(y+1)(y+2)(y+3)仅有8组非平凡整数解(x,y)=(8,2),(54,18),(8,-5),(54,-21),(-11,2),(-11,-5),(-57,18...     

不定方程x3+1=301y2的整数解

利用递归数列、同余式、平方剩余以及Pell方程解的性质证明不定方程x3+1=301y2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于不定方程x~2+4~n=y~(11)

利用代数数论的方法,证明了不定方程x2+4n=y11,当n=3和n=4时无整数解,n=5时有整数解(x,y)=(±32,2).     

关于不定方程x~3+8=21y~2

讨论不定方程x3+8=21y2的整数解.方法主要利用同余式,递归序列的有关性质和结论.给出了不定方程x3+8=21y2仅有整数解(x,y)=(－2,0).推广了不定方程的研究范围,为进一步研究提供了方向.     

关于不定方程x~2+64=4y~n(n=5,9)的解

利用代数数论整数环的唯一分解性,研究了不定方程x~2+64=4y~n(n=5,9)的整数解问题,并证明了当n=5时,该方程仅有整数解(x,y)=(±8,2);当n=9时,该方程无整数解。     

关于丢番图方程x2±xy+y2=p

设p是形如6k+1的正素数,运用数论方法及计算机程序,获得了丢番图方程x2-xy+y2=p在p＜100000时的满足x＜y的全部正整数解(9658组);运用数论方法证明了当p是形如6k+5的正素数时丢番图方程x2-xy+y2=p无正整数解.从而推进了广义Fermat猜想和Tijdeman猜想的研究进展.     

不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=11y(y+1)(y+2)(y+3)

运用了一种初等的证明方法,对一个不定方程x(x 1)(x 2)(x 3)=11y(y 1)(y 2)(y 3)的正整数解进行了研究。证明过程中仅涉及到了初等的数论知识,就是采用了递归序列的方法,证明了不定方程x(x 1)(x 2)(x 3)=11y(y 1)(y 2)(y 3)无正整数解,同时这个证明过程也给出了这个不定方程组的全部整数解,它们是(x,y)=(-3,0),(-3,-1),(-3,-2),(-3,-3),(-2,0),(-2,-1),(-2,-2),(-2,-3),(-1,0),(-1,-1),(-1,-2),(-1,-3),(0,0),(0,-1),(0,-2),(0,-3)。     

关于不定方程x^3+8=37y^2

利用同余式,递归序列的有关性质和结论证明了不定方程x3+8=37y2仅有整数解(x,y)=(-2,0).     

不定方程5f2+5fg+g2=h2的整数解

主要讨论了不定方程5f2 5fg g2=h2的整数解,并给出了详细的证明.