函数凸性的判别法

对于函数的凸性,一般教材中多是用函数的一阶导数的单调性或二阶导数的符号来判断的。本文给出函数凸性的另外的三个判别法。 定义1 设f(x)为区间I上的实函数。若对任意x_1,x_2∈I以及λ∈(0,1)恒有f(λx_1 (1—λx_2)≤λf(x_1) (1—λ)f(x_2)则称f(x)为区间I上的凸函数。     

牛顿—莱布尼兹公式的一个推广

本文将证明牛顿—莱布尼兹公式对于 schwarz 导数亦成立。设函数 f(x)定义在[a,b]上,若对于 x∈(a、b)(?)(f(x+h)-f(x-h))/(2h)存在,则该极限值为 f(x)在点 x 的 schwarz 导数。记作 f~s(x)引理1 设 f(x)是[a,b]上的连续函数,f~s(x)在(a、b)上存在,若 f(b)>(<)f(a),则存在点,c∈(a,b),使得:f~s(c)≥0(≤0)引理2 设 f(x)在[a,b]上连续,f~s(x)在(a,b)上存在,f(a)=f(b)=0,则存在点 x_1,a相似文献   

链式法则的一个证明

复合函数求导的链武法则是:设函数 u=(?)(x)在点 x_0处可导,y=f(u)在点 u_0(u_0=(?)(x_0))可导,则复合函数 f_0(?)(x)在点 x_0可导,且(f_0(?))′(x_0)=f′(u_0)(?)′(x_0)。对于这个法则,我们给出一个新的证明。为此先引入两个引理。定义设 E(?)R。f在 E 上有定义,x_0。∈(?)((?)是 E 的闭包),如果存在常数 l,对于任给ε>0,存在δ>0,当x∈(x_0-δ,x_0+δ)∩E-{x_0}时,恒有 f(x)∈(l-ε,l+ε),则称 f 在x_0关于 E 有极限 l。记作 l=(?)f(x)。     

Kantorovich不等式的再推广

文[1]将在最优化理论与其他一些不等式理论中有着广泛应用的Kantorovich不等式推广到了二元函数(文[1]所述命题),即:定理1设f(x,y)在有界闭域D上可积,且满足0相似文献   

R_ρ积分与Riemann积分

引言本文引入了函数f(x)在[a,b]上R_φ积分概念,研究R_φ积分的性质以及R_φ积分与Riemann积分的关系,并得出函数f(x)在[a,b]上Riemann积分的几个等价定义。在本文中,[a,b]是实数轴上的有界闭区间;f(x)是定义在[a,b]上的实值函数;I是实常数,[a,b]上的分法T是有限点集T={x_0,x_1,…,x_n:a=x_0相似文献   

一种特殊形式的非线性算子的局部开性

非线性映射在一点的开性一直是人们非常关心的问题。设X、Y是两个Banach空间,θ是X中的原点,U是θ点的一个邻域,f是从U到Y中的非线性映射,那么在f满足什么条件时,有f在θ点是开的,即:存在θ点的邻域O?U,使得f(O)是开的。1927年Hildebrandt和Graves证明了:当f满足||f(x_1)-f(x_2)-T(x_1-x_2)||≤ε||x_1-x_2|| ?x_1,x_2∈U,M_ε<1,T是X到Y的连续线性映射时,f在θ点是开的。即;若f在一点可以用一个满的线性连续算子逼近时,是局部开的。1948年Graves给出了f在x_0的一个邻域内Frechet可微且导数f’(x_0)是满射,f’(x)在x_0点连续,则f在x_0点局部开。而后1958年Bartle把f’(x)在y_0点的连续性减弱为J(f’(x_0))·φ(ρ)<1其中J(f’(x_0))=Sup[     

关于δ样条函数逼近δ函数的定理

本文得到了以δ-样条逼近δ-函数的普遍结果。它阐明在[1]文意义下的逼近与节点和f(x)的间断点的相对位置有关。其主要结果如下。设函数f(x)连续于[a,b]或只有第一类间断点。若把f(x)以b-a为周期延拓到(-∞,∞)则其中,当x_0→x,…,x_0→x时 a_i→0 (i=1,2,3)     

二元函数的可积性澌论

本文应用有限复盖定理,对二元函数可积的充分性给出了两个新结论.定理1 设f(x,y)是定义在有界闭区域D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}上的有界函数.若f(x,y)在D上对y关于x一致连续,对x只有第一类间断点,则f(x,y)在D上可积.定理2 设f(x,y)是定义在有界闭区域D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}上的有界函数.f(x,y)在D上有无穷多个间断点,但对(?)(x_0,y_0)∈D,极限(?) f(x,y)都存在,则f(x,y)在D上可积.     

