关于“微分”概念的教学

本文拟从教学法方面,谈谈有关一元函数微分的基础知识。属于学术讨论的问题,这里就不涉及了。在微积分发展的历史上,微分曾经是一个非常重要的概念。但到如今,它的地位已被另一个更便于研究的概念——导数——代替了。从教学的角度来看,学生只要掌握好导数的概念和算法,再学习微分的概念,是一件比较容易的事情。因此,微分概念不应该被当作教学中的难点了。但是,我们不得不指出,微分概念的处理,却是教学中的一个较大的疑点。不少学生感到这个概念疑惑含糊、捉摸不定;甚至有人说微分是一个只可会意、不可言传的东西。造成     

关于量子力学的数学特征——学习马克思《数学手稿》的体会

一、引言最近围绕学习马克思《数学手稿》而展开的许多讨论文章中,往往把微分这一概念作为讨论的中心,我们感到有商榷的必要。按我们的理解,马克思对变量计算的论证有严格的程序: 预备导数—→导函数—→微分系数—→微分—→积分(1.1) 导函数现在通称为导数,微分系数也就是微商。微分是从微商导出的,它们直接构成一对矛盾。只有在dy=(dy/dx)dx的形式中,我们才能认识dy或dx。这是因为,任何一个事物,都只有在相对于其它事物的运动变化中才能被认识,离开了它的对立物,势必成为神秘而不可理解的东西。不过在上面各环节中,首先使我们感兴趣的是导数和微商这一对矛盾,马克思在手稿中反复讨论了它们之间的联系和区别问题,在求微分系数的一     

用运动的矛盾观点认识微分

微分——这是高等数学基本概念之一。微分与积分是一对矛盾,正象数学中加法与减法是对立统一一样,微分运算与积分运算是高等数学的两种互逆的运算。把微分的基本计算公式反过来,就得出积分的基本计算公式。所以,微分法是整个高等数学计算方法的基础,而正确认识微分概念是正确认识微积分学的重要问题。正因为这样,微分概念一出现就引起人们极大的注意,一直到现在还是数学工作者争论的重要问题之一。对于微分这个概念,资产阶级的学者们曾作过种种的解释,由于他们的形而上学宇宙观的束缚,他们不但不能正确认识它的本质,相反却把它搞得神秘莫测。到了十九世纪末,马克思和恩格斯把唯物辩证法运用于高等数学,对导数和微分概念及其本质作出正确的、精辟的分析,才彻底清除了微分概念的神秘性和思想     

两种微分法的区别

求导函数的运算叫做微分法,这是高等数学的一个很重要的内容。怎样认识微分的过程?有许多不同的看法,但说到底只有两种。一种是形而上学的微分法,以十九世纪法国数学家哥西为代表,他被看成是“近代意义下真正的微积分的奠基者”。另一种看法是由马克思所建立的,马克思在《数学手稿》中分析、批判了种种错误观点,对微分过程作了精辟论述,揭示了微分学的本质。马克思才是微分学的真正奠基者。两种微分法的区别反映了两种世界观的对立,曾经被颠倒的历史,在今天必须再颠倒过来。联系这个问题淡谈我们学习《数学手稿》的体会。     

一元函数微分法的注记

本文给出了一元函数微分学中一个求导运算法则。此法则是用多元函数微分的方法来运算一元函数的导数,并从理论上给出了严格的证明。这样,便把一元函数与多元函数的微分法统一了起来。利用此法则运算某些函数的导数也起到了简化作用。     

微分单项式的值分布

把函数和它的导数结合起来进行研究是值分布论中一个十分有趣和重要的研究课题.采用Nevanlinna方法,研究了涉及超越亚纯函数微分单项式的值分布论问题,证明了两个重要不等式, 所得结果改进了K.Yu, I.Lahiri和S.Dewan等人的有关定理.     

浅谈微分几何

微分几何作为几何学的一个分支越来越受到数学家、物理学家的重视,它的应用也已经渗透到各个学科中,但微分几何作为一门独立的学科了解它的人却不是很多。本文以通俗易懂的语言将微分几何的发展、研究内容、应用介绍给非此专业的读者,使他们对微分几何有个初步的认识。     

微分是“无限小”

微分是高等数学的基本概念.怎样认识微分?几百年来,一直是人们争论不休的问题.马克思《数学手稿》中文译本在我国公开发表以后,广大工农兵和数学工作者,围绕着这个问题,展开了热烈的讨论.大家都力图按照马克思主义的观点,给以正确的回答.本文准备联系当前数学界对微分的不同看法,谈谈自己的意见.     

