关于r因子数分布情况的初步探讨

每一本数论书对素数分布情况无不加以介绍。我们说素数实质上是单因子之数。一个数如果有仅只有r个素因子(可以重复),我们称它为r因子之数。当r=1时,就是素数,当r=2时,就是双因子数。关于x因子数的分布情况,本人觉得与素数分布情况相类似,因此,本文试图作某些方面的初步探讨。 我们用P_r表示r因子数,用∏_r(x)表示不超过X的所有r因子数的个数。     

关于阶是七个素数乘积的单群

在这篇文章中,我们得到了下列结果: 设G是一个单群,其阶g是七个素数的乘积,则 i) g不能写成下列的形状:2~2·p~3·q~2,2~2·p~4·q,2~2·p~2·q~2·r,2~3·p.3·q,2~3·p~2q~2,2~5·p·q,此处p·q·r表示不同的素数; ii) 若g=2~2·p~3-q·r,其中,p·q·r表示不同的素数,则G同构于下列三个单群之一:PSL(2,27),PSL(2,53)PSL(2,107); iii) 若g=2~3p~2gr,p·q·r表不同的素数,则G同构于A_7,PSL(2,25)或PSL(2,73); iV) 若g=2~4p~2q,p·q表示不同的素数,则G(?)PSL(2,17) u) 若g=2~4pq~r,p·q·~r表示不同的素数,则G(?)PSL(2,16)或PSL(2,47) ui) 若g=2~·p~2q·rs, q=2~2pqrst,或q=2~3pqrs,则G同构于PSL(2,s),其中s是除尽阶g的最大的素数。     

关于σ(n)和φ(n)的一个整除式

设φ(n)表示n的欧拉函数,σ(n)表示n的所有正因子和,ω(n)表示n的不同素因子的个数.对于整除关系φ(n)|σ(n),其中n是正整数,当n为素数时只对n=2,3成立.讨论了当n至多有3个不同的素因子时,n为哪些合数时才能使该整除式成立,其中解2α(2α 2-1)(其中2α 2-1为素数,α∈N)与偶完全数2n-1(2n-1)(其中2n-1为素数且n∈N)类似.     

顺酐均相加氢制备琥珀酸酐的反应动力学研究

对顺酐 (MA)均相加氢生成琥珀酸酐的反应动力学进行了研究 .结果表明 :当催化剂 Ru Cl3· 3H2 O浓度小于 1.2 5× 10 - 2 mol/L ,n(PPh3) /n(Ru) =6 ,MA浓度小于 3.12 5 mol/L和反应氢压小于 1.17MPa时 ,反应速率方程可表示为 :R0 =k1 · c(Ru)· c(MA )· p H2 ;当反应氢压 p H2 大于 1.71MPa时 ,反应速率方程可表示为 :R0 =k2 · c(Ru)· c(MA) .顺酐加氢生成琥珀酸酐的活化能 Ea 为 6 8.5 k J· m ol- 1 ,指前因子 A为4 .6 84× 10 1 0 L· m ol- 1 · h- 1 ,活化焓ΔH≠ 为 6 2 .5 k J· mol- 1 及活化熵Δ S≠ 为 - 5 8.2 J· m ol- 1 · K- 1 .     

一类恒等函数问题的研究

设f:N→R+∪{0},g:N→C是完全积性函数,若f(p+1)=g(p)+1和f(p~2+q~3)=g(p~2)+g(q~3)对所有素数p,q均成立,则对所有素数p,q,π,f(p+1)=f(p~2+q~3)=0,g(π)=-1,或者对所有正整数n,f(n)=g(n)=n.     

试论二十四（节）气与太阳黄经值的对应关系

二十四（节）气在黄道上的位置若用太阳黄经值来表示，并不是π=15°×n,(n1,2,…，12），而是π=359°59′9′·71/24×n=14°59′59′×n(n=1,2,…，12）     

丢番图方程a2+Db2=c2本原解组数的渐近阶(I)

设 x为给定的正实数 ,D是给定的正整数且无平方因子 ,用 G( D,x)表示丢番图方程 a2 Db2 =c2满足条件 a >0 ,b>0 ,c>0 ,( a,b) =1且 c≤ x的所有整数解 ( a,b,c)的组数 .在此考虑 D =p和 D =2 p(其中 p为奇素数 )的情形 ,得到了下面两个渐近估计式 G( p,x) =2 p( p 1 )πx O x12 logx 和 G( 2 p,x) =2 p( p 1 )πx O x12 logx .     

泛辛示性式的超渡式和积分公式

在吴光磊《示性式的超渡》中,给出了陈氏示性式的超渡式和积分公式。本文应用该文中的主要方法和结果,首先定义了四元数Grassmann空间的泛辛示性式Q_r,再在US_p(n)一主丛π_1:Q_(n+m,n)→G_(n+m,n)~Q的相配丛π_3:Q_(n+m,n)~(r-1)→G_(n+m,n)~Q上导出Q_r的超渡式τ_r=i_3~*·h_2~*τ_(2r)。最后得到泛辛示性类的积分公式。     

谈π(x)与ζ(s)

自从1896年Hadmard与de la Valleé Poussin证明了素数定理 π(x)～x/logx (x→∞)(式中π(x)表示不超过x的素数个数)以后,已经有不少的数学家对于π(x)作过更进一步的研究。他们的结果大致都可以纳入下列形式:     

Bπ′-特征标的单项性

设G为一个有限π-可分群,其中π为一个素数集合(其中2∈π)。在这篇文章中,我们证明了:设χ∈Bπ′(G),χ对应的表示为T且T是由n-维G-空间V产生的G的不可约表示,则T是单项的当且仅当V有基{v1,v2,…,vn},使得vix=αi(x)vσx(i),i=1,2,…,n,x∈G,其中x→σx为同态,而σx是{1,2,…,n}的置换,且αi(x)≠0是复数。     

