矩阵非异性判定

本文利用矩阵块对角占优的性质,给出矩阵非奇异的几个判定条件。下面用 R~(n×n)表示 n 阶实方阵的全体,用 C~(n×n)表示 n 阶复方阵的全体,并令,Z~(n×n)={A=(a_(ij))∈R~(n×n)|a_(ij)|≤0,i≠j,1≤i,j≤n}若 A 是非奇异 M 一矩阵。则记 A∈M.引理1 设 A=(a_(ij))∈Z~(n×n),且 A_(ij)>0,1≤i≤n,令 A =,则 A∈M     

n阶行列式的一个等式

文[2]证明了一个关于三阶行列式的等式。本文利用矩阵及其子式的运算,将等式推广到n阶行列式,且证明更加简洁。 设有n阶方阵A=(a_(ij))_(n×n),B=(b_(ij))_(n×n)。A中的元素工、a_(ij)的代数余子式记作A_(ij),A之伴随矩阵记作A,即A=(A_(ji))_(n×n)。A的子矩阵、子式、代数余子式的表示全按文献[1]记为:块A     

具有非零元素链的对角占优矩阵为非奇异的定理的一个简短证明

设 A=(a_(ij))是 n 阶对角占优矩阵,即若记 N={1,2,…,n},则对任意 i∈N 都有|a_n|≥sum from j=1 j≠i to n |a_(ij)|.本文所涉及的矩阵总假定是对角占优的。记 J(A)={i∈N||a_(ii)|>sum from j=1 j≠i to n |a_(ij)|}.当 J(A)=N 时,A 为严格对角占优矩阵,当 J(A)≠Φ,且 A 不可约时,A 是不可约对角占优矩阵,这两种矩阵都是非奇异的。当 J(A)≠Φ,A 为可约矩阵时,一九七四年 P.N.shivakumar 和 kim Ho Chew 给出了它为非奇异的一个充分条件:定理.设 A 为可约矩阵,J(A)≠Φ,若对每个 (?)J(A),都存在由 A 中非零元素构成的序列(也叫非零元素链):a_(ii_1),a_(i_1i_2),…,a_(i_(s-1))i_s,i_s∈J(A),那末 A 是非奇异的.P.N Shivakumar 和 kim Ho Chew 在证明此定理时,引用了 M—矩阵的性质,篇幅     

完全非负矩阵上的Oppenheim不等式的推广

完全非负矩阵在Hadamard乘积意义下是不封闭的。对于两个三对角完全非负矩阵A=(a_(ij)),B=(b_(ij)),Markham证明了它们的Hadamard乘积的行列式满足Oppenheim不等式。我们应用完全非负矩阵的Hadamard中心的性质,改进了Markham的相应结果,给出了新的下界(A_1为删去第一行的A的主子矩阵):det(AB)≥(multiply from i=1 to n b_(ii))detA+(multiply from i=1 to n a_(ii))detB-detAdetB+(detA)((multiply from i=2 to n a_(ii)/detA_1)-1)(b_(11)detB_1-detB)+(detB)((multiply from i=2 to n b_(ii)/detB_1)-1)(a_(11)detA_1-detA)。     

矩阵非异性判定

本文讨论了几种特殊矩阵之间的关系,从而利用块对角占优的性质,绐出矩阵非奇异的若干判定条件。定义1 设A=(α_(ij)∈C~((?)×n)是弱不可约矩阵,若u∈S(A),有则称A是弱不可约严格对角占优矩阵。定义2 设A=(α_(ij))∈C~(×i),对角元均非零,若v∈S(A),有则称A是弱严格对角占优矩阵,记为A∈H。     

相关矩阵的积和式与特征值

设A=(a_(ij))是一个nxn非负相关矩阵,=(a_(ij)~2和=(a_(ij)perA(i,j))。本文得出下面两个结论:①(?)的最大特征值λ满足λ≤per(A);②的最大特征值λ满足λ=per(A)。这里per(A)记矩阵A的积和式。     

广义严格对角占优矩阵的判定

本文讨论了广义严格对角占优矩阵的特征,给出了判定广义严格对角占优矩阵的几个充分条件与一个充分必要条件。定义1 设A=(a_(ij))∈C~(n×n),如果对所有1≤i≤n,皆有则称A为行严格对角占优矩阵,记为A∈D。定义2 设A=(a_(ij))∈C~(n×n),若有一正向量d=(d_1,d_2,…,d_n)~T,使得     

关于矩阵乘积的奇异值的一个不等式及其应用

约定 A(≥0)>0为(半)正定 Hermite 矩阵。如果复矩阵 A=(a_(ij))(∈C~(n×n))的特征值都是实数,规定其特征值满足λ_1(A)≥…≥λ_n(A),用σ_1(A)≥…≥σ_n(A)表示 A 的n 个奇异值,规定{δ_1(A),…,δ_n(A)}与{a_(11),……,a_(nn)}为同一集合且|δ_1(A)≥…≥|δ_n(A)|。当实向量 x=(x_1,…,x_n)与 y=(y_1,…,y_n)的分量按递减顺序排列为 x_[1]≥…≥X_[n]与 y_[1]≥…≥y_[n]时,若(?)X_(i)≤(?)y_[i],k=1,2,…,n,则称 y 弱控制 x,记为 x相似文献   

关于“矩阵对角占优性的推广及应用”与“一类矩阵的特征值分布域”的注记

本注记指出文献[1]、[2]的错误,并简要分析原因. 设A∈M,(C)(n阶复方阵),A=(a_(ij))满足     

奇异矩阵的满秩分解法

在求Moore—Penrose逆矩阵的过程中,当矩阵A=(a_(ij))_(mxn)的秩r相似文献   

矩阵的追迹与范数(二)

本文是前文的续作. 设入为n阶矩阵A=(a_(ij))的任一特征根, 以及本文获得下列结果此处这一结果不仅改善了熟知的结果而且还比笔者和国外许多学者已经改善的有关结果更为精确. 本文讨论常用的几种矩阵范数和追迹在矩阵特征根限界上的应用.     

