乘积空间动力性质的研究

【目的】研究(X×Y,f×g)和(X,f)及(Y,g)之间动力性质的关系。【方法】将个体空间的动力性质推广到乘积空间。【结果】1)EP(f×g)=EP(f)×EP(g),其中EP(f)表示f 的所有终于周期点的集合,EP(g)表示g 的所有终于周期点的集合;2)f×g为可扩的充分必要条件是f与g分别为可扩的;3)若环面连续自映射可以分解成两个圆周连续自映射,则f1×f2具有拓扑稳定性的充分必要条件是f1与f2分别具有拓扑稳定性;4)若f×g为极小的,则f 与g 分别为极小的。【结论】乘积空间与个体空间在终于周期点集、拓扑可扩上是等价的,其中在一定特殊条件下拓扑稳定性是等价的,但在拓扑极小和拓扑传递的性质上却是不等价的。
     

乘积度量G-空间中强跟踪性和极限跟踪性的研究

引入拓扑群作用下乘积空间中G-跟踪性、G-强跟踪性和G-极限跟踪性的概念,结合乘积映射的性质,研究了乘积映射f×g与分映射f和g在这些跟踪性方面的关系,得到如下结论:(1)乘积映射f×g具有G-跟踪性当且仅当f具有G_1-跟踪性,g具有G_2-跟踪性;(2)乘积映射f×g具有G-强跟踪性当且仅当f具有G_1-强跟踪性,g具有G_2-强跟踪性;(3)乘积映射f×g具有G-极限跟踪性当且仅当f具有G_1-极限跟踪性,g具有G_2-极限跟踪性。这些结论弥补了拓扑群作用下乘积空间中强跟踪性和极限跟踪性理论的缺失。     

混沌与拓扑半共轭

（X,f）与（Y,g）为拓扑动力系统,f与g是拓扑半共轭的,对基于拓扑半共轭特殊性质扩充的混沌性进行了探讨,作为应用,给出了区间映射拓扑熵大于0与几乎周期点集中有不可数混沌集是等价的一个新的证明。     

群作用下乘积映射的渐进平均和利普希茨跟踪性

跟踪性在理论和应用中有着重要的意义,给出了拓扑群作用下乘积空间中G-渐进平均跟踪性和G-利普希茨跟踪性的概念,结合乘积映射和零密度集的性质,研究了乘积映射f×g与分映射f和g在这些跟踪性方面的关系,得到如下结论:1)乘积映射f×g具有G-渐进平均跟踪性当且仅当f具有G_1-渐进平均跟踪性,g具有G_2-渐进平均跟踪性;2)乘积映射f×g具有G-利普希茨跟踪性当且仅当f具有G_1-利普希茨跟踪性,g具有G_2-利普希茨跟踪性.这些结论弥补了拓扑群作用下乘积空间中渐进平均跟踪性和利普希茨跟踪性理论的缺陷.     

关于超空间非自治动力系统混沌的研究

【目的】研究超空间非自治动力系统的混沌性质。【方法】通过一致收敛方法对非自治系统混沌性质进行研究。【结果】得到对任意k≥2,序列映射{f〖TX-〗kn}∞n=1一致收敛于f〖TX-〗k。在此基础上,讨论了超空间非自治动力系统Li-Yorke混沌和初值敏感性的乘积系统,对任意正整数k：1) 若(κ(X),f〖TX-〗［k］1,∞)和(κ（Y）,g〖TX-*2/7〗［k］1,∞)是Li-Yorke混沌,则(κ(X×Y),f［k］1,∞×g［k］1,∞〖TX-〗)是Li-Yorke混沌。2) (κ(X×Y),f［k］1,∞×g［k］1,∞〖TX-〗)具有初值依赖敏感性当且仅当(κ(X),f〖TX-〗［k］1,∞)或(κ（Y）,g〖TX-*2/7〗［k］1,∞)具有初值依赖敏感性。【结论】通过对超空间非自治系统的研究,进一步丰富了超空间中非自治系统混沌性质。     

度量G-空间中G-链回归点的G-链等价集

根据链回归点和链等价点的定义,给出了G-链回归点和G-链等价点的概念,并研究了度量G-空间中G-链回归点集和G-链等价集的动力学性质,得到如下结果:(1)映射f的G-链回点集等于映射f~n的G-链回归点集;(2)点x关于映射f~n的G-链等价集等于点f~n(x)关于映射f~n的G-链等价集;(3)点x关于映射f的G-链等价集等于集合■;(4)集合CE_G(f~i(x),f~n)在映射f作用下的象等于点f~(i+1)(x)关于映射f~n的G-链等价集.所得结果丰富了度量G-空间中G-链回归点集和G-链等价集的理论.     

