关于SSOR迭代法和Jacobi迭代法的敛散性

本文证明了当Jacobi矩阵B非负时,解线性方程组(系数矩阵为不可约的SSOR法(0<ω<1)和Jacobi法同时敛散,给出了SSOR法迭代矩阵之谱半径ρ(φ)和ρ(B)之间的关系。     

SOR与SSOR迭代法收敛速度的关系

当A为非奇异的M-阵时,Woznicki只指出了SSOR迭代矩阵的谱半径ρ(SA,ω)小于SOR迭代矩阵的谱半径ρ(LA,ω),对于参数ω(0,1|和ρ(J)(0,1|(其中J是A的Jacobi迭代阵),但两者之间谱半径的大小关系没有给出一个确定的式子表示,在文中,我们建宴了SSOR与SOR迭代矩阵谱半径之间的关系,使得满足如下关系:ρ(SA,ω)≤(1-ω ωρ(J)2≤ρ(Laω)≤(1-ω ωρ(J<1,Aω∈(0,11,ρ(J)∈[0,1]这推广了Woznicki的结果,最后给出一个例子来验证我们的结果.     

关于Lγ,ω的敛散性定理

本文讨论了非负Jacobi矩阵B和AOR矩阵L_(γ,ω)(1≤ω≤γ<2),证明了它们同时敛散,揭示了ρ(B)和ρ(L_(γ,ω))之间的关系,并给出了估计谱半径ρ(L_(γ,ω))的上下界的两组不等式。     

线性方程组的4种迭代方法

研究了线性方程组的4种迭代方法——Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、HSS迭代、Richardson迭代,给出了4种迭代方法收敛的充分条件。数值实验进一步表明,在大规模线性方程求解时,迭代矩阵谱半径的大小决定算法的收敛速度;在谱半径小于1的前提下,谱半径越小,则收敛速度越快。     

关于广义Aluthge变换的数值域的研究

设T∈B(H),T=U|T|是算子T的极分解,则定义T t=|T|tU|T|1-t和T t(*)=|T*|tU|T*|1-t(其中0＜t＜1)分别为算子的广义Aluthge变换和广义*-Aluthge变换.文章主要利用算子矩阵分块技巧,研究了三者之间的本性谱、数值域、本性数值域的关系,推广了吴培元的结果.     

矩阵特征值的分布及其在数值分析中的应用

对于n阶复方阵A,其所有特征值都位于如下的单一圆盘中：D：{z:|z-trA/n|≤R1=√n-1/2n-1√n-1/nq √q^2-2n-1/n^2△A},且这些特征值的实部和虚部分别位于如下的区间:[trReA/n-√n-1/nqRe,trReA/n √n-1/nqRe],[trImA/n-√n-1/nqIm,trImA/n √n-1/nqIm],其中,q=||A||F^2-1/n|trA|^2,△A=1/2||AA*-A*A||F^2,qRe=||ReA||F^2-1/n(trReA)^2,qIm=||ImA||F^2-1/n(trImA)^2同时,利用上述结果得到了对Jacobi迭代矩阵的谱半径以及对线方程组的条件数和最优松弛因子的某种估计.     

预条件双参数并行Jacobi型方法及外插迭代收敛性和Jacobi迭代收敛性的比较

讨论了在矩阵条件下预条件方法在双参数并行Jacobi方法上的加速作用，以及参数在迭代上的作用，比较了外插迭代矩阵和Jacobi迭代矩阵谱半径之间关系。     

快子场方程的特征值和特征矢的几种求法

本文对杨学恒、刘之郕等同志提出的基本粒子结构的快子模型的非线性快子场方程的一阶拟线性对称双曲型偏微分方程组的标准形式的齐次对称双曲型偏微分方程组用初等交换法、Jacobi算法和QR算法求特征方程的特征根和特征矢量。 本文的一些主要结果如下:特征根 和 均为方程(4)的四重根其中Δ=sum from j=1 to 3 λ_j~2=1/8||A_Σ||_2~2(矩阵A_Σ=λ_jA~j),从而最大(小)特征值矩阵A_Σ的谱半径 矩阵A_Σ的特征值之积multiply from k=1 to 3 (λ_k~((Σ))=Δ~4,矩阵A_Σ是可约的,它在特征曲面上的秩为4。如视λ_j为特征曲面的法速度V的分量,V=(λ_1,λ_2,λ_3),就得到法速率 即法速率|V| 就是矩阵A_Σ=λ_j(?)~j的特征值这个著名的结论。齐次方程(3)具有平面波解和 从而φ_Ⅰ和,φ_Ⅱ的任意线性组合 亦为方程(3)之解。又用齐次线性方程组 的基础解系理论导出矩阵A_Σ的特征矢量系为 和 本文又用求实对称矩阵的全部特征值和特征矢量的Jacobi算法和求实对称矩阵的全部特征值的QR算法的FORTRAN程序JACOBI、TRED_1和TQL1在我校EC-1022B计算机(IBM360计算机的换名型号)上计出齐次快子均方程(3)的特征值和特征矢量。特征值的数值计算结果与理论值十分吻合。     

相容次序矩阵AOR迭代的最优参数选取

讨论当线性方程组Ax=b的系数矩阵A为(1,1)相容次序矩阵且其Jacobi特征值为纯虚数或零时,AOR迭代的收敛性问题,得到此类方程组AOR迭代的收敛区间,并在收敛范围内分段讨论,进而得到最优参数及与之相应的谱半径,用实例给出了结论的一些应用.     

