导数与定积分初步

第三节 导数和微分 前面我们阐述了函数的概念,并对二次函数及幂函数进行了研究。我们知道,函数是在研究物体运动中产生出来的,它反映物体某一时刻在某一个位置,而另一时刻又在另外一个位置。这种把连续运动割裂开来研究的方法无疑是必要的,因为“如果不把不间断的东西割断,不使活生生的东西简单化、粗糙化,不加以割碎,不使之僵化,那末我们就不可能想象、表达、测量、描述运动”。①但是;每一个时刻在某一个位置,这只反映物体的静止状态,而运动绝不能看成是这些静止状态的简单堆积,因此;函数只反映了运动的结果,而没有反映运动的本身。什么…     

用发展、转化的观点认识微分

微分是在社会实践的基础上产生和发展起来的,它是高等数学的重要概念之一.十七世纪,生产的发展和机器的应用要求人们研究机械运动,因此,作为描述与研究机械运动的微分方法与概念就在实验的基础上被总结出来.由于运动本身就是矛盾,这就决定了微分必然是一个包含着矛盾的概念,对它必须运用运动矛盾的观点才能正确认识.     

努力做一个辩证唯物主义者——学习马克思《数学手稿》的体会

马克思的《数学手稿》充满了唯物辩证法。马克思十分精辟地指出:微分是“扬弃了的或消失了的差”(《数学手稿》),并且肯定地令dy/dx=0/0。这不仅使我们进一步认清了微分的实质,而且给我们以明确的启示:数学工作者必须努力做一个辩证唯物主义者。 微分和积分,这个高等数学中的基本理论,数学工作者不知多少次接触它,但都没有深刻地理解它的实质。综观微积分产生以来的历史,从牛顿和莱布尼茨,到尔后的数百年,微积分都曾披上一层神秘的外衣。只有马克思精辟地阐明了微分的实质,亲手撕开这一层神秘的外衣。为什么数学家们不能说明的问题,马克思却能把它说明清楚呢?这个问题是值得我们深思的。     

实际问题的数学抽象

数学是数量的科学,是研究现实世果空间形式和数量关系的,它是根据人类的需要而产生的。为了能够在纯粹的数学状态中去研究这些形式和关系,就必须抛弃现实世界的物质内容,用抽象的数学形式把它们表现出来。因此,中学数学教学也必然要经常遇到实际问题的数学抽象。下面,就这一问题谈谈我们肤浅的看法。     

论零是微分的本质

马克思在《数学手稿》中从变数的自身变化中,辩证地揭示了微分的本质,是“被扬弃了的或消失了的差”,“因而是严格数学意义上的x_1-X=0”(《数学手稿》第3页,第5页)。然而,正是这个“零”,尽管它在字面上导致无,但在微分运算时,尤其是在积分过程之后却又可以获得实际结果。这样,岂不是“无中生有”吗?因此,为了解决这一矛盾,似乎非视微分为“非零”不可,即作为微分过程的结果是零,而作为积分运算的对象又是非零。概言之,微分就成了“零与非零的对立统一”。究竟应该怎样认识这个“零”呢?难道说“零”本身就不存在矛盾吗?否则又为什么不能让它本身直接参与积分运算呢? 本文准备就上述问题,谈谈自己的看法。     

运用运动的观点来解决数学问题

运动是永恒的,静止是相对的,用运动变化的观点看事物,往往最能把握事物间的本质联系。如立体几何中的点到线、线到面、面到面的距离,变化的根本原因在一个"动"字。对于数学问题也要用运动变化的观点来研究,尤其是那些与运动有关的问题。     

初中数学运动类问题解法的探讨

文章通过教学实践分析了：运动中的每一时刻又是相对静止，对于数学图形运动与变化的全过程，要抓住其中的等量关系和变量关系，用运动与变化的眼光去观察和研究图形，并通过建立方程的模型来求解。     

高校理科非物理专业《普通物理学》教学特点和规律探讨

首先让我们来看普物课与各非物理专业和现代科学技术知识的关系。我们知道物理学是研究自然界中各种物质运动变化的最普遍最基本的规律的学科。因此它与各门自然科学及各种现代科学技术都有着广泛的联系,而且还与不少人文学科(如哲学、教育、经济、企业管理等)有联系。具体地说如理科非物理专业的数学、化学、生物、天文、地理等。从数学专业来看,很多数学概念的建立都是在研究和分析物理模型之后得出的,如最基础的微分、积分的概念,概率、统计的概念等等。反之,物理学中的问题又为数学理论的应用提供了广阔的场所,如微分方程在力学中的应用,概率统计在统计力学中的应用,群论在量子力学中的应用     

