关于方程sum from i=1 to n y_i/d_i≡0(mod 1)

设A(d_1,…,d_n)是方程(?)y_i/d_i≡0(mod1),01,i=1,…,n的解(y_1,…,y_n)的个数,它在有限域上对角方程的研究中起重要作用.对某些d_1,…,d_n,本文对A(d_1,…,d_n)的公式以新的证明,其中n=2和n=3,(d_1,d_2)=1的情形,证明是构造性的.     

On the Generalizations of Hilbert’s Inequality

1 IntroductionLetan,bn>0.If 0<∑∞n=1a2n< ∞,0<∑∞n=1b2n< ∞,then∑∞m=1∑∞n=1ambnm n<π∑∞n=1a2n∑∞n=1b2n1/2(1)theinequality(1)is well knownintheliterature as Hilbert’sinequality.The associatedintegral formof(1)maybe writteninthe following:If 0<∫0∞f2(t)dt< ∞,0<∫0∞g2(t)dt< ∞,then∫0∫∞0∞f(xx) g(yy)dxdy<π∫(0∞f2(t)d∫t0∞g2(t)dt)1/2,(2)where the constantπare best possible in(1)and(2).In recent years,some i mprovements and extensions ofHilbert’s inequality have been given.Fori…     

常义积分、两种广义积分和无穷级数收敛注记

设m ,n是任意二自然数 ,则常义积分∫ba ｜f(x)｜mdx< ∞ ∫ba ｜f(x)｜ndx< ∞。对于这个等价关系 ,无界函数的广义积分∫ba｜f(x) ｜dx和无穷级数 ∑∞i=1｜ui｜各自保留了彼此相反的一半的性质 ,而无穷限广义积分完全否定了这些性质     

一类积分不等式成立的条件

通过数学分析的技巧并构造反例 ,证明了存在实数δ >0 ,使得当r∈ (-δ,δ) 时 ,∫r0∫t10∫t20…∫t2n-10f(t1 ,t3 ,… ,t2n-1 )f(t2 ,t4,… ,t2n)dt2ndt2n-1 …dt1 ≥ 0成立的充分必要条件是f(0 ) ≠ 0     

一般同余方程组的显式解

设!K是整数环,考虑解下面一般形式的同余方程组■　其中a(?),b_1,d_1∈1K,d_1>0,i=1,2,…m;j=1,…,n. 为了书写的简便,设|K~(m×n)表示1K上所有的m×n阶矩阵的全体,|K~(m×n)_r表示|K~(m×n)中所有的秩为r的矩阵全体,|K~(m×1)表示|K上所有的m维列向量的全体,令     

单圈图的增强型Zagreb指数的下界

设图G=(V, E)是具有n(n≥3)个顶点、m条边的简单连通图,图G的度序列为{d_1,d_2,...,d_n},定义图G的增强型Zagreb指数(记作AZI)为:■.利用有关不等式的性质,讨论了单圈图的增强型Zagreb指数,得到了该类图的增强型Zagreb指数的几个精确下界.     

关于吸引场D(Λ)的两点注记

拓广了最大值吸引场D(Λ)中分布函数所满足充要条件的两个经典结果,得到:(1) F∈D(Λ)当且仅当Limzo(1-F(x))m-1∫xox∫xot1…∫xotm-1(1-F(s)dsdtm-1…dt1/(∫xox(1-f(s))ds)m=1且上述表达式中积分均有限,其中m为任意不小于2的整数.在此情形下,1/1-F∈( ),辅助函数f(t)可选为Fm(t)=∫xox∫xot1…∫xotm-1(1-F(s)dsdtm-1…dt1或f1(t)= ∫xot(1-F(s))ds/(1-F(t))赋范常数可适当选为bn=(1/1-F)←(n),an=∫(bn). (2) F∈D(Λ)当且仅当对某α>β>0s(x)= ∫xox(1-F(t)adt/(1-F(x))aβ∫xox(1-F(t))) βdt→β/a(x↑xo)进一步,上式对所有α>β>0都成立.     

二连通图的最长圈

本文证明:设G为n阶2连通图,D(x)={y|y∈V(G),d(x,y)≤2},d_d~*(x)表示D(x)中所有的点的度排成的非减度序列:d_1~*,d_2~*,…,d_j~*,d_(j+1)~*,…,d_(|D(x)|)~*中当下标j=d(x)时的度。δ_0=min{d(x)|x∈V(G)},D(δ_(i-1))={x|x∈V(G),d(x)≥δ(i-1)}(i=1,2,…,k),δ_i=min{d_(d(x))~*|x∈D(δ(i-1))}(i=1,2,…,k)且δ_0<δ_1<δ_2<…<δ_(k-1)≤δ_k,则C(G)≥min{n,2δ_k}。此外也给出δ_k的算法。     

测度按Kakutani距离的收斂

设可测空间(G,β)上的两个有限测度为m,n,令 (G,β)上概率测度全体记为M,当m,n∈M时,d_2退化为 定理 1 可测空间(G,β)上的概率测度全体M,按拟距离d(m, n)、d_2(m,n)、d_2(m,n)     

群的阶方程

本文引入有限群的阶方程的概念,讨论了阶方程的一些性质,证明了下面的结果:若G_1与G_2是n阶可换群,则G_1≌G_2(?)G_1与G_2有相同的阶方程。 定理1.设群G含有r个d阶元素,K_d个d阶循环子群,则r=k_dφ(d)。 证 由于d阶循环子群恰有φ(d)个生成元,而不同的d阶循环子群有不同的生成元,因此G的d阶元素的个数为k_dφ(d)。证毕。 定理2.设G是n阶群,则有n=>k_dφ(d),其中k_d为G的d阶循环子群的个数、k_dφ(d)是G的d阶元素的个数,并且有:1)k_1=1;2)若p是质数,且p|n,则k_p>0;3)若k_d>0,又d'|d,则k_d'>0;4)若G可换,且k_(d_1)>0,k_(d_s)>0,d_3=[d_1,d_2],则k_(d_3)>0。     

一类n维椭球体上的n重积分及估计

利用n维椭球坐标变换给出了定义在n维椭球体上的n重积分∫V(n∑i=1x_i~2)dx的结果,推广得到了更一般的n重积分∫Ωf(n∑i=1(x_i-a_i/b_i)~2)dx的结果及应用;并利用泰勒公式给出了一类多元函数重积分的估计.     

