单位圆x~2+y~2=1的妙用例谈

妙用之一：解三角方程由图一知，在[0·2π]内，①②的支点A、B分别对应于原方程的解集是例2解方程解投cos6＝x，sin6＝y得方程组由图二知，在[0·2π]内，它们的交点A、B分别对应于，．．．原方程的解某是即由①得（y－＊（y＋X＋1）一0由图三知，它们的交点A、B分别对应于下、7——————，——··—’—一’””一’”””””‘一”4”4、原方程的解集是，。l。。，厉。。＿．5雳，＿仰6—Zk。＋4或6＝Zk。干，kE。｝4——一4—～即《川0一左；r二，足E。）妙用之二：解三角不等式侧《当0＜6＜2。时，解不等式：－－－－M6‘f0…     

z=r（±cosα±isinα）化为z=r（cosθ＋isinθ）的方法

在中等学校数学教学中，对学生进行知识传授、能力培养和技能训练是一项系统工程，其中采用科学的教学方法是极其重要的，这里就以z＝r（±cosα±isinα）化为z=r（cosθ＋isinθ）为例予以扼要概述。第一步：由点（Icosalisina）得点Z所在象限。第二步：由a得oz与X轴的夹角于。方法：选取适当整数是，使Ik。＋ag＜。亿．则｝一【k。＋a【第三步：综合以上两类，如图1所示。可得z的辐角主值6，而后代人即得。＝r（Coso＋iSll0）。例化复数Z＝3（。。s160o－isin160o）为三角形式。解①因。os160o＜0，sinl60o＞0，放点Z属于第三象限，…     

一组重要不等式的微分证明

一组重要的平均值不等式：构造辅助函数f（x）=2x2－2（a＋b）x＋2（a2＋b2－ab）可证明不等式，受此启发，本文采用构造辅助函数，以微分为工具，来证明这组重要不等式。这里用高等数学方法证明初等数学问题，可能对师范院校学生和中学数学教师均有所启示。先证明不等式为函数的极小值点。下面用数学归纳法证明函数f（x）≥0（X＞0）n。l时，f（）一x’一Zalx＋ZaZ－aZ一（x－al）’＞0假设n一及时，f（）＞0，即有：将x—a。。；代入上式得由（2）式知当n—k＋1时，函数的最小值为非负数，故n—k＋l时，f（）＞0所以．对一切自然数n均有…     

解抛物型方程的一种高精度加权差分格式

利用二阶徽商的四阶精度紧致差分逼近公式，给出解抛物型方程精度为O[1－20）t，t2＋x4]的一种新的加权差分格式，并通过Fourier方法讨论格式的稳定性．证明了当1／2≤θ≤1时，格式是无条件稳定的；当0≤θ＜1／2时，只有r≤1／3（1－2θ），格式才是稳定的，其中θ是加权参数（因子），t，x分别为时空方向的网格长度，r=（D是二阶导数项系数）．     

一个不等式的推广

文[1]利用一组不等式给出并且证明了如下不等式：设且，本文给出了（1）的一般形式，并由此导出了（1）式及一些有趣的不等式。定理1设当且仅当X；一X。—…一八时取等号。证明1设八x）一e”．显然人工）为凸函数．由Jensen不等式知，y6R，a。＞0（i—l，2，…，。），且7a。一1，有八】a。。。）＜】a。八。。）即eD。。。－〔】a，e。。’－l】－11－l，一个人一In（l－十二），（1。二一1，i一1．2…·．n），将人代入上面09不等式并整理便得（2）式。证明2构造人1）。。l，l（＋x）（x＞－1），则人x）为凹函数。仿照证一的方法可证…     

关于n~(1/2)∫_0~(π/2)(sin~nxdx(n→∞))渐近级数展开计算

运用文献［１］的结果建立了如下的渐进展开式：ｎ∫π／２０ｓｉｎｎｘｄｘ～π２∞ｉ＝０ａｉｎｉ其中，ａｌ由下面的递推公式所决定：ｌｉ＝０ａｉｂｌ－ｉ＝（－１）ｌ１／２（１／２－１）…（１／２－ｌ＋１）ｌ！，ａ０＝１，ｌ＝１，２，３式中：ｂ０＝１，ｂ１＝ａ１，ｂｉ＋１＝ａ１＋ｉ１！ａ２＋ｉ（ｉ－１）２！ａ３＋…＋ｉ（ｉ－１）…（ｉ－ｉ＋２）（ｉ－１）！ａｉ＋ｉ！ｉ！ａｉ＋１，ｉ＞１这个新递推公式的作用是简化了系数计算的复杂性。此外，还给出了有关的Ｗａｌｉｓ公式渐进性的应用。     

