关于方程sum from j=0 to (n-1)(x+jr)~t=(x+nr)~t

V.A.Lebesque1 曾经证明方程 在t=3时,仅有正整数解n=3,x=3r。本文证明了方程(1)在4≤t≤10时无正整数解。由于(1)对于x和r是齐式的,所以我们可以假定(x,r)=1。对于方程(1),有下面的一些性质。引理1.n≥2t+2,k≤t,则有     

关于Diophantine方程x2+p2=yn的解数的一点注记

设p是奇素数,t∈{3,4,8}.运用初等方法讨论了方程x2 p2=yn适合n>2的正整数解(x,y,n)的个数,证明了该方程至多有1组正整数解(x,y,n)适合n=t.     

关于方程Sx(n)=Sy(3)

对于正整数m、n(n≥ 3) ,设Sm(n)是第m个n角数 .证明了 :当n >6且n - 2是平方数时 ,方程Sx(n) =Sy(3)无正整数解 (x ,y) ;当n >6 ,2 n且n - 2非平方数时 ,该方程有无穷多组正整数解 (x,y) .     

关于Pell数的Diophantine方程x2+Uyn=Vzn

设n是正奇数,Un=(αn+βn)/2.yn=(αn-βn)/2√2,其中α=1+√2,β=1-√2.运用Pell数的算术性质讨论了方程x2+Uyn=Vzn的正整数解(x,y,z).证明了当n≡±3(rood 8)时,该方程仅有正整数解(x.y,z)=(V2n-1.2,4).     

关于广义Ramanujan-Nagell方程x2+D=pn的解数

设P是奇素数 ,D是适合p D的正整数 ,当(D ,p) =(2 ,3)或 (3s2 + 1,4s2 + 1) ,其中s是正整数时 ,方程x2 +D =pn 恰有 2组正整数解 (x ,n) ;否则 ,该方程至多有 1组正整数解     

关于丢番图方程(x+1)2+(x+2)2+…+(x+n)2=y2

利用数论方法得到了丢番图(x 1)2 (x 2)2 … (x n)2=y2有正整数解的必要充分条件,证明了当n=25时,无正整数解,当n=49时,仅有正整数解(x,y)=(24,357),当n=121时仅有正整数解(x,y)=(243,3366),同时证明了n=2,11时必有无穷多组正整数解,并给出了无穷多解的通解公式.     

Diophantus方程sun from i=0 to n(x i)~2=y~2的正整数解(Ⅰ)

探讨Diophantus方程Σni=0 (x i) 2 =y2 在n≤ 5 0下的正整数解问题 ,得到了以下结果 :Diophantus方程 Σni=0 (x i) 2 =y2 在n≤ 5 0下有正整数解的充要条件为n∈ {1 ,1 0 ,2 2 ,2 3 ,2 5 ,3 2 ,46,48,49}.     

数论函数方程σ(x~3)=y~2一类特殊解的存在性

设σ(n)是正整数n的所有正因子之和,讨论数论函数方程σ(x~3)=y~2一类特殊解的存在性,证明了方程σ(x~3)=y~2不存在满足x=5p~r的正整数解(x,y),其中p为不等于5的奇素数,r为大于1的正整数.     

关于广义Ramanujan-Nagell方程D1 x2+D2=pn的一点注记

设r,D1,D2是适合gcd(D1,D2)=1的正整数,又设p是适合p| D1D2的奇素数.本文证明了:如果D1+D2=4Pr且方程D1x2+D2=Pn有正整数解(x,n),则3pr-D2=±2,而且此时该方程仅有解(x,n)=(|pr-D2|/2,3r).     

关于丢番图方程(45n)~x+(28n)~y=(53n)~z的解

利用初等方法证明了,对于任意的正整数n,丢翻图方程(45n)x+(28n)y=(53n)z仅有x=y=z=2正整数解.     

关于丢番图方程(45n)x+(28n)y=(53n)z的解

利用初等方法证明了,对于任意的正整数 , 丢翻图方程(45n)x+(28n)y=(53n)z仅有x=y=z=2正整数解.     