也谈谈什么是微分的本质

微分的本质是扬弃了的差或消失了的差马克思在他的《数学手稿》中精辟、正确地指出了:微分是“扬弃了的或消失了的差”,这就是微分的本质。同时,马克思还直截了当地写上了微分dx=0和dy=0,这个问题也是我们在认识微分的本质的过程中,值得很好思考的。马克思曾经在致恩格斯的信中谈到微分演算的历史发展过程时说:“这种方法始于牛顿和莱布尼茨的神秘方法,继之以达兰贝尔和欧勒的唯理论的方法,终于拉格郎日的严格的代数方法(但始终是从牛顿-莱布尼茨的原始的基本原理出发的)”(《马克思恩格斯全集》)。     

浅谈微分中值定理及其应用

微分学中值定理是微分学最重要的定理之一,又称拉格朗日中值定理,它是沟通函数与其导函数的桥梁.是应用导数局部性研究函数整体性的重要工具.利用它可以巧妙地解决一些问题.所以本文给出微分中值定理的具体内容,微分中值定理的应用很广泛,本文举一些简单的例子谈谈微分中值定理及其应用.     

分数阶微分代数方程的广义微分变换法(英文)

用广义微分变换法(GDTM)求解了带Caupto时间分式导数的微分代数方程.展示的GDTM是基于广义泰勒公式,重构微分方程多项式形式解析解的数值方法.一些实例显示了用GDTM求解分数阶微分代数方程的有效性.     

微分中值定理证明研究

在学习了导数之后,要想运用导数这一概念去分析和解决更复杂的问题,只知道怎样计算导数还是不够的,还需要掌握微分中值定理,它是微分应用的桥梁,对微分中值定理有必要进行更深入的研究.微分中值定理包括三个定理:[1]罗尔(Rolle)定理:假设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(b)=f(a),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 f’(ξ)=0.[2]拉格朗日(Lagrange)定理:假设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可     

第五讲 微分(上)

微分是微积分的基本概念之一,它在微积分的理论和实际应用中有着十分重要的作用。在《手稿》关于微分这一部分中,马克思阐明了下列的基本思想:第一,用唯物辩证法科学地揭示微分概念的本质,指出微分概念和其它事物一样也有二重性。作为一个数学量,     

数值微分问题正则化解的局部性质

数据微分问题是一个典型的不适定问题.讨论关于不连续函数的数值微分问题,证明其正则化解的二阶导数的范数会出现趋向无穷的现象,并且证明这种趋向无穷的现象发生在不连续点附近.这种现象可以用来识别不连续点的位置.     

浅谈“导数、微分”教学的几点体会

本文对导数、微分概念和复合函数的导数的教学方法进行了探讨,说明了导数、微分是现代化生产中不可缺少的数学工具。     

论零是微分的本质

马克思在《数学手稿》中从变数的自身变化中,辩证地揭示了微分的本质,是“被扬弃了的或消失了的差”,“因而是严格数学意义上的x_1-X=0”(《数学手稿》第3页,第5页)。然而,正是这个“零”,尽管它在字面上导致无,但在微分运算时,尤其是在积分过程之后却又可以获得实际结果。这样,岂不是“无中生有”吗?因此,为了解决这一矛盾,似乎非视微分为“非零”不可,即作为微分过程的结果是零,而作为积分运算的对象又是非零。概言之,微分就成了“零与非零的对立统一”。究竟应该怎样认识这个“零”呢?难道说“零”本身就不存在矛盾吗?否则又为什么不能让它本身直接参与积分运算呢? 本文准备就上述问题,谈谈自己的看法。     

时间-空间双边分数阶扩散方程微分阶数的反演

研究了一维时间-空间双边分数阶扩散方程的求解与微分阶数的数值反演问题.基于Caputo意义下时间分数阶导数和Grünward-Letnikov意义下空间双边分数阶导数的离散,给出了一个有限差分求解格式,证明了其稳定性和收敛性.分别基于终值数据及区域中点处的观测值作为附加数据,应用同伦正则化算法对微分阶数进行数值反演.反演结果表明同伦正则化算法对于分数阶扩散方程的微分阶数反演是有效的.     

二阶数值微分的积分方程方法

考虑一个由函数的测量数据求解其二阶导数的数值微分问题。这是一个经典的不适定问题,测量数据的微小扰动将引起其导数的急剧变化。将该问题表示为第一类的积分方程,并引入Lavrentiev正则化方法对其进行求解,获得了二阶数值微分的稳定化算法。另外,基于积分方程算子的性质,进一步给出了正则化解的收敛性以及正则化参数的选取策略。     

第三部份 微分法

在这一部分的内容中,我们要讨论通常的函数在模糊点的微分法和模糊值函数在非模糊点的微分法。在这两种情况下,微分法的概念被我们进行了推广,并且还提出了线性性问题在第二种情况,提出了一种适用于计算的一种方法,从应用的角度看,对映射的理解是模糊的,这种思想是这方面工作的先导。1.引言类似于在第一部分和第二部分中专门对积分法的讨论,本文将提出具有模糊特色的微分法。就是说,我们首先要讨论一个非模糊的可微的实值实基映射在一个模糊点的微分法(即这个点的位置是不精确的,它的状态呈受某种模糊约束)。然后,再讨论模糊值实基映射在通常点的微分法。在这两种情况一般都能产生模糊值导数。在实用方面,对于映射的理解可以是模糊的。因此,在可能的情况下,我们用分析的     

多边矩阵微分

许宝騄先生提出矩阵微分工具,是为了寻找矩阵变换的 Jacobi 式.本文企图用此技术来求多变量的高阶导数.