迭代加权平均值问题初探

本文对两个数和三个数的算术迭代加权平均值,几何迭代加权平均值、调和迭代加权平均值这一类极限作了一些探讨,给出了这类极限的计算公式。1．两个数的选代加权平均值定义1设x1＝a,x2一b,x。一o一户）x。－l十户x。。（n＞3,0＜户＜I）,称数列（X。）的极限为a到b的算术迭代加权平均值,记作AP（a,b）为计算A户（a,b）,我们先来求（。｝的通项公式,由数列｛x。｝的递推方程可得人一人一;—－p（x。－;－x。－。）（n＞3）即数列｛x。－x。－;｝是公比为一户的等比数列,它的前n—1项之和为将x;一a,x。一b代入上式即得｛x。…     

利用e~(θi)=cosθ isinθ解三角问题:

在新编高中《数学》教材的复数部分,把模为1、幅角为θ的复数,规定记为cosθ isinθ=e~(θi),这就引入了等式e~(θi)=coθ isinθ。其实这个等式就是古典的欧拉(Enler)公式。由于它的引入,可以使复数化为指数形式:Z=|Z|e~(θi),因而使复数Z 的乘除运算可以按指数律来进行,从而把较繁杂的运算变为简单。据此,我们把三角函数通过欧拉公式用复指数e~(θi)来表示,然后对e~(θi)按指数律进行运算,就可以解决三角中的一些问题。     

辛博森公式的推广

《数学通报人一九八二年第二期发表的《辛博森求积公式及其应用》一文（以下简称《公式对）．证明了二次几何体的体积为：若：Q（。、）是关于距离X的不高于三次的多项式函数,则：V一三H：Qr－＋4Q4』＋Q,;］其中;H是二次几何体上下底面的距离、Q。、Q。、Q,分别为上底面、中截面、下底面的面积c而Q（。）是指：作下底面的平行面,所作平面与下底面的距离为x．且面积Q（。、）是x的二次函数：Q（。）一a。、’＋b。＋。。本文拟把上述公式加以变通推广到Q是。的n次多项式的一般情况：Q。、）一。。工、”十。lie”‘＋…十。。l…     

一类常微分方程的积分解

本文给出以下形式的微分方程的积分解：其中　为实数｜αs｜＞0,｜λ｜＞0,｜λ｜＞0,s＝1,2,3,…,kj,j＝1,2…,n－2k;λ＝　　｛｜αs｜,｜λj｜｝,y（x）为（－∞,＋∞）上的有界函数,则方程Pn（D）f（x）＝y（x）且满足f（x）＝O（e（λ｜x｜））;x｜→∞的解f（x）＝Cn（x－t）y（t）dt,其中Cn（x）＝　当y（x）为以1／h为周期的有界实函数时,上述方程的解为f（x）＝（x－t）y（t）dt,其G（n,h）P（x）＝     

一元三次方程的一个新解法

提供了一元三次方程ｙ＾３＋ｐｙ＋ｑ＝０的一个新解法，其三个根可统一地由公式：ｙ＝２√－ｐ／３ｓｉｎθ给出，其中θ满足：ｓｉｎ３θ＝－３√ｑ／（２ｐ√－ｐ）。     

有关二次曲线射影理论的几个问题

在实射影平面上二次曲线的射影理论是教学中的难点内容，在教学中学生提出了一些疑难问题，下面就其中某些问题给予解答，供自学时参考。1求过不在二阶曲线上一点的切线例1设二阶曲线：求过点Y（0，2，1）的切线方程。解1设平面上任一点Z的坐标为（z1，z2，z3），则连YZ直线上任一点X＝Y＋λZ的坐标为（λz1，2＋λz2，1＋λz3），求直线YZ与二阶曲线的交点，只须将Y＋λZ的坐标代入（1），得按参数λ整理上式得要使直线YZ成为二次曲线（1）的切线，当且仅当整理得（z1－z2＋2z3）2＝0将z1，z2，z3看作动点坐标，用x1，x2，x3来代替，…     

关于周期函数的几个问题

1周期函数的几种判定方法方法1由课本中定义判定，去寻找与无关的非零常数T。（a为非零常数），求证：f（x）是以2a为周期的周期函数。．f（x）是以2a为周期的周期函数。方法2若函y=f（x)(x∈R)的图家关于直线x=a与x=b(b＞a)对称，w间是周期函数，且2（b－…是它的一个周期。证明：设协E尺”．”函规句N的图象关于直线x。a对称，丫（Q＋Q）于人a—x人同理谢…＋…寸（b一力。于影＊＋2他一划寸【b刊b＋X一2喇4【b一（b＋X－2刚才（初一动十la＋（a—x刀寸【a－（a一动1＝f饲。故f00是以2（－a）为周期的周期函数。方法3若函如寸间…ER）…     

