两个有趣的阿冈图

《科学世界》2009年1月号上的“虚数的故事”一文，详细而生动地介绍了人们对于各种各样“数”的认知过程，阐明了数学家为什么要虚构出一种现实世界中并不存在、对于一般人而言极难理解的“虚数”的原委，以及虚数在数学中的重要地位和作用。而复数则把实数和虚数都包括在内，“虚实结合”，开辟了数学的一个新天地。     

算术根

我们知道,正数或负数的偶次方都是正数。例如:(+2)~2=4,(-2)~2=4。所4的平方根有两个,一个是+2,一个是-2。一般地,我们可以证明,在复数域中,an 次方根有 n 个数,而且可以指明:当 n 是奇数而 a 是实数时,a 的 n 次方根中必有一个是实数,且与 a 同号,而其余的根则是虚数;当 n 是偶数,而 a 是实数时,a 的 n 次方根中必有二个是数,它们的绝对值相等而符号相反,而其余的根则是虚数;当 n 是偶数而 a 是负实数时,an 次方根都是虚数。为了用一个记号表示一个确定的值,我们规定“a~(1/n)”只表示正数 a 的正方根,因为     

虚数是什么?(-1)~(1/2)=?

很久以来,人们相信-1是虚数,它是没有平方根的。但是《自然辩证法》中的观点是,-1是应该有平方根的。我们按《自然辩证法》中的观点,找到了“数轴反演”的方法,得到了-1的平方根。     

关于无平方因子数的分布

一个正整数n,如果不能被除1之外的任何完全平方数整除,就称为无平方因子数。文中利用平方筛法研究了无平方因子数的分布,并给出一个较强的渐近公式。     

关于平方三角数及相关定理的证明

研究的对象为既是三角数，又是平方数的“三角平方数”．利用Ferma的无穷下降法证明了平方三角数定理，从而说明了平方三角数存在无穷多个这一事实，并且给出了平方三角数的表示方法．     

好玩的数学——有趣的自守数

在数学中，“同构”是一个十分重要的概念。我们说两个图是同构的，指的是这两个图不仅结点数和边数都一样，而且边和结点的对应关系也完全一样，只是结点布局不同，边的形状有差异而已。从数学上来说，它们可以说是一个图。在数论中，也有类似的同构现象，叫“自同构数”，或叫“自守数”（automorphic humber）。所谓自守数，是这样的数，其平方的尾数是这个数自身。例如     

关于无平方因子数的倒数和问题

如果一个正整数不能被大于1的平方数整除,则称这个正整数为无平方因子数.对于无平方因子数的分布,表示整数为无平方因子数的和等其他问题,现已有了很多深刻的研究.设(a,s)=1.论文研究了,并且给出了它们的渐进公式.     

修辞功能数词的翻译

数词通常是用来表示精确数目与数量的，可在另一方面数词的语义并不表示它字面上的具体的数的概念，它表示的是一个虚数，在语言中起修辞功能，这就是所谓的“修辞功能数词”。本文着重研究和总结了在英汉和汉英翻译中对于修辞功能数词处理的几种方法：（1）直译；（2）直译＋解释；（3）意译；（4）创造性翻译。     

为什么负负得正

本刊今年第1期的特别策划《虚数的故事》受到读者的喜爱。与其他许多讲虚数和复数的书籍和文章不同的是，它中间插了一段有关“负负得正”的论述，并且在复平面上“说明”为什么负负得正。其实不用那么复杂，简单的事可以简单来做。     

推广的四素数方次和问题

用圆法研究了一个整数表为三个素数的平方与一个素数的k次方之和问题,推广了刘建亚关于四素数平方和问题的结论.该文得到例外集E(N)N12-25×4k-1 ε.     

广义Pell数列中的平方类

设t是大于1的整数，U={Uk}k=0是参数为t的广义Pell数列。本文证明了：如果t=2dr^2，(t √t^2 1)^d (t-√t^2 1)^d=4s^2，其中d，r，s是正整数，而且d是无平方因子正奇数，则U恰有一个平方类{Ud，U2d)；否则，U没有平方类。     

虚实之间

说到虚数i=-1,大多数人尽管学了十几年数学,不免还是感到心虚。虚者,不实也。然而在数学中,虚数却是和实数平起平坐的东西,尤其是把实数和虚数加在一起的复数,更是必不可少的研究对象。其实虚数和复数,早在500年前,数学家已经知道它的存在,而在200年前,已经对它有相当的了解,只不过一般人,甚至许多数学教师和数学家对它也未必吃透,因此,围绕着虚数甚至负数,一直有着许多争论和误解。     

无平方因子数倒数和问题的几个估计

无平方因子数是指没有大于1的平方数作为因子.对于平方因子数分布的研究,现在已经有了一些结果.设（a,s）=1,论文研究了形如∑n≤x,n无平方,n≡b（s）1/n和∑n≤x,n无平方,n≡b（s）1nn/n的估计,改进了已有结果的余项.     

分母为平方因子的交错二项式系数级数

根据一个已知级数,使用积分-裂项方法得到分母含1个平方因子的二项式系数级数,以及平方因子与1个,2个,3个因子乘积的交错二项式系数级数.所给出二项式系数级数的和式是函数形式,并给出分母含有平方因子的二项式系数数值级数恒等式.     

好玩的循环小数

“虚数的故事”一文（见本刊2009年第1期）中,在对分数的介绍中,举了3个循环小数的例了,即：     

最终有限循环的数论函数

数组{33，146，51，41，102}和{74，126，175}中前一个数的平方的数码平方和等于相邻的后一个数，最后一个数的平方的数码平方和等于数组的第一个数，对任给的自然数n,f(n）定义为n^2的数码平方，记f1(n)-f(n),fk(n)-f(fk-1(n)),k∈N，N表示自然数集，则一定存在Kn，当K≥kn时,fk(n)∈{1}∪{33，146，51，41，102}≤{74，126，175}，f(n）的这一性质称为最终有限环，本文给出了一个数论函数为最终有限循环的充要条件。     

无平方因子数的上界估计

设k、m、n∈N,对于给定的正整数n∈N,若存在屯使得对任意m∈N,都有m^k n,则称n为无k次幂因子数．特别地,若k=2。则称n为无平方因子数．利用初等方法,研究无平方因子的性质,进一步的获得了第n个无平方因子数的一个上界估计,并给出了参考文献中的一个评注．     

《论语》“九合诸侯”歧解辨正

《论语·宪问篇》“九合诸侯”中“九”字的注解历来众说纷纭，概括古今注家的歧解大致可分为四类：实数说；虚数说；通假说；同源通用说。从文献例证、字形、读音以及古人行文特点诸方面进行分析，虚数说、通假说虽值得肯定但有失偏颇，实数说则明显有失，同源通用说比较合理。“九合”中的“九”和“合”是同义并列关系。     

部分平方图的独立集和1-几乎Hamilton性

借助于部分平方图独立集讨论了图的1-几乎Hamilton性，得到G是1-几乎Hamilton图的一个充分条件．     

从11的平方谈起

一、由若干个1组成数的平方我们通过研究11的平方,可以发现: 11~2=121,即11平方的首尾两个数字是1,中间的数字是2(11的位数); 111~2=12321,即111平方的首尾两个数字都是1,接着从两边起,数字是2,中间的数字是3(111的位数);