关于Weierstrass一致逼近定理的证明

本文将Bernstein定理进行了推广,并用其证明了Weierstrass一致逼近定理,从而很直观地说明了C[a,b]中的函f(x)不仅可被代数多项式一致逼近,而且也可被函数多项式一致逼近。此外,我们还给出了Weierstrass一致逼近定理的另外一种证明。     

牛顿—莱布尼兹公式的一个推广

本文将证明牛顿—莱布尼兹公式对于 schwarz 导数亦成立。设函数 f(x)定义在[a,b]上,若对于 x∈(a、b)(?)(f(x+h)-f(x-h))/(2h)存在,则该极限值为 f(x)在点 x 的 schwarz 导数。记作 f~s(x)引理1 设 f(x)是[a,b]上的连续函数,f~s(x)在(a、b)上存在,若 f(b)>(<)f(a),则存在点,c∈(a,b),使得:f~s(c)≥0(≤0)引理2 设 f(x)在[a,b]上连续,f~s(x)在(a,b)上存在,f(a)=f(b)=0,则存在点 x_1,a相似文献   

Weierstrass 定理的加强及其应用

首先将Weierstrass定理加强为“闭区间[a,b]上的连续函数f（x）可以用有理系数多项式一致逼近”,然后建立起[a,b]上的连续函数f（x）与多项式级数之间的深刻联系,以这个多项式级数为工具,可以建立闭区间上的连续函数的集合到自然数序列的集合的一个单射,进而得到“闭区间[a,b]上的全体连续函数具有连续统的势”的著名结果。     

用动态规划解最佳平方逼近问题

本文提出了用动态规划解最佳平方逼近问题:对于[a,b]上的连续(或可积)函数f(x),用n(给定)段m次多项式P_m(x)(分点x_1,x_2、…x_(m-1)待定)作最佳平方逼近min sum from i=1 to n(integral from x_(i-1) to x_i([f(x)-P_m(x)]~2dx)这种方法比用固定分点情形的分段m次多项式的平方逼近效果更好,而且在应用中有其实际意义。为了说明解法,本文还给出一个简单例子。     

关于右导数的一点注記

在学习欣欽的“公用事业理論的数学方法”一书的第一部分时,我們发现其中的导数实际上应該是右导数。在該书§10巴尔姆公式的一节中更牵涉到右导数的积分問題。为此我們对于初等微积分的內容作了一些如下的补充。引理1 若f(x)連續于[a,b],f(a)=f(b),且于[a,b]上右导数f+′(x)存在,則必存在x_1,x_2ε[a,b)使f′+(x_1)≥0;f′+(x_2)≤0。[証明] 由f(x)的連續性和f(a)=f(b),可知f(x)在[a,b)上达到最小值与最大值,分別令它們为f(x_1)与f(x_2),x_1,x_2ε[a,b)。此时不难看出成立着     

函数的а-多项式逼近

提出用α-多项式进行函数逼近的问题,首先给出广义的伯恩斯坦多项式,利用它证明了α-多项式逼近定理,即:对于闭区间[a,b]上的连续函数f(x),存在α-多项式序列{pn(x,α)},使{pn(x,α)}在[a,b]上一致收敛于f(x)。从理论上解决用α-多项式进行函数逼近的问题。最后用数值例子说明对于有些数据用α-多项式(α≠1)进行函数逼近效果会更好。     

函数的α-多项式逼近

提出用α-多项式进行函数逼近的问题,首先给出广义的伯恩斯坦多项式,利用它证明了α-多项式逼近定理,即对于闭区间[a,b]上的连续函数f(x),存在α-多项式序列{pn(x,α)},使{pn(x,α)}在[a,b]上一致收敛于f(x).从理论上解决用α-多项式进行函数逼近的问题.最后用数值例子说明对于有些数据用α-多项式(α≠1)进行函数逼近效果会更好.     