特征函数及其应用

CharacteristicFunctionsauditsApplicationXuYouhong（MathematicsDepartmentofZhejiangOceanUniversity，Zhoushan316004）定义设g是任一随机变量，称9（t）二EO‘’‘，（－ac＜t＜＋QO）是营的特征函数。对任意的t。（－。，＋。）有ie‘”＜1则e“～（x）dx总是收敛的，即p（）一定存在。性质1设中（t）是营的特征函数，则对一听十b的特征函数为9。＋。（）二Ee“’“”‘’＝e。‘“（at）性质2设女在的特征函数为你（），仰（小又久6相互独立，则E；＋g。的特征函数为。（t）＝PI（t）TZ（t）性质3设随机变量管有m阶矩存在…     

一类函数方程的有界解(Ⅱ)

研究了函数方程f（x—y）＋f（x＋y）=2f（x）f（y）有界连续解，其中f（x）为R^n→R的有界连续函数；证明了f（x）必为如下形式的三角函数f（x1，x2，…，xn）=COS（k1x1＋k2x2＋…＋knxn），其中k1，k2，L，kn常数。该结论证明了满足上述方程的函数一定为三角余弦函数，也即给出了三角余弦函数的一种方程形式的刻画。     

二项级数在X=±1收敛性的证明

引理20大〕b。，－0休〕定理：对于一切非整实数a，有当a为其它非整实数．不防设a一士k－Fa’，其甲是为正实数，0＜a’rtlc（l）若a一定十a’．则例：讨论二项级数1＋ax一上1时的收敛性。。公式。1。有，u。－O。六。可知】…。l与P级数】七的敛散性是一致的。当x——1时，可知】u。有限项后是一个同号级数，由】】ry＝一的敛散性知＼u。当a＞0时收敛，当a＜0时发散。Zu。从有限项以后是一个交错级数，由于】In。的敛散性同x、、1时下样，所以，当a＞o时，级数绝对收敛。当一；、。、。时，由于h一。一tim。（七）一。且；tyl一n刁＜1，…     

传统直言命题的制的逻辑剖析(英文)

传统直言命题A、E、I、O作为“命题形式”其逻辑语义没有规定清楚，逻辑结构尚未完全定型，因而至今还存在种种逻辑理论上的问题．我们根据主词S外延的不同将传统直言命题二分为外延命题和内涵命题两大类．当直言命题的主词S的外延是可进一列举的有限集时为外延命题．与A、E、I、O相对应的外延命题依次为：P(e1)ΛP(e2)Λ…ΛP(ei)Λ…ΛP(em),P(e1)ΛP(e2)Λ…ΛP(ei)Λ…ΛP(em),P(e1)∨P(e2)∨…∨P(ei)∨…∨P(em)，P(e,)∨P(e2)∨…∨P(ei)∨…∨P(em)．当主词S的外延是无限集、不可进一列举的有限集或空集时为内涵命题．与A、E、I、O相对应的内涵命题依次为：S（x）P（x）、S（x）P（x）、S（x）！P（x）、S（x）！P（x）．已经验证了，四种外延命题和主调可空而不自相矛盾的四种内涵命题全都满足传统的推理格式．     

一类二阶广义Sturm-Liouville积分边值问题的可解性

设f：[0,1]×R满足Caratheodory条件a,b,e∈L^1[0,1],利用Leray Schauder原理,获得了边值问题：x″=f（t,x（t）,x′（t）＋e（t）,t∈（0,1）,αx（0）-βx′（0）=∫0^1α（t）x（t）dt,γx（1）＋δx′（1）=∫0^1b（t）x（t）dt,解的存在性。     

解与路径无关的积分曲线问题

解与路径无关的积分曲线问题,常常可利用路径无关的充要条件,得出未知函数所应满足的线性微分方程,由此求解未知函数,本文就此种方法进行了讨论。1引理1若方程则a．当△＞0时,方程（1）的通解b当△＝0时,方程（1）的通解为C．当△＜0时,方程（1）的通解为这里C;、C。为任意常数,凸一户l’一师。sla2设P;、P。、a。、al、a。ER,AeC,o（r）一r’＋P;r＋P。,则方程a．若di（A）学0,那么方程（2）有一特解为;y”一（b。x’＋b;x＋b。）e“b若以助一0,矽（A）羊0,那么方程（2）有一特解：／一（入X’十火X’＋4X沁“X…     

一类具有多个偏差变元的p-Laplacian中立型泛函微分方程的周期解

利用重合度理论中的延拓定理和不等式分析技巧，获得了一类具有多个偏差变元的p-Laplacian中立型泛函微分方程（φp（x（t）-cx（t-r））’）’-f（x（t-r（t）））x’（t=σ（t））＋β（t）g（x（t-γ（t）））=e（t）的周期解存在性的充分条件，推广和改进了已有文献的相关结果．