关于“微分”概念的教学

本文拟从教学法方面,谈谈有关一元函数微分的基础知识。属于学术讨论的问题,这里就不涉及了。在微积分发展的历史上,微分曾经是一个非常重要的概念。但到如今,它的地位已被另一个更便于研究的概念——导数——代替了。从教学的角度来看,学生只要掌握好导数的概念和算法,再学习微分的概念,是一件比较容易的事情。因此,微分概念不应该被当作教学中的难点了。但是,我们不得不指出,微分概念的处理,却是教学中的一个较大的疑点。不少学生感到这个概念疑惑含糊、捉摸不定;甚至有人说微分是一个只可会意、不可言传的东西。造成     

“动”“静”关系的利用与辩证思维的培养

数学中蕴含着极其丰富的辩证因素，教学中适时地引导学生用辩证思维方法分析问题，从而制定解题策略，把握解题规律，不仅有利于学生对数学知识的深刻理解和对数学思想方法的熟练掌握，而且有利于对学生进行辩证唯物主义教育，提高辩证思维能力．本文就利用运动与静止的辩证关系分析数学问题作出如下几点扶浅的探讨．1动与静的相互利用在实际问题中常常要遇到许多变量和常量，若注意到它们的相对性，互为利用，巧妙转化，通过“静”研究“动”或以静代动，或化静为动，就可以发现解决问题的办法．1．1动中求静，以静制动在运动的环境中，要…     

关于采场支承压力的显现规律及其应用

本文在矿压理论研究和生产实践的基础上,阐述采场支承压力的发展过程及其分布规律。着重论述支承压力中对采场有明显影响的那一部分。支承压力是与上复岩层运动密切相关的,其分布和显现是不断变化的,它的规律是由上复岩层运动发展的规律所决定的。文章从岩层运动入手研究采场支承压力的发展变化规律,探索矿压理论研究的新途径,并介绍将这一矿压理论的研究应用于生产实践,在解决采场来压及顶板情况予测等重大问题中所取得的成果。采场周围岩体中的支承压力,是上复岩层重力作用的结果,其大小与开采深度及采动后暴露的岩层面积成比例。采场支承压力的显现则只有当压力超过支承体的强度后,才会明显的表现出来。也就是说,支承压力的显现不完全取决于压力的大小,而是与支承体的承载能力紧密相连的。随采场推进,支承压力硬其显现,在不断的变化之中。这个变化是有规律的,其规律是由上复岩层运动发展的规律所决定的。通过支承压力显现规律推断上复岩层运动,解决采场来压及顶底板情况予测问题;以及在掌握岩层运动发展规律的基础上予测支承压力的发展,为解决巷道布置和维护问题服务。这就是我们研究的目的。由于决定支承压力大小的外载条件十分复杂,而且随开采时间,空间的发展在不断的变化之中。因此必须从运动和发展的角度研究支承压力。研究的重点不在于某一时刻压力值大小,而在于压力发展变化的规律及其与上复各岩层运动发展间的关系。     

用运动的矛盾观点认识微分

微分——这是高等数学基本概念之一。微分与积分是一对矛盾,正象数学中加法与减法是对立统一一样,微分运算与积分运算是高等数学的两种互逆的运算。把微分的基本计算公式反过来,就得出积分的基本计算公式。所以,微分法是整个高等数学计算方法的基础,而正确认识微分概念是正确认识微积分学的重要问题。正因为这样,微分概念一出现就引起人们极大的注意,一直到现在还是数学工作者争论的重要问题之一。对于微分这个概念,资产阶级的学者们曾作过种种的解释,由于他们的形而上学宇宙观的束缚,他们不但不能正确认识它的本质,相反却把它搞得神秘莫测。到了十九世纪末,马克思和恩格斯把唯物辩证法运用于高等数学,对导数和微分概念及其本质作出正确的、精辟的分析,才彻底清除了微分概念的神秘性和思想     