绝对连续函数的两个充要条件

本文给出绝对连续函数的两个充要条件,主要结果是定理1和定理2.首先给出如下定义定义1(1)设f(x)是定义在[a,b]上的有限函数,若对(?)ε>0,(?)δ>0,使当[a,b]中任意一组互不相交的开区间{(a_i,b_i)}_(i=1,2…,n)满足     

关于k维空间的МИРКБЯН算子和БСККВ算子的逼近度

§1 引言设f(X)(X=(x_1,x_2,…,x))是定义在D={X|x_i≥0,i=1,2,…,K)上的有界连皱函数。所谓K维空间的Миракъян算子是指     

对函数极值的定义和极值点充分条件的一点看法

同济大学数学教研室主编的《高等数学》(第三版)是目前工科院校广泛使用的一种教材,该教材中对于函数极值是如下定义的: 设函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x_0是(a,b)内的一个点。如果存在着点x_0的一个邻域,对于这邻域内的任何点x,除了点x_0外,f(x)f(x_0)均成立,就说f(x_0)是函数f(x)的一个极小值。     

一类迭代序列的收敛性

本文考察连续单调函数f(x)关于任意初值x_0的迭代序列{x_n=f_n(x_0)}: x_n=f(x_(n-1)) (n≥1) 的全局收敛性。它与函数的不动点或2-周期点分布有关。为此,我们给出不动点的一种定位法,并用以解决几个困难的极限问题。     

处处有极限的函数

设函数 f (x)在区间 I上有定义 .如果对于任意的点 x∈I,函数 f (x)在x处有极限 ,则称 f (x)在区间 I上处处有极限 .给出这种函数的一个充分必要条件 ,并且讨论了它们的一些性质     

零点分布在直线上的亚纯函数的正规定则

对零点分布在给定直线上的亚纯函数的正规性进行了讨论,设F是定义在单位圆盘D上的亚纯函数族,若存在M≥0,使得对于任意f∈F满足:f(z)=0 =〉f′≤M z m;f(z)的零点分布在一条给定直线上;f(z)的极点重数至少为3;f′(z)≠z m,则F在区域D上正规.     

应用初等方法讨论函数的单调性

定义对于函数f(x),若在其定义域的某个区间M上任意取两个数x_1,x_2,它们对应的函数值分別为f(x_1),f(x_2), (1)如果当x_1f(x_2),则称函数f(x)在区间M上是严格递減的; (4)如果当x_1相似文献   

快速弦位叠代法的收敛性及其误差估计

定义用叠代法求介方程f(x)=0称为“快速弦位叠代法”. 定理设函数f(x)在[a,b]上单调连续,并在[a,b]的两端点有相反符号,设f(x)满足i)一价差商f(x_n,x_(n-1))=λn,|λn|≥a>0, ii)二阶差商则叠代(1)收敛于方程f(x)=0的介. 设其中l=BKγ<2.     

连续凸函数一个性质的新证明

我们知道连续凸函数具有这样一个性质: 定理设f(x)是R~n上的实值连续函数,若对于任意的x_1,x_2∈R~n,都有 f(1/2x_2 1/2x_2)≤1/2f(x_1) 1/2f(x_2) (1)则f(x)必为凸函数。一般函数论教材,在论证这一性质时,大都采用哥西的巧妙证法,下面我们用反证法证明这一结论。证明:若f(x)不是凸函数,根据凸函数的定义,则至少存在两个点x_1、x_2∈R及0≤a_0≤1     

用极限精确定义证明极限的思想和方法

1 函数极限证明的基本思想 要证明x→x_0(或x→∞)时函数f(x)的极限是A,当ε>0后,如果我们能找到以x_0为中心的δ邻域(x_0-δ,x_0+δ)(或N>0),当x取这邻域中异于x_0的一切值(或|x|>N)时,不等式 | f(x)-A|<ε 恒能得到满足,则就证明了x→x_0(或x→∞)时,f(x)的极限是A。 问题在于怎样找到上述要求的点x_0的δ邻域(和N)? 从函数极限的精确定义中,我们知道,如果x→x_0时,f(x)的极限是A,则点x_0的δ邻域     

零点位于直线上的亚纯函数的正规定则

讨论了亚纯函数的零点分布在直线上的亚纯函数的正规性,得到:设F是定义在单位圆盘D上的亚纯函数族,若存在M≥0,使得对于F中任意的亚纯函数f满足f的零点分布在一直线上,其极点重级m≥3(m∈Z~+),且f′(z)不取1,当f取值0时,f′(x)的模不大于M,则F在区域D内是正规的.     

一亚纯函数族的正规性

设F是区域D内的亚纯函数族;a,b是2个非零有穷复数;k≥3是一个正整数,A是一个非负实数;若对于F中的任意函数f,f的零点重数至少为k,f(z)=0(→)|f(k)(z)|≤A,f(z)=a(→)f(k)(z)=b;则F在D内正规.