可测函数的一些刻画

本文给出了可测函数的一些刻画，证明了定义在可测集E包含R^n上几乎处处有限的函数f（x）在E上可测当且仅当任给δ〉0，存在可测集F包含E，使得m（E-F）〈δ且f（x）是F上可测函数．这一结果对经典的卢津定理的逆定理给出了一个实质性的改进.     

Lebesgue积分中“积分极限”的一个结论

为证明本结论需要引入二个定义及几个引理。定义一:如果{f_N(x)}是定义在可测集合E上几乎处处有限可测函数列,且f(x)是定义在该可测集上的几乎处处有限可测函数,若对于任一正数δ,有:成立,则称函数序列{f_N(x)}度量收款于f(x)。定义二:若M     

可测函数的一个逼近问题

本文给出了几乎处处上半连续的函数族测度逼近几乎处处有限可测函数的一个充要条件,并由此给出几个直接结果。定义设f(x)是〔a,b〕上的可测函数,S是〔a,b〕上的可测函数族,称S测度逼近f(x)是指出任意ε〉0和δ〉0,存在g(x)∈S,满足 mE(|f(x)-g(x)|≥ε)〈δ,其中E(|f(x)-g(x)|≥ε)={x|x∈〔a,b〕,|f(x)-g(x)|≥ε},“m”为集合的测度符号。     

关于Kantorovich型不等式

给出了一种积分形式的Kantorovich型不等式为 :设a,A ,b,B和α均为正数 ,且a   

从R积分到LL积分

1 有界可测集E上有界可测函数的积分 设f(x)为定义于有界可测集E上的有界可测函数,根据Lusin定理,任给δ>0,存在完备集FδE,使得     

单调函数的测度表示

本文的主要结果是证明了对任何非增的右连续函数g(x)总存在某个可测集E上的可测函数f(X)使得m(E(f>x))=g(x)     

关于Kantorovich型不等式

给出了一种积分形式的Kantorovich型不等式为:设a,A,b ,B和α均为正数,且a＜A,b＜B.设E是可测集且μ(E)＜+∞.若p是一个在E上几乎处处为正的可积函数,f和g是在E上几乎处处为正的可测函数,且几乎处处有a≤f≤A,b≤g≤B,则(∫EPfadμPgadμ)/[∫EP(fg)a/2dμ]2≤1/4[(AB/ab)a/4+(ab/AB)a/4]2同时建立了等号成立的条件.     

可测集E[x;f(x)>a]的歧义及处理

探讨可测集E[x ;f(x) >a]存在歧义性 ,给出处理办法 同时证明 :如果f(x)在E上可测 ,并且规定当f(x) =0时 ,1f(x) =+∞ ;当f(x) =±∞时 ,1f(x) =0 ,则 1f(x) 也是E上的可测函数 .     

一类函数构造

本文目的是研究一类函数——几乎处处有有限微商函数的结构,第一部份是作者几年以前完成的,所需用的知识是熟知的实函数论中一些结果,这部份所用概念和结论都可参看文[1]或[2]。第二部份是讨论在群上的情况。§1.定义和引理先引入如下定义定义1.设f(x)是[a,b]上有限函数,若对任何δ>0,存在可测集E_δ?[a,b],m(E_δ)>(b-a)-δ(m表勒贝格测度)并存在常数M_δ,m_δ,使对任何一列互不相交的区间(x′_v,x″_v),v=1,2,…,若其二端点中至少有一点属于E_δ,且|x′_v,-x″_v|相似文献   

关于积分号下取极限的几点注记

积分与极限交换次序,是积分学中的重要问题。具体来说是指下面的两个问题: 若mE< ∞,{φn(x)}是集E上的可积(可测)函数列,且{φn(x)}依某种意义(几乎处处、度量)收敛于φ(x),那么:     

关于叶果洛夫定理和Lebesgue定理的扩展

叶果洛夫定理和Lebesgue定理中共有的条件“fm（m=1,2,…）是E上几乎处处有限的可测函数”可以减弱为“f（m=1,2,…）是E上的可测函数”;“f有限a.e于E”可减弱为“f有限a.e于E或f无限a.e于E”。给出在这种条件减弱的情况下三种收敛的关系。     

