分数阶扩散方程中多参数联合数值反演

考虑一维空间分数阶扩散方程中同时确定空间微分阶数、扩散系数和源项的多参数联合反演问题.基于空间分数阶导数离散系数的性质和快速傅里叶变换,给出求解正问题的一种新的差分格式.利用同伦正则化方法对所提的空间微分阶数、扩散系数和源项的多参数联合反演问题进行精确数据与扰动数据情形下的数值反演.结果表明:同伦正则化算法对空间分数阶扩散中的多参数联合反演是有效的.     

时间-空间双边分数阶扩散方程微分阶数的反演

研究了一维时间-空间双边分数阶扩散方程的求解与微分阶数的数值反演问题.基于Caputo意义下时间分数阶导数和Grünward-Letnikov意义下空间双边分数阶导数的离散,给出了一个有限差分求解格式,证明了其稳定性和收敛性.分别基于终值数据及区域中点处的观测值作为附加数据,应用同伦正则化算法对微分阶数进行数值反演.反演结果表明同伦正则化算法对于分数阶扩散方程的微分阶数反演是有效的.     

时间分数阶二维对流扩散方程多点源强的数值反演

对于一类带有多个点源的二维反常扩散问题，基于Caputo意义下时间分数阶导数的离散，给出了一个有限差分求解格式。在已知点源个数及位置的前提下，根据终止时刻的浓度观测数据，应用最佳摄动量正则化算法对源强度识别反问题进行了有效的数值反演，并讨论了正则参数、分数微分阶数及数据扰动等因素对反演算法的影响。     

应用同伦正则化算法反演二维溶质运移模型中的弥散系数

利用同伦正则化算法探讨了二维对流弥散方程的依赖空间变量的弥散系数反演问题.讨论了初始迭代值、数值微分步长、以及收敛精度对算法实现的影响.数值模拟表明,同伦正则化算法对于此类参数反演问题是一种有效的方法.     

含两个时间分数阶导数的二维反常扩散方程求解与微分阶数反演

对于一类含两个时间分数阶导数的二维反常扩散方程,基于对时间分数阶导数在Caputo意义下的离散,得到一个有限差分格式;利用分离变量法与Laplace变换得到该问题的解析解,并将两种方法得到的解进行数值比较.进一步,给定终值时刻数据,应用同伦正则化算法对扩散方程中的两个时间微分阶数进行数值反演,并给出反演算例.数值结果表明随着数据扰动水平的降低,解误差逐步变小,所用的反演算法对微分阶数反问题是有效的.     

一类数值求导方法及其正则化参数的后验选取

证明了文献[1]所提的数值导数方法是一种广义导数,研究了该数值导数方法中正则化参数的后验选取和正则化解的收敛性和误差估计等问题.数值实验表明本文提出的4种后验选取正则化参数的策略对低阶数值导数是可行的.     

拟逆正则化方法结合离散随机扰动反演初值问题

利用离散随机扰动探讨时间分数阶扩散方程的反演初值问题,这类问题是不适定的,即问题的解(如果存在)不连续依赖于测量数据.利用拟逆正则化方法,得到问题的一个正则近似解,并且给出在先验正则化参数选取规则下的收敛性估计.数值结果表明拟逆正则化方法解决此类问题是有效和稳定的.     

热方程Robin系数反演的优化方法

考虑一维热传导方程Robin系数反演问题,基于反问题的唯一性,将反问题转化为优化问题.目标泛函的构造引入了L~2+TV格式的正则化罚项,在讨论目标泛函极小元存在性的基础上,构造一种快速迭代算法,数值模拟结果证明了所提算法的有效性.     

基于通量边界条件的一维溶质运移模型源项系数反演

利用正则参数随迭代次数变化的最佳摄动量算法对一维溶质运移模型中基于通量边界的源项系数进行了数值反演.讨论了预估迭代次数,入流端的定通量输入浓度,反演空间以及数据随机扰动对该算法的影响.数值结果表明该算法对此类反问题是有效的.     

二阶数值微分的积分方程方法

考虑一个由函数的测量数据求解其二阶导数的数值微分问题。这是一个经典的不适定问题,测量数据的微小扰动将引起其导数的急剧变化。将该问题表示为第一类的积分方程,并引入Lavrentiev正则化方法对其进行求解,获得了二阶数值微分的稳定化算法。另外,基于积分方程算子的性质,进一步给出了正则化解的收敛性以及正则化参数的选取策略。