关于Diophantine方程x~(φ(n))-1=ny~2

对于正整数n,设φ(n)和ω(n)分别是n的Eluer函数和n的不同素因数的个数.利用高次Diophantine方程的性质,证明了当ω(n)≥3时,方程xφ(n)-1=ny2无正整数解(x,y).     

关于丢番图方程2py~2=2x~3+3x~2+x的解

本文运用初等数论简单同余法、分解因子法及反证法等,得到丢番图方程2py2=2x3+3x2+x,(p为素数)无正整数解的情况.(1)当p≡1(mod 8),p≡5(mod 8),p≡7(mod 8)时,则方程无正整数解;(2)当p≡3(mod 8)时,Un+Vnp(1/2)=(x0+y0p(1/2))n.其中x0,y0是Pell方程x2-py2=1的基本解,当n≡0(mod 2)时,则方程无整数解;当n≡1(mod 2)时,若2|x0,则方程无整数解.特别是p≡3(mod 8)且p100时,2|x0,则方程无整数解.     

方程x~3+1=3py~2有正整数解的必要条件

对于正整数n,设Q(n)是n的无平方因子部分;设p是适合p≡1(mod 6)的奇素数.运用Petr组的性质证明了:如果方程x3+1=3py2有正整数解(x,y),则p≠Q(3s2-2),p≠Q(12s2+1),且3p≠Q(s2+2),其中s是正整数.     

关于丢番图方程(na)x+(nb)y=(nc)z(c=65,89,101)

设a,b,c为两两互素的正整数且满足a2+b2=c2.1956年,Je?manowicz猜测丢番图方程(na)x+(nb)y=(nc)z仅有正整数解x=y=z=2.此利用初等方法证明了:对于任意的正整数n,除去x=y=z=2外,丢番图方程(56n)x+(33n)y=(65n)z,(80n)x+(39n)y=(89n)z和(20n)x+(99n)y=(101n)z无其他的正整数解,即当(a,b,c)=(56,33,65),(80,39,89)和(20,99,101)时,Je?manowicz猜想成立.     

关于方程x~n (x 1)~n … (x h)~n=(x h 1)~n

1900年,E.B.Escott证明了方程(1)x~n (x 1)~n … (x h)~n=(x h 1)~n在2≤n≤5时,只有正整数解(A)n=2,h=1,x=3;n=3,h=2,x=3.在此前后,F.Hromadko和L.Aupry也证明了②方程在(1)在n=3的情形。本文得出了解方程(1)的一般方法,并且证明了方程(1)在:     

Diophantus方程Σni=0(x+i)2=y2的正整数解(Ⅰ)

探讨Diophantus方程Σni=0(x+i)2=y2在n≤50下的正整数解问题,得到了以下结果:Diophantus方程Σni=0(x+i)2=y2在n≤50下有正整数解的充要条件为n∈{1,10,22,23,25,32,46,48,49}.     

丢番图方程y(y+1)(y+2)(y+3)=n~2 x(x+1)(x+2)(x+3)解的研究

设n1是正整数,利用Pell方程的正整数解的一组恒等式和高次丢番图方程的结果,研究了丢番图方程y(y+1)(y+2)(y+3)=n~2x(x+1)(x+2)(x+3)的正整数解(x,y),分别在2|/n,3|x的情形下和n不同素因数的个数不超过2的情形下,证明了该方程没有正整数解(x,y).     

关于丢番图方程x~3±27=py~2

利用初等方法得出了:p=3(3k+1)(3k+2)+1(k≡1,2(mod4))为奇素数时,丢番图方程x3+27=py2无正整数解;p=3k(k+1)+1≡1(mod8)(n≡k(mod 13))为奇素数时,丢番图方程x3-27=py2无正整数解.     

关于丢番图方程x4±6px2y2±3p2y4=z2

设p为素数,利用Fermat无穷递降法,研究方程x4±3px2y2+3p2y4=z2与x4±6px2y2-3p2y4=z2正整数解的存在性,证明该方程在p≡5(mod 12)时均无正整数解,在p≡11(mod 12)时有解且有无穷多组正整数解,获得方程无穷多组正整数解的通解公式和方程的部分正整数解.