闭区域上连续函数性质的证明

本证明了Ｒ＾２上的完全复盖定理，并用它证明了有界闭区域上的连续函数的若干性质。     

代数基本定理的一个初等证明

首先,用归纳法证明引理在复数体上,不为零的系数的个数不小于2的复数系数方程必有根。证明Ⅰ。在复数体上,对于不为零的系数的个数为2的任一方程含有形式ax~k+b=0其中a,b均不为零且k为任一自然数,显然它有根。所以,不为零的系数的个数为2的方程     

区间〔0,＋∞）上有界函数的最大值与最小值定理

在本文,我们给出了区间〔０,＋∞）上有界函数ｆ（ｘ０的最大值与最小值定理,其中：ｉｎｆ（ｆ（ｚ）│ｚ∈〔０,＋∞））〈ｆ（ｘ）〈ｓｕｐ（ｆ（ｚ）│ｚ∈〔０,＋∞）。     

完全覆盖的重要应用

本文通过引进平面有界闭区域D的“完全覆盖”，对平面点集和二元连续函的几个重要的定理给出了简证，并把这种方法开拓到n维欧氏空间R^n和n元连续函数（n≥3）。     

最大最小值定理的证明──对华东师大编《数学分析》教材中证明的商榷

本文指出文献［１］中有关用区间套定理证明闭区间上连续函数的最大最小值定理证明的欠妥之处，并对证明过程进行了修正。     

一个代数求积定理的分析证明及其推广

用分析的知识去证明了一个代数求积定理并把这个定理适用的多项式推广到一般的连续函数上。     

关于一类解析函数列的定理及其证明

对内闭一致有界的解析函数列所具有的重要性质进行了深入探讨,并给出相应的结论.在论证过程中充分利用了解析函数的性质,系统推导了内闭一致有界与内闭一致收敛的关系.     

柯西积分定理的初等证明

利用数学分析的知识构造一个简单的恒同逼近函数,由此用分析中的逼近思想,成功地用满足柯西-黎曼条件的连续可微的函数逼近一般的可微函数,给出了柯西积分定理的一个初等证明,克服了复变函数论中这一关键性定理证明繁琐或者超纲的困难.     

闭区域上连续函数性质的证明

本文证明了Ｒ２上的完全复盖定理，并用它证明了有界闭区域上的连续函数的苦干性质。     

代数基本定理的复数证明

本文利用复数的基本性质,连续函数的性质,以及解析函数论的基本定理,给出代数基本定理的几个复数证明。     

两个极限命题的证明

用归纳法证明了两个极限命题。(1)设m>1,pi(x)(i=1,2,…,m)是[1, ∞)上的连续正函数,在满足一定条件下成立li mx→ ∞∫1xtm-1p1(t)p2(t)…pm(t)dtxmp1(x)p2(x)…pm(x)=α2α3…αm α1α3α…1αα2m… αm… α1α2…αm-1(2)设pjn,an(j=1,2,…,m;n=1,2,…;m>1)均为正数,在满足一定条件下成立li mn→∞∑nk=1akm-1p1kp2k…pmkanmp1np2n…pmn=α2α3…αm α1α3α…1αα2m… αm… α1α2…αm-1     

有关Torriani定理的一个推广

给出函数类Hω和有界变差函数类BV之间的关系,推广了Torriani的结果.     

连续函数的一个性质

本文论证了文[1]中提出的问题,并且加以推广,得出一般性结论。文[1]中提出的问题仅是本文的特例。     

区间上连续函数的性质与构造证明法

连续函数是"微积分"研究的主要对象;区间上连续函数的性质是"微积分"课程的重要内容;也是被认为很困难的内容;许多教材为了回避困难,不惜先引入定理,在教材的后面部分再给出证明;其实,闭区间上连续函数性质的证明的难度不会超过证明确界定理的难度,而证明这些定理的思想方法可能比这些定理本身更重要;将在确界定理与单调有界定理的基础上,利用构造性方法给出闭区间上连续函数性质的证明;并由此深入讨论一般区间上连续函数的性质。     

角域上亚纯函数基本不等式

文章主要讨论了角域上亚纯函数特征函数的一些性质,得到一个重要不等式。     

一类函数方程的有界解(I)

研究了由学习理论引入的函数方程f(x-y)-f(x y)=2g(x)g(y)有界连续解,证明了f(x),g(x)必为如下形式的三角函数,f(x)=M20cosαπx C0,g(x)=±M02sinαπx;其中c0,α为大于0的常数,M0为实常数。上述结论的意义在于,可以构造如下形式的Mercer核,K(x,y)=f(x-y)-f(x y);从数学意义上,证明了满足上述方程的函数一定为三角函数,也即给出了三角函数的一种方程形式的刻划。     

一类函数方程的有界解(Ⅱ)

研究了函数方程f（x—y）＋f（x＋y）=2f（x）f（y）有界连续解,其中f（x）为R^n→R的有界连续函数;证明了f（x）必为如下形式的三角函数f（x1,x2,…,xn）=COS（k1x1＋k2x2＋…＋knxn）,其中k1,k2,L,kn常数。该结论证明了满足上述方程的函数一定为三角余弦函数,也即给出了三角余弦函数的一种方程形式的刻画。     

基于PBL和CBT的Lusin定理的证明及其应用教学

研究了基于PBL和CBT的Lusin定理的证明及其应用教学。在实际教学过程中,通过构造问题,提出猜想,证明猜想形成Lusin定理,给出应用Lusin定理证明的例子,构建了Problem-driven-Conjecture-Theorem-Cases of applying theorem教学范畴。学生能更好地知道Lusin定理的来源,理解Lusin定理的结论及其推广结论,掌握Lusin定理证明的思想方法和技巧。