不动点性质在乘积空间上的保持性

<正> 映射的不动点性质在乘积空间上是否保持不变这一古老问题最近又引起了许多数学工作者的兴趣。Fora[1]最近得到的定理推广了Nadler[2]的有关结果。Kirk;Sternfeld[3],Belluce;Kirk[4]和Kirk[5]研究了非扩张映射的不动点性质在乘积空间上的保持性。本文目的有二:一是推广[1,2]的结果;二是讨论凝聚映射的不动点性质在乘积空间上的保持性。设(X,d)是完备距离空间,Y是任意拓扑空间,说Y具有不动点性质(f.p.p.),如果对每一g:Y→Y连续,则g在Y内有不动点,我们用P_1和P_2分别表X×Y在X和Y上的坐标投影.     

遍历测度的一个定理及其应用

设f是紧度量空间上的连续自映射。本文证明,如果f的所有非渐近周期的非游荡点的集合的基数是可列的,则f的遍历测度是它的周期轨道原子测度,且f的拓扑熵为零。作为推论还得到,逐点周期映射有零拓扑熵。另外,当f没有周期点时,其非游荡点的集合的基数是不可列的。     

无马蹄的圆周自映射

对于圆周连续自映射f,我们证明了以下条件是彼此等价的:(1)f无马蹄。(2)f的回归点集的闭包中的非回归点的集合为可数集。(3)任何一点的ω-极限集只含有唯一的极小集。(4)任何一点的ω-极限点或是f的一个周期轨道或者不包含f的周期轨道。(5)任一点的ω-极限点的ω-极限点是回归点。(6)任一点的ω-极限点的ω-极限点是几乎周期点。(7)每一个非游荡点的ω-极限集是极小集。     

双重逆极限空间上移位映射的一些动力性质

本文研究了非紧致度量空间上连续映射f:X→X,g:X→X的双重逆极限空间lim←(X,fog)上移位映射lim←(X,fog)→lim←(X,fog)的一些性质:移位映射σfoσg是拓扑弱混合(极小的)当且仅当fog是拓扑弱混合的(极小的);如果移位映射σjoσg为等度连续的,那么fog为等度连续的;如果移位映射σfo...     

拓扑动力系统中的强不变集

在拓扑空间中，当f是同胚时，证明了回归点集R（f）、非游荡点集Ω（f）、终于周期点集EP（f）、几乎周期点集AP（f）是强不变集．     

度量G-空间中的几类点集

为了研究G-链等价集、G-链回归点集和G-周期点集在拓扑群作用下度量空间中的拓扑结构,利用等价映射和度量G-空间的一些基本性质,得到了G-链等价点、G-链回归点和G-周期点的一些新的结果,这些结果推广了度量空间中链等价点、链回归点和周期点的结论。     

极小完全Hausdorff空间

本文给出了极小完全Ｈａｕｓｄｏｒｆ空间的一个等价命题,由此得出极小完全Ｈａｕｓｄｏｒｆ空间为ｆ－闭空间,并给出了极小完全Ｈａｕｓｄｏｒｆ空间的映射性质和乘积性质．     

集值离散动力系统的拓扑遍历性、拓扑熵与混沌

设(X,d)为紧致度量空间, f: X→X连续, (K(X),H)是 X所有非空紧致子集构成的紧致度量空间. 通过研究点运动与点集运动的关系, 证明了集值映射拓扑遍历 与f拓扑双重遍历等价并构造一个零拓扑熵且不具有任何混沌性质的紧致系统, 其诱导的集值映射有无穷拓扑熵且分布混沌, 表明集值离散动力系统的拓扑复杂性可以远远大于原系统.     