鲁金定理的证明及推广

引理1设F1，F2，…，Fn。是n个互不相交的闭集，在上定义函数f（x），其中Ck为常数，则f（x）在F上连续。证若F’=φ，则F的每个点都是孤立点，由连续定义知，f（x）在F上连续。现设任取，任取点列，使且。由F是剧集知，不妨认为，则且于是，中至多只有有限多个点属于并集。设其最大下标为，则当i＞N时，一切，从向有，于是有从而了（X）在x0处连续。由x0的任意性知，f（X）在F上连续。证毕。鲁全定理设f（X）是集E上的几乎处处有限的可测函数，且mE＜＋，则对于任给的e＞0，必有闻集，使得＜e，且f（X）在F上连续。证不妨设f（X）…     

n-维可测函数的本性定理

将一维勒贝格可测集的全密点定义推广到n-维可测集,将一维空间的函数间断度概念、相对间断度概念推广到n-维空间;根据全密点定义,利用n-维维他利覆盖定理与鲁金定理直接证明`n-维勒贝格可测集几乎所有的点都是全密点;由函数间断度与相对间断度概念得到n-维勒贝格可测函数与一个几乎处处连续的函数几乎处处相等的结论.     

积分控制收敛定理的推广

本文目的是推广积分控制收敛定理(见〔1〕177,页),所用符号均取自〔1〕。定理设E 是完全测度空间(X,R,μ)上的μ—可测集,且是σ—有限的。设{h_n},{f_n)},{g_n},h,g 均是E 上实值η—可积函数,且满足下列条件:     

一个广义矩问题的注记

设L[a,b]表示有限区间[a,b]上可积函数的全体,{f_n(x)}为定义在[a,b]上的一个函数列。若对任意的g(x)∈L[a,b],只要integral from n=a to b f_n(x)g(x)=0,n=1,2,3,……就有g(x)在[a,b]上几乎处处为零,则称{f_n(x)}在[a,b]上是完全的。著名的Müntz—Sz'asz定理指出:幂函数列{x~(n_p)}在[a,b]上完全的充分必要条件是sum from p=1 to ∞ 1/n_p=+∞。其中a≥0,0相似文献   

K值函数空间上诱导乘法算子的范数

设K是一个给定的复数域上可分希尔伯特空间,μ是单位圆周C上正规化的勒贝格测度。从C到K中的函数f(z)称为是可测的,有如下两种定义: 定义1 f(z):C→K称为是弱可测的,如果对于每一个固定的x∈K,复值函数(f(z),x)都是勒贝格可测的(其中(·,·)表示K中的内积)。 定义2 f(z):C→K称为是强可测的,如果f(z)是简单K值函数列的—a.e强极限。这里C上某个简单K值函数f_n(z)是指可把C分为有限的若干个两两不交可测子集,在每个这样的可测子集上f(z)取K的某一定常值。 以上两种定义均见于[2]。     

叶果洛夫定理的一个新证明

介绍了叶果洛夫定理的一个新证明,所得的主要结果是：刻划几乎处处收敛的可测函数列的引理、,刻划几乎一致收敛的可测函数列的引理２,定理１（叶果洛夫定理）和定理２（叶果洛夫定理之逆）。     

可测函数列的几种收敛性之间的关系

较系统地讨论和总结了可测函数列的一致收敛、近一致收敛、依测度收敛、处处收敛、几乎处处收敛之间的关系.     

可测函数列的几种收敛性之间的关系

较系统地讨论和总结了可测函数列的一致收敛、近一致收敛、依测度收敛、处处收敛、几乎处处收敛之间的关系.     

可测集定义的一个附注

测度论中的可测集的定义通常由Caratheodory条件给出．本文在有限可测空间上简化Caratheodory条件，给出可测集的一个新定义，并证明两个定义是等价的．