关于完全非酉压缩算子的函数模型

1.设■是希尔伯特空间,T是由■到■中的线性有界算子。又设T是压缩的,即||T||≤1。近年来,B.Sz-Nazy等人系统地研究了T的酉扩张(dilatation unitaire),经过较长的准备工作,他们给出了当T是完全非酉算子(定义见§2)时的函数模型。即是说,通过一个酉算子V把■映照成函数空间■,而使得VT~*V~(-V)成为■中的推移算子(见[4]或本文的§3中定理)。但他们未给出V的具体形式。我们在这篇短文中,完全避免T的酉扩张而是用较直接,较简单的方法给出V的形式,这也就给出函数模型的另一证明,为了阅读方便起见,本文中的陈述不依赖于B.SZ-Nagy等人论文中的知识。我们先叙述一些概念和预备知识。     

拟正常算子的拟相似与酉等价

本文讨论两个拟正常算子的拟相似与酉等价之间的关系。§2的定理3推广了T.B.Hoover[3]中关于两个拟相似的等距算子必酉等价的结果。在§3中,我们证明了具有循环元的拟正常算子拟相似时必定酉等价。     

一类亚正常算子——完全亚正常算子

在[1]中,夏道行教授研究了φ-拟亚正常算子,这儿φ是所谓标函数,即是[0,∞)到[0,∞)上的严格单调增加的连续函数。而T是Kilbert空间H上有界线性算子,它有极分解T=UP,我们总设U是酉算于,P≥0,当它满足     

关于Π_k空间上的自共轭算子

本文是[1]的继续.[1]给出了不定尺度空间上酉算子的谱半径及Π_k上酉算子的一般形式.这里将利用这个形式,给出Π_k上自共轭算子的一般形式,并证明Π_k上自共轭算子谱系存在(这是[2]给出的)及谱系中投影算子的形式(这是[2]所没有的),从而对临界点有较清楚的了解,为进一步开展临界点结构的研究提供了重要的基础.     

Cowen-Douglas算子的一些注记

取定Cowen-Douglas算子T∈_n(Ω), 给出了其对应的复解析丛E_T的一类特殊截面, 进而引入Cowen-Douglas算子一类新的更易计算的酉不变量［Φ］. 在n≥2的情形, ［Φ］是n×n的复光滑函数值矩阵Φ(T)的对合等价类, 特别地, 在B₁(Ω)的情形, 其为实值函数. 在此基础上, 给出一类 Cowen-Douglas算子的分解惟一性. 证明了当一个Cowen-Douglas算子T满足D［Φ］>n²-2n+2时, T是Hilbert不可约的.     

关于最小交换J酉扩张

自从 Halmos 构造了压缩算子的酉扩张后,关于压缩算子与压缩算子半群的酉扩张已有了一系列的研究工作,后来又有人把这些结果推广到一般的线性有界算子及算子半群的 J 酉扩张,见[1]～[3].近年来,严绍宗进一步讨论了压缩算子半群的酉扩张,并给出了算子酉扩张和 J 酉扩张的一般形式.     

亚正常算子及半亚正常算子的函数变换

文献[1]、[2]、[6]讨论了亚正常算子T=H+iJ及半亚正常算子T=UP的函数变换τ_(φ2,φ3)在什么条件下下述(1)～(4)式成立     

B(H)上保持部分等距的可加映射

设B(H)是维数不小于3的复Hilbert空间H上的有界线性算子全体组成的代数。刻画了在部分等距集合上双边保持偏序和正交性的双射,并回答了Molna'r在2002年提出的一个问题。作为应用,证明了B(H)上的可加满射φ双边保持部分等距的充分必要条件为,存在H上的两个酉算子或共轭酉算子U、V使得X∈B(H)都有下列之一成立:(1)φ(X)=UXV;(2)φ(X)=UX*V。     

空间Lp(Γ,∑,μ)(1＜p＜∞)和Banach空间E的单位球面之间等距算子的延拓

文章得到以下结果(它改进了文献[16][18]中的一些结果):设E是一个赋范空间,V0是单位球面S(Lp(Γ,∑,μ))到单位球面S(E)内的等距映射.如果V0满足下列两个条件:(i)对于任意的自然数n,实数εk∈[-1,1]及xAk∈x(Γ),1≤k≤n,有‖n∑k=1ξkμ(At)1/pV0[xAt/μ(Ai)1/p]‖p=n∑k=1│ξk│pμ(Ai),(ii)对于任意的f1,f2∈S(Lp(Γ,∑,μ))和实数ξ1,ξ2∈[-1,1],有‖ξ1 V0(f1)+ξ2V0(f2)‖=1(→)│ξ1V0(f1)+ξ2V0(f2)∈V0[S(Lp(Γ,∑,μ)],那么V0可延拓为全空间Lp(Γ,∑,μ)上的等距线性算子.     