一类特殊矩阵AOR迭代的最优参数选取

考察了当n元线性方程组Ax=b的系数矩阵A为(1，1)相容次序矩阵，且其Jacobi迭代矩阵J的特征值为一对重数是n／2的共轭纯虚数(设其模为α)时，AOR迭代的收敛范围及最优参数及相应的谱半径问题，得出比其它迭代法更优良的性质，即在最优参数点γb=2／(1 √α^2),ωb=1/√1 α^2)处有ρ(Lγb，ωb)=0，并用数值例子说明了它的优越性。     

Jacobi行列式的计算

随机矩阵之间变换的Jacobi行列式的计算,常规方法就是求出变换的行列式的元素再求行列式值,这一方法能计算许多变换的Jacobi,但其计算量非常大,有时甚至无法算出结果.该文充分利用外微分形式的特殊性质,巧妙地计算了几个重要的Jacobi行列式,并且给出了众多文献都引用了但都没有给出证明的变换Y=X'DX的Jacobi行列式J(X→Y)=2-m|D|-1/2|Y|-1/2∏(li+lj)-1.利用Muirhead提出的外微分方法计算了几个重要的Jacobi行列式.     

改进的古典迭代法对于M-矩阵谱半径的比较结果

近四十年来许多文章致力于研究在系数矩阵是M 矩阵的情形下,线性方程组的预处理子的修改与完善,目的是为了改善古典迭代法(Jacobi,Gauss Seidel迭代法等)的收敛速度.本文对其中的Milaszewicz的方法(见文献[1])做出改进,将其结论中的预处理子参数化,并对参数的选择给出必要条件,以保证这种预处理方法收敛,从而得到在这种改进的预处理方法下,Jacobi及Gauss Seidel迭代法的迭代矩阵谱半径的比较结果.     

关于矩阵张量积数值半径的两个问题

借助矩阵张量积和矩阵数值半径的性质,证明了不等式r(A1 … Ak)≥ ki=1r(Ai)和等式r(A B)=r(B A),其中A1,…,Ak,A,B∈L(U).同时,举例说明了不等式r(k A)≤rk(A)不成立,而当A1,…,Ak为正规阵时,有r(A1 … Ak)= ks=1r(As).     

冠的拉普拉斯谱

主要研究冠的拉普拉斯谱.设G1 G2是两个简单连通图G1和G2的冠,L1是G1的拉普拉斯矩阵,μ1,μ2,…,μm是G2的拉普拉斯谱,且0=μ1<μ2≤…≤μm,利用分块矩阵证明了G1 G2的拉普拉斯矩阵L的特征多项式|λI-L|=[Πmi=2(λ-1-μi)n]-L1-(λ-m-1)IλI(λ-1)I,其中|V(G1)|=n,|V(G2)|=m.     

相对增益阵列A o A-T=1/nJn的实数解的不变性

设Dn(R),Pn(R)分别是Rn×n上的非奇异对角矩阵、置换矩阵的集合,Gn(R)={X=U1U2...Ut|Ui∈Dn(R)∪Pn(R)}.证明了矩阵乘法下的群Gn(R)可表为Dn(R)与Pn(R)的乘积.如果B=UAV(U,V∈Gn(R)),则称A与B是G-等价的,矩阵方程Φ(X)=1/nJn的实数解在G-等价下具有不变性.     

关于正定矩阵的一个行列式不等式

本文讨论正定的厄米特(Hermite)矩阵的一个行列式不等式,即定理设■是n阶正定的厄米特矩阵(简称正定阵),n—r>1,则|H|≤|A|·|C|—|A|·|B·A~(-1)B|,(1)且等式成立的充要条件是B=0。     

矩阵期望与方差的若干性质

研究了矩阵关于一个给定密度矩阵的期望、方差、协方差、绝对方差和独立性,证明了:(ⅰ)A与B是ρ-独立的当且仅当Covρ(A,B)=0当且仅当Expρ(A B)=Expρ(A)Expρ(B);(ⅱ)如果A与B的数值域W(A)与W(B)分别包含在半径为R与S的圆盘中,那么|Expρ(AB)-Expρ(A)Expρ(B)|≤4RS且|Covρ(A,B)|≤4ω(A)ω(B),其中ω(A)、ω(B)为A、B的数值域半径.     

非负矩阵谱半径的估计

给出非负矩阵A的谱半径ρ(A)上界的一个新估计式和非负矩阵A与B的Hadamard积的谱半径ρ(A°B)上界的一个新估计式.     

关于JOR迭代法的收敛性质

结合Jacobi矩阵的特征值,求出了JOR迭代法收敛的充要条件.对于Jacobi矩阵特征值全部为实数以及全部为纯虚数和(或)零的两种情形,分别确定了最佳松弛因子.同时证明了对一类常见的系数矩阵,最佳的JOR迭代法即为Jacobi迭代.最后给出了相关数值实例.     

一个基于函数值平均权重的新的非单调自适应信赖域算法

将一种基于函数值平均权重的非单调线搜索技术与自动确定信赖域半径的方法相结合,提出求解无约束优化问题的一个新的非单凋自动确定信赖域半径的算法.在假设H∶A.对任意的x1∈Rn,水平集L(x1)={x∈Rn|f(x)≤f(x1)}有界;B.在水平集L(x1)={x∈Rn|f(x)≤f(x1)}内,目标函数f(x)的梯度函数g(x)满足Lipschitz条件;C.矩阵序列{Bk}一致有界及其它条件下证明了本算法的全局收敛性.