关于丢番图方程ax~2 by~2 cz~2=dw~2的整数解

当丢番图方程ax2 by2 cz2 =dw2 有整数解x0 ,y0 ,z0 ,w0 (w0 ≠ 1) ,(x0 ,y0 ,z0 ,w0 ) =1时 ,给出了它满足 (x ,y ,z,w) =1的全部整数解的公式 :x =(an2 bm2 cp2 )x0 - 2n(anx0 bmy0 cpz0 )t ,　y =(an2 bm2 cp2 )y0 - 2m(anx0 bmy0 cpz0 )t ,z =(an2 bm2 cp2 )z0 - 2p(anx0 bmy0 cpz0 )t ,　w =(an2 bm2 cp2 )w0t .     

关于Euler一致型方程x2-D1y2=2s2和x2-D2y2=-2t2

设D1,D2是无平方因子正奇数.证明了:当D2 ±1(mod 8)或D2 1,3(mod 8),则方程组x2-D1y2=2s2和x2-D2y2=-2t2没有本原整数解(x,y,s,t).     

关于Euler一致型方程x2-D1y2=2s2和x2-D2y2=-2t2

设D1,D2是无平方因子正整数.该文给出了方程组x2-D1y2=2s2和x2-D2y2=-2t2有本原整数解(x,y,s,t)的必要条件.     

关于Diophantine方程kx~4-(2k+4)x~2y~2+ky~4=-4

利用Pell方程及同余的性质给出了Diophantine方程G:kx4-(2k+4)x2y2+ky4=-4仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1)的充分条件。证明了:1)若k≠12(mod 16),则Diophantine方程G仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1);2)若k=4m,m≡3(mod4),且2︱s或s≡0(mod 4),t≡3,5(mod 8)或s≡2(mod 4),t≡1,7(mod 8),则Diophantine方程G仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1),这里s+t m1/2是Pell方程x2-my2=1的基本解。     

关于丢番图方程ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz=gw2的整数解

当丢番图方程ax^2＋by^2＋cz^2＋dxy＋exz＋fyz=gw^2有整数解x0,y0,z0,ω0（ω0≠0）,（x0,y0,z0, ω0）=1时给出它满足（x,y,z,ω）=1,ω≠0的全部整数解的公式：{x=ηx-ξm/t,y=ηy0-ξn/t,z=ηz0-ξp/t,ω=ηω0/t其中η=am^2＋bn^2＋cp^2＋dmn＋emp＋fnp,ξ=2（ax0m＋by0n＋cz0p）＋d（nx0＋my0）＋e（px0＋mz0）＋f（py0＋nz0）,（m,n,p）=l并利用所得结果证明几个推论．     

关于丢番图方程ax2+by2+cz2=dw2的整数解

当丢番图方程αx^2 by^2 cz^2=dω^2有整数解x0,y0,z0,ω0(ω0≠1），（x0,y0,z0,ω0）＝1时，给出了它满足（x,y,x,ω）＝1的全部整数解的公式：｛x=(αn^2 bm^2 cp^2)x0-2n(αnx0 bmy0 cpz0)/t,y=(αn^2 bm^2 cp^2)y0-2m(αnx0 bmy0 cpz0)/t,z=(αn^2 bm^2 cp^2)z0-2p(αnx0 bmy0 cpz0)/t,ω=(αn^2 bm^2 cp^2)ω0/t。     

关于丢番图方程x3-1=py2

设s为正整数且2｜s,素数p=27s2+1,利用初等方法证明了丢番图方程x3-1=py2仅有平凡整数解(x,y)=(1,0).     

一类含时滞反应扩散方程波前解的存在性

利用J.Wu和X.Zou(J.Dynam.Diff.Eqns.,2001,13(3):651～687.)建立的解的存在性理论,研究 2u1(x,t) u1(x,t) t=D1b1+a1u2(x,t-τ2)], x2+r1u1(x,t)[1-u1(x,t-τ1) u2(x,t) 2u2(x,t) t=D2b2+a2u1(x,t-τ4)], x2+r2u2(x,t)[1-u2(x,t-τ3)的行波解,其中x∈R,t∈R,ui(x,t)∈R,Di>0,ri>0,ai>0,bi>0,i=1,2,a1a2<1,τj>0,j=1,2,3,4,得到了这个系统波前解存在的充分条件.     

关于Diophantine方程kx4-(2k+4)x2y2+ky4=-4

利用Pell方程及同余的性质给出了Diophantine方程 G:kx4-(2k+4)x2y2+ky4=-4仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1)的充分条件。证明了:1)若k 12(mod16),则Diophantine方程G 仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1);2)若k=4m,m≡3(mod4),且2s或s≡0(mod4),t≡3,5(mod8)或s≡2(mod4),t≡1,7(mod8),则Diophantine方程G 仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1),这里s+t m 是Pell方程x2-my2=1的基本解。
     

关于Euler-致型方程x^2-D1y^2=2s^2和x^2-D2y^2=-2t^2

设D1，D2是无平方因子正整数，该文给出了方程组x^2-D1y^2=2s^2和x^2-D2y^2=-2t^2有本原整数解(x，y，s，t)的必要条件。