巧用分部积分法求解二重积分

给出一种运用分部积分法求解二重积分的方法,将用分部积分法对∫01dx∫x1e-y2dy,∫01dx∫x1siny/ydy的求解推广到对∫01dx∫x1xme-y2dy(m=0,2,4,6,8,…,)∫01dx∫x1xnsiny/ydy(n=0,1,2,3,…)的求解.通过例题引出在二重积分计算中分部积分法运用的定理.以《数学分析》中所讲述的含参变量积分的求导定理结论为基础,通过分部积分的方法给出定理结论的证明,并通过几个例题以及∫01dx∫x1xme-y2dy,∫01dx∫x1xnsiny/ydy的求解验证此种方法的有效性.     

高度不正则树的存在性

本文证明了对不等于3,5,6,7,11,12.13的任意正整数 n,存在 n 阶高度不正则树,同时给出它的最大度d 的上界 d_(max)=[log_z n]和下界 d~(min)=0(n=1).或1(n=2),或2(n=4).或3(n=2~3+6r+s,r=0,1,2,3,….s=0,1,2),或4(n>16且 n≠2~3+6r+s),并证明对任意正整数 k∈[d_(min),d_(max)],存在最大度为 k 的 n 阶高度不正则树.     

多维近邻密度估计的Lp模强相合性

设X_1,…,X_n是i.i.d.的具有密度f(x)的d维随机变量。设S_(x,a(x))是中心在x且至少包含X_1,…,X_n中k_n个点的最小的球,则f_n(x)=R_n/(n|S_(x,a(x)|)是f(x)一个近邻估计。我们证明了:假如lim k_n/n=0,lim k_n/logn=∞以及flog~ f在任何有界Borel集上可积(或∫f'(x)dx<∞,p>1),则对任何有界Borel集A有(或p>1)。反之,如,则有∫f~p(x)dx<∞,lim n→∞k_n/n=0和lim n→∞k_n=∞。     

Vandermonde行列式的一个推广与一类多重积分的计算

定义了与函数相关的Vandermonde行列式,从而得到了多重积分∫_Eφ~(n)(∑_(i=0)~na_ix_i)dx_1dx_2…dx_n的一般计算公式,其中E={(x_1,x_2,…,x_n)|∑_(i=1)~na_ix_i≤1,x_i≥0,i=1,2,…,n},x_0=1-∑_(i=1)~nx_i,并给出了若干特例。     

广义严格对角占优矩阵的判定

本文讨论了广义严格对角占优矩阵的特征,给出了判定广义严格对角占优矩阵的几个充分条件与一个充分必要条件。定义1 设A=(a_(ij))∈C~(n×n),如果对所有1≤i≤n,皆有则称A为行严格对角占优矩阵,记为A∈D。定义2 设A=(a_(ij))∈C~(n×n),若有一正向量d=(d_1,d_2,…,d_n)~T,使得     

化二次型为标准形的一个注记

<正> 一般的《高等代数》书都是采用若干步的线性替换化为标准形的.(当然可通过合同的初等变换求出上式中的n阶可逆矩阵C来)先将f(x_1x_2,…,x_n)化为d_1y_1~2+g(y_2,…,yn)(g(y_2y_3,…yn)是P上的n-1元二次型)再对g(y_2,…,yn)进行变换等等.而当a_(11)=a_(22)=…=a_(nn)=0时,往往需要两步线性替换才能将n元的情形化为n-1元的情形.本文介绍一种简单易记的方法.只需经过一次线性替换就可将f(x_1,x_2…,x_n)化为d_1y_1~2+d_2y_2~2+g(y_3,…,yn)的形式,即有     

多维分布函数的不相关耦合

设 F(x_1,…,x_n),G(y_1,…,y_m)分别为 n 维与 m 维分布函数。若 n m 维分布函数 H(x_1,…,x_n,y_1,…,y_m)以 F 与 G 为边际分布,则称 H 为 F 与 G 的耦合。若 H=FG,称 H 为独立耦合。若二阶矩存在,且对一切 i,j,∫x_iy_i dH-∫x_idF∫y_jdG= O=0,称 H 为不相关耦合。本文给出了给定 F 与 G 时,存在它们的不相关又非独立的耦合的充要条件。     

关于LP(0＜p＜1)尺度下多项式导数的不等式的改进

以Hn 表示n次代数多项式的全体 ,得到如下的定理 :设 0

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一类分形方块(Σ_(3,7))的拓扑豪斯道夫维数

拓扑豪斯道夫维数是最近由R.Balka,Z.buczolich和M.Elekes提出来的一种新的维数,它的值介于拓扑维数与豪斯道夫维数之间.分形方块F是满足方程F=1/n(F+D)(D={d_1,d_2,…,d_m}?{0,1,…,n-1}~2,n≥2)的集合,本文中主要讨论在n=3,m=7情形下F的拓扑豪斯道夫维数.