Cauchy定理的一个证明

官兴隆先生用两个引理给出了拉格朗日中值定理一个新证明,证明采用了逼近的方法,很有特色。本文给引理一一个新的证明,并得出一个推论,仍沿用逼近的方法,给 Caucny 定理一个新证明。Caucny 定理若 i)函数 f(x)与 g(x)在[a,b]上连续;ii)f(x)与 g(x)在(a,b)内可导;iii)g(x)≠0;iv)f(a)≠g(b)则在(a,b)内至少存在一点ξ,使     

关于凸集的两个必充条件

本文是在[1]中P.10的引理和定理的基础上提出的凸集的两个必充条件。文中的定理2的必要性也是[1]中P.10定理的推广。定义1 设A为线性空间X的一个子集。A关于X的柱心记为cor(A)。它是由A中所有满足下列条件的点a所构成: 对任一yex\{a},存在bε(a、y)使[a,b](?)A。如果A=cor(A),则称A为代数开。如果x(?)cor(A)且x(?)cor(X\A),则称x为     

L_([a,b])~P空间中的Weierstass定理

维尔斯特拉斯定理在函数逼近论中是一条至关重要的定理。它建立了多项式一致地逼近连续函数的原则可能性。即说设函数 f(x)在闭区间[a.b]上连续,则对任意给定的ε>0,都存在着多项式 P_m(x)     

度量空间中的KKM定理及其应用

引入一类具有性质（Ｈ）的度量空间,将著名的ＫＫＭ定理推广到此类空间上,作为应用,证明了具有性质（Ｈ）的度量空间上的不动点定理、非空交定理、极大极小定理、鞍点定理、匹配定理及截口定理。     

微分学中值定理的证明及其应用

微分学中值定理是微分学中的重要的基本定理,它一般包括三个定理:罗尔(Rolle)定理,拉格朗日(Lagrange)中值定理与柯西(Cauchy)中值定理.在证明后两个定理时,通常的教科书是采用构造一个辅助函数,使它满足罗尔定理的条件,利用罗尔定理的结论来证明的.在本文中,将对微分学中值定理给出新的证法,然后归纳介绍微分学中值定理的几种推广形式及一些常见的应用.     

Mcshane积分的LSRS收敛定理的新扩展

在Mcshane积分的LSRS收敛定理中建立了M-积分的LSRS收敛定理,并证明了该定理的条件比Lebesgue积分的控制收敛定理条件弱.本文首先证明一个引理,进一步证明了定理1,由此阐述了Mcshane积分的LSRS收敛定理中的定理比Lebesgue积分中Vitali收敛定理条件更弱,从而使Vitali定理成为LSRS定理的推论.     

关于n维情形的Menelaus定理与Ceva定理

利用度量几何的理论与方法，研究了n维欧氏空间旷中n维单形的Menelaus定理与Ceva定理问题，建立了n维情形的Menelaus定理与Ceva定理，作为其特例得到三角形的Menelaus定理与Ceva定理。     

动力系统的遍历性

给出遍历性及唯一遍历的几个等价条件.主要结果是定理4、定理6及定理7.并利用定理4给出定理5的一个证明.定理6及定理7给出唯一遍历的等价条件,定理7的证明采用的是泛函分析的方法.     

微分中值定理的证明及推广

基于拉格朗日中值定理与柯西中值定理的基本原理,构建了罗尔定理不同系数的辅助函数,用这些辅助函数重新证明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理,并且推广了微分中值定理.     

RN空间上的一致有界定理及开映象定理

Ｈａｈｎ－Ｂａｎａｃｈ定理、一致有界定理、开映象定理是Ｂａｎａｃｈ空间中的三大定理。本文给出ＲＮ空间中一致有界定理与开映象定理。     

一个收缩映像不动点定理与Banach不动点定理的等价性

由一个收缩映像的不动点定理导出Ｂａｎａｃｈ压缩映像原理，并证明了在局部紧的度量空间中，这个不动点定理与Ｂａｎａｃｈ压缩映像原理在本质上是等价的     

关于最大模定理

利用最大模定理证明了最小模定理、调和函数的极值定理及一些相应的结果，也能证明很多在函数论中占有重要地位的位置，如Schwarz定理、Hadamard三圆定理等。     

关于连续函数介值性问题的若干讨论

在介值性定理与零点定理的基础上 ,对区间上的连续函数证明了平行弦定理 ,推广了介值性定理和零点定理 ,建立了几个不动点定理。