关于一类非驻定系统的稳定性

本文在常值矩阵 A=(a_(ij))以零为 r 重特征根,其余根均有负实部条件下讨论了非驻定系统 dx/dt=sum.from to j=1(a_(ij)x_j+f_i(t,x_1,…,x_n))零解的稳定问题,得到了判断该系零解为稳定或不稳定的充分条件。     

交换环上的线性方程组可解的一个充分条件

<正> 本文R始终表示有单位元的交换环。我们考虑系数在R中的线性方程组AX=B (1)在R上可解的条件,这里A=(a_(ij))是一个m×n矩阵,X=(x_1,…,x_n)~t,B=(b_1,…,b_m)~t。如果m>n,可以引入变量x_(n+1),…,x_m及a_(ij)=0(1≤i≤m,n+1≤j≤m)。因此,不失一般性,我们总可以假定m≤n。关于线性方程组AX=B有解的充分条件,文献[1]、[2]、[3]中针对一些     

关于循环单步过程的收斂性

本文在矩阵A=(a_(ij))对称且滿足条件2—a_(ij)>0的假定下建立了循环单步过程收斂的必要充分条件。提出了更一般的迭代过程(7)并对它建立了相应的收敛性判別法。     

几类矩阵的行列式下界的估计

0 引言和记号用简便的方法来判定矩阵的奇异性,且在非奇的情况下估计出行列式的下界,这在实际问题中具有重要用途.这个下界表征了矩阵的非奇异度,且在其他许多估计式中也常用到,比如矩阵特征值下界的估计就与行列式下界的估计密切相关.Ostrowski,石钟慈,王伯英对于对角占优矩阵的行列式的下界进行了讨论.本文取消对角占优条件,给出几类范围更广的矩阵的行列式的下界估计,且与文献[3]的结果互不包含. 设A=(a_(ij))∈C~(m×n)若|a_(ii)|≥∧_i(A),i∈N≡{1,…,n} ,其中∧_i(A)≡∑|a(ij)|,则称A为对角占优阵,记为A∈D_0。     

关于非负广义置换矩阵

§1定义及记号我们用M_n(R)表示全体n 阶实方阵所成之集合.设A=(a_(ij)∈M_n(R),记号A≥0表示α_(ij)≥0,i,j=1,2,…,n,即A 为非负方阵.定义1 设P∈M_n(R)且P 的每一行和每一列都恰好有一个元素为一个正的实数而其余元素全为0,则称P 为一个n 阶正的广义置换矩阵.     

人员功能测评中的一种定性与定量相结合的方法一层次分析法

心理学知识指出,人们在估计两件事物某种质的区别时,习惯而且能用五种判断很好表示,判断矩阵构成之理论基础也在于此,从而使多个事物在两两比较中,形成优劣的排序。A=(a_(ij))_(n×n),其中 a_(ij)>0,a_(ij)从1,2,…,9及1/2,1/3,…,1/9中取,且a_(ij)=i,a_(ij)=i,i,j=1,2,…,9,即 n≤9。当算得 A 之最大特征值λ_(max)所对应的特征向量时,则对 A 来说多个事物的优劣顺序已由特征向量的分量数值给出,优劣顺序就是特征向量的分量数值之大小顺序。     

格上传递矩阵的性质

假设格L是有最小元0的分配格,(A)x,y∈L,定义x与y的二元运算x(-)y为:当x≤y时,x(-)y=0;否则,x(-)y=x.定义格上矩阵(R_(ij))n×n与(S(ij))_(n×n)的(-)合成为(R_(ij)(-)Sij)n×n.对幂零矩阵R,证明了(R/R)+=R~+;对非自反传递矩阵R,证明了R/R≤S≤R与R/R=S/R等价,其中R/S=R(-)(R⊙S),⊙是sup-inf合成算子,R~+是R的传递闭包.     

方阵非异的一个充要条件

本文研究实域或复域上n 阶方阵非奇异的条件。M·M(?)ller〔1〕曾证明:对于n 阶方阵A=(a(?)),如果存在一个方阵B=(b_(uv))使n 个不等式     

常系数线性齐次微分方程组的PUTZER解法

<正> §1前言考虑常系数线性齐次微分方程组(dx)/(dt)=Ax(1·1)其中A=(a_(ij))是n×n的常数矩阵,x是n维列向量,x=(x_1,x_2,…,x_n)T.方程组(1·1)的求解方法是常微分方程这一课程的基本内容之一。现行的教科书中在处理这个问题时要用到较多的线性代数知识。例如一般都采取将A化为Jordan标准型,