几类图的同构因子分解

本文解决了以下几类图的同构因子分解问题:1.G=C_n×P_s,n为偶数,k为C_n每点的度数,ks+2s-2为素数;2.G=C_n×P_s,其中j_rn/2,s为偶数,rs+s-1为素数;3.G=C_n×C_s,其中n为偶数,2r+1为素数。     

小区间上素数变数的线性方程组

设P为充分大的正整数,矩阵(aij)n×(2n 1)的所有n级子式全不为0,且在这些n级子式间没有1以外的公因子,b1,…,bn为n个整数,U=P2/3log6n 660P.则素数变数的线性方程组2n 1∑v=1auvpv=bu(u=1,…,n)在小区间P＜pv≤P U(v=1,…,2n 1)上有素数解,并给出了其素数解的个数的渐近公式.     

猜想σ((n))/n≥1/2

本文证明了当k≤7,a1 >a2 > >ak>1,且ai+1 (i=1,2, ,k)是素数时,σ ∏ki=1ai ≥∏ki =1(ai+1 )成立,进而证明了当n素因子个数不超过 7时,猜想σ( (n))/n≥1/2成立     

关于丢番图方程x3+p3n=Dy2

设D是大于 2且不含σk +1之形素因数的无平方因子正整数 ,p是适合p D的素数。本文证明了 :当p>3且p ± 1(mod 12 )时 ,如果D有素因数q适合q≡ 1(mod 4) ,则方程x3 +p3n =Dy2 没有适合gcd(x ,y) =1的正整数解 (x,y ,n)。     

一类奇完全数相异素因子的个数

关于奇完全数的存在性问题是一个著名的数论难题,迄今远未解决.在奇完全数存在的条件下,研究了一类2重奇完全数相异素因子个数的下界,利用解析的方法,给出了结论:若n=p1β1p2β2...psβs是奇完全数,其中p1,p2,…,ps是相异的奇素数, β1,β2,…,βs∈N,(3,n)=(5,n)=1,则ω(n)≥17,其中ω(n)表示为奇完全数n相异素因子的个数.     

Chowla—Cowles关于Apery数的一个猜想的推广与证明

______~“__‘___、,_二。、‘二、内二‘_一___、启1___止‘~19了辉侄赫小争易们井阴‘与1v1公议上,八p亡ry亘巾J‘(3)二乙了是尤埋数。均一1他在证明中引入了Ap盯y数a。(:~0,l,又,“·),满足递归式a。一注,a:=5 n“a,一(34n3一szn+27n一5)a:一,+(n一1)“a。一:=o,可以证明 ”一乏(又)’(”若‘)2,人一0这里(又)一,/“,(一‘,,·Chowla一Cowles‘”讨论了Ap盯y数的同余性质,业提出了四个猜想:(i)夕:。二1(mods),aZ:一:三5(mods);(11)a:。兰1(mod3),a:。十x三2(mod3); (111)当P)5且P是素数时,a,二5(modP“); (iv)当P是奇素数时,a。三。(…     

БЕРНШТЕИН第一求和算子的逼近阶的估计

对于БЕРНшТЕИН[1]提出的逼近连续周期函数的求和算子Un(f;x)=1/(2n+1) sum from k=0 to 2n f(x_k)〔sin2/2(x-x_k)/sin(x-x_k)/2 〕~2,HATAHCOH[2]证明了它的收敛性.至于误差估计,本文得到:1)若f∈C2π,则|Un(f;x)-f(x)|≤(5+3/2π)ω(f,lnn/n)(n≥3),2)若f∈C2π且f∈Lipiα(0<π<1),则|Un(f;x)-f(x)|≤〔7/4+3/(1-α)〕(2π/2n+1)~α,3)若f∈C2π且f∈Lipil,|Un(f;x)-f(x)|≤15·ln(2n+1)/2n+1。     

费尔玛猜想

法国数学家费尔玛曾经猜想:凡用2~(2~n)+1表达的数皆为素数。并且验证了:当n=1,2,3,4,时,这个猜想是正确的。因此费尔玛便建议英国的数学家们去证明这个猜想的结论。但后来,殴拉发现当 n=5时 2~(2~5) +1表示的数不是素数,而是一个合数,因为它是可以用641整除。那么,为什么2~(2~5) +1能被641整除呢?我们没有见到殴拉的证     

丢番图方程a2+Db2=c2本原解组数的渐近阶(Ⅱ)

设x为给定的正实数,D是给定的正整数且无平方因子,用G(D,x)表示丢番图方程a2 Db2=c2满足条件a>0,b>0,c>0,(a,b)=1且c≤x的所有整数解(a,b,c)的组数.在此考虑D=P和D=2P(其中P=p1p2…pk为互异的奇素数的乘积)的情形,得到渐近估计式G(P,x)=d(P)Pσ(P)πx Ox12logx和G(2P,x)=d(P)2P2σ(P)πx Ox12logx.     

关于丢番图方程p~2-2q~2=-1

Berger在关于有限群的工作中提出了丢番图方程p~m-2q~n=±,p.q素数,m>1,n>1.(1)Grescenzo在1975年对此进行了研究。并问:是否存在无穷多对素数(p.q)适合p~2-2q~2=±1,p.q素数 (2)对于方程p~2-2q~2=1.模4立刻得到该方程有唯一素数解p=3.q=2。困难的是丢番图方程p~2-2q~2=-1,p.q素数 (3)对于方程(3),目前还没有什么结果。本文通过研究pell数的性质,得到一糸列(2)有解的必要条件