关于算子的酉扩张

1950年,Halm。。证明[l1了对Hilbert空间Ho上任何一个压缩算子T,一定存在H0的扩大了的Hilbert空间H,以及H上的酉算子U,使得T=尸Ul二.,其中P是H到H0的投影.Halmos取H=Ho①H0,而U是汀一二了,T(I一T*T)‘一“\(I一T*T)蛋一T;(1)这是他直接作出的少的酉扩张.这种酉扩张已被应用于滤波理论.5:一Nagy后来将且al‘0S结果推广成下面形式〔吕“:望“=p叱}瓮,“=o,l,2,…(2)这样,对性质良好的函数f,f(T)二刀(巩).从而在此基础上建立Hilbert空间上的一种调和分析理论.这种理论引入了重要的“特征函数”概念,它与(1)中几或(2)中巩形式密切…     

Bergman空间上等距的复合算子乘积

考虑Bergman空间上的复合算子Cφ和Cψ,利用Bergman空间上等距的复合算子的性质,给出了算子乘积CφC*ψ和C*ψCφ成为Bergman空间上的等距算子、酉算子的充要条件,同时证明了CφC*ψ是等距的当且仅当它是酉算子,而且还等价于φ和ψ都是单位圆盘到单位圆盘的旋转映射.     

量子计算中旋转算子的相关性质

讨论了一些特殊量子门和旋转算子的关系。研究了T门和Hadamard门与Bloch球上的关于坐标轴的旋转算子之间的关系;得到了Hadamard门和相位门与一般旋转算子的关系;给出了任意单量子比特上酉算子关于旋转算子的一个分解形式,并给出了Hadamard门的一个漂亮的分解形式。     

关于(BC)中的乘法算子

本文求出B(C)中乘法算子的一些超不变闭子空间,确定出一类乘法算子的不变闭子空间的结构。并且再次得到了关于V.I.Lomonosov定理[2]中条件不是必要的结论。定义设g∈C[0,1] T:C[0,1]→C[0,1]如下: (Tf)(t)=g(f)f(t),0≤t≤1;此时显然有T∈B(C),我们称T为具有乘法函数g的乘法算子,其全体记作M。     

多重紧周期框架存在的充分条件

研究多重紧周期框架的存在性问题.在平方可积周期函数空间L2[－π,π]中定义了平移算子Sk(τ),根据周期加细函数和周期复数序列构造周期仿射函数.利用酉扩张原理、时频分析方法和框架多分辨分析,给出了多重紧周期框架存在的充分条件,借助于酉扩张原理构造出紧框架,并且得到短支撑紧周期的框架.     

Π_k空间上自共轭算子的二次交换子及广义谱分解

文[1]、[2]讨论了■_k空间上自共轭算子的三角模型、谱分解和算子演算,本文继续讨论与这类算子的谱分解有关的一些问题.在§1中,我们研究■_1空间上自共轭算子代数的二次交换子;§2讨论自共轭算子的广义谱分解.     

关于算子方程SXT=X的提升问题

设T是Hilbert空间上压缩算子.根据[1],我们用U_ 表示T在上的最小等距扩张.这里■=(U_ -T)■,而且P_ 表示R_ 到上的正交投影.事实上,我们有关于这方面的详细讨论可见[1].在[1]中,对Hilbert空间和■′上压缩算子T和T′及对应的算子方程     

Π空间上的酉算子(Ⅰ)

在对∏_K空间(Pontrjagin空间)算子的研究中,已有的一个基本结果是:对任何∏_K上酉(或自共轭)算子必有K维非正不变子空间。[2]对于∏空间(Krien空间)的自共轭算子A,在假设是正则分解、P_-AP_+是全连续算子时,证明了A有极大非正不变子空间。但[2]中没给出不变子空间的形式,这对进一步的讨论(例如讨论A的谱或结构)是远不够的。本文我们将讨论∏上的酉算子,在不同于[2]的全连续的另外一种假设下,不仅证明极大非正不变子空间的存在,给出了不变子空间的形式,并且利用     

交换子在Hardy空间和Herz型Hardy空间上的有界性

设[b,T]表示由Lipschitz函数b∈Lipβ(Rn)与满足一定光滑条件的带θ型核的线性算子T生成的交换子,本文研究这类算子在Hardy空间和Herz型Hardy空间上的有界性问题.利用Hardy空间和Herz型Hardy空间的原子分解,证明了当nn+β相似文献   

两个不等式间关系的进一步推广

设H是一个Hilbert空间,一个大写字母T表示H上的有界线性算子．T是一个有界线性算子,若对任意x∈H,有（Tx,x）≥0,称丁为正的,记为T≥0;若T≥0且T可逆,称T为是严格正的,记为T〉0．设H1,H2是复Hilbert空间,U是H1→H2上的线性变换,若对于任意的f∈（N（U））^⊥（其中N（U）表示U的核）,有｜｜Uf｜｜=｜｜f｜｜,则称U是一个部分等距．对任意的有界线性算子T,记T^＊是T的共轭算子．称T=U｜T｜为其极分解,其中｜T｜=（T^＊T、）^1/2,称作T的绝对值,U是一个部分等距,满足N（U）=N（T）．     

压缩算子与等距算子的拟相似

本文给出了压缩算子与酉算子（非酉等距算子）拟相似有相同本质谱的充要条件，并且证明了亚正常算子与等距算子如果稠相似必有相同的本质谱。