强跟踪性和强链回归点集的研究

研究了紧致度量空间中强跟踪性和强链回归点集的动力学性质,得到一些结论:(1)若f拓扑共轭于g,则连续映射f具有强跟踪性,当且仅当连续映射g具有强跟踪性;(2)连续映射g的强链回归点集是连续映射f的强链回归点集在拓扑共轭映射h下的像;(3)连续映射f~n的强链回归点集是连续映射f的强链回点集的子集;(4)移位映射σ的强链回归点集是连续映射f在它的强链回归点集上形成的逆极限空间的子集.这些结论推广和改进了目前已有文献中关于强跟踪性和强链回归点的结果.     

附贴空间的度量化

设X与Y是互不相交的拓扑空间,A是X的闭集,f:A→Y是连续映射(以下简称映射),以W表示空间X与Y的拓扑并X∪Y,亦即拓扑空间W中子集G为开集当且仅当G∩X以及G∩Y分别是X及Y的开集.今在W中,将A中点x与Y中点f(x)叠合得到一个W的商空间Z,它就称作籍助映射f:A→Y将X附贴到Y上的附贴空间(adjunction space);更准确些,Z也常常记作X∪_(f,A)Y.空间W至Z的商映射常记作p.易见p在Y上的限制给出了Y至Z的一个(在中)同胚映射,所以不妨把Y看作Z的(闭)子空间。此外,p的限制还给出了自空间X—A至Z—Y的同胚映     

可降映射的一些动力学性质

讨论了可降映射的性质,得到了fi(i=1,2,…,k)为f的下降组(即f为可降映射)的等价条件,并给出一个简洁的证明,也得到了两个可降映射的复合和笛卡尔乘积是可降映射。设f∈0∏ki=1Ii,∏ki=iIi是可降映射,fi(i=1,2,…,k)是f的下降组,证明了:若f有m-周期点,且m n,则fi必有n-周期点,i=1,2,…,k;设m为f的一个周期,则对每个满足m n的正整数n,f有n-周期点当且仅当对每个fi,i=1,2,…,k,存在fi的周期mi,使得正整数t满足mi t时,fi就有t-周期点,其中[m1,m2,…,mk]=m.     

拓扑空间中Devaney混沌的乘积性质

主要讨论在一般的拓扑空间中Devaney混沌映射的乘积映射是否是混沌的.首先我们研究了判定Devaney混沌的条件,得到周期点是稠密的映射的乘积映射是周期点稠密,但拓扑传递的映射的乘积映射不一定是拓扑传递的.然后给出一个反例说明两个混沌映射的乘积映射不一定是混沌的.最后我们又引入了拓扑混合的概念,由此得到混沌映射的乘积映射是混沌的充分条件.     

度量G-空间中G-链等价集的动力学性质

根据链等价集的定义,给出G-链等价集的概念,并将度量空间中链等价集的一些动力学性质推广到度量G-空间中,得到如下结果：1)点x的G-链等价集是闭集.2)点x的G-链等价集对同胚伪等价映射f强不变. 3)伪等价映射f限制在点x的G-链等价集上形成的点x的G-链等价集就是伪等价映射f在度量G-空间X上形成的点x的G-链等价集.     

诱导模糊拓扑空间的映射性质

1975年,M.D.Weiss给出了分明拓扑空间(X.T)的诱导模糊拓扑空间(X.ω(T))的定义。并得到了分明拓扑空间和与之相应的诱导模糊拓扑空间之间关于连续性,紧性和连通性相互关系的几个有趣的性质。例如,映射f:(X.ω(T))→(Y,ω(T~*))是模糊连续的当且仅当f:(X,T)→(Y,T~*)是连续的。本文继续M.D.Weiss在这方面的工作,引入了模糊商映射、模糊紧映射、模糊强完备映射、模糊半闭映射、模糊保紧映射和模糊连通映射诸概念。证明了f:(X,ω(T))→(Y,ω(T~*))是模糊紧映射(相应地,模糊强完备映射,模糊半闭映射或模糊连通映射)当且当仅f(X,T)→(Y,T~*)是紧映射(相应地,强完备映射,半闭映射,连通映射)。如果(Y,T)是T_2空间,则f:(X,ω(T))→(Y,ω(T~*))是模糊保紧映射当且仅当f:(X,T)→(Y,T~*)是保紧映射。