光速:不变,又变

提出了“波运动假说” ;运用“波运动守恒律”证明了物体质量对速度的依赖关系m =m0 / [1- (v2 /c2 ) ]1/2 ,并根据这个关系证明了任两个有静止质量的物体之间的相对速度必须小于作为常量的绝对速限c ;推论光子的静止质量并不为 0而为无穷小 ,光子的速度并不绝对等于c而是无限逼进c ,不同光子的速度并不完全相等 ;指出光子频率的红移或蓝移正是以另一种量纲 (超量纲 )的形式表现出的光子的速度的变化 ;认为相对论实质上是引入了波运动效应的牛顿力学     

离散系统中的微分度量空间

收敛性是函数的一种接近性.邓聚龙提出了关联度以及关联空间的概念,用以描述离散系统中函数的接近程度.关联度的概念是灰色系统理论中的一个重要概念,在GM模型建立中起到关键作用.然而,关联映射不唯一,关联度与分辨系数有关,它的大小仅仅具有相对意义.本文提出了离散函数的微分度量以及微分度量空间等概念,用微分度量收敛来刻画离散函数的收敛.这种收敛与传统分析数学中的收敛是相容的,它     

师专文学理论教学中的“扶”与“放”

师专的文学理论教学与此学科一样,本身就是一门科学,有其一般规律和特殊规律,作为师专文学理论教师,我们在掌握教学的一般规律的同时,则应着重研究它的特殊规律——同于其他学科教学之处,以及它的师范专业特点,正如毛泽东同志所说的:“对于物质的每一种运动形式,必须注意它和其他各种运动形式的共同点。但是,尤其重要的,成为我们认识事物的基础的东西,则是必须注意它的特殊点,就是说,注意它和其他运动的质的区别。”(《矛盾论》)认识这点是我们探索师专文学理论教学规律和进行教学改革的基础。     

略论马克思的微分概念和非标准分析的微分概念的一致性

恩格斯指出:“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态,并且也表明过程:运动.”(《自然辩证法》P.249)因此,微分学是描述运动的科学.它的基本概念——微分就是用来描述运动的概念.那么,运动是什么?马克思在《数学手稿》中是怎样用概念来描述运动的?按照辩证唯物主义的观点,“运动就是矛盾;甚至简单的机械运动的位移之所以能够实现,也只是因为物体在同一间瞬既在一个地方又在另一个地方,既在同一个地方又不在同一个地方.这种矛盾的连续产生和同时解决正好就是运动.”(恩格斯:《反杜林论》P117)这就是说,运动物体所处的时间和空间既有确定(即常住性)的一面,又有否定(即可变性)的一面,运动就是这种确定性和可变性的矛盾对立统一.     

运动副间隙对递纸牙运动规律的影响分析

从定量角度研究了运动副间隙与递纸牙运动规律之间的相互关系。在假定运动副受力为连续接触模型的条件下 ,利用差分方程求出了运动副间隙与递纸牙运动精度之间的相互关系。运动副间隙越大 ,递纸牙运动轨迹误差就越大 ;机器速度越高 ,运动副间隙对递纸牙运动精度的影响就越大。运动副间隙只有严格控制在 2 0μm以内 ,才能保证递纸牙运动轨迹偏差控制在 1 0 0μm之内。要保证递纸牙的运动精度满足要求 ,除了各运动副间隙必须严格控制外 ,还必须采取靠山等类似机构来消除运动副间隙所造成的递纸牙运动轨迹偏差     

单叶解析函数强微分超属的最佳从属

复分析是研究复函数，特别是解析函数的数学理论，是古老而富有生命的数学分支之一，是一个经典的研究领域。近年来，越来越多的学者研究微分从属和强微分超属，其理论与方法不反应用于泛函分析、拓扑学、微分几何等数学分支，还涉及自然科学的诸多领域，如动力系统、量子力学、信号分析等。因此，对于微分从属和强微分超属的研究具有重要的理论意义与潜在的应用价值。学者OROS G I和OROS G首先引入并研究了强微分超属的概念及其性质，在此基础上，本文引入强微分超属和最佳从属子概念，研究并证明了在单叶解析函数单位圆盘边界未知的情况下，强微分超属的最佳从属子。     

关于量子力学的数学特征——学习马克思《数学手稿》的体会

一、引言最近围绕学习马克思《数学手稿》而展开的许多讨论文章中,往往把微分这一概念作为讨论的中心,我们感到有商榷的必要。按我们的理解,马克思对变量计算的论证有严格的程序: 预备导数—→导函数—→微分系数—→微分—→积分(1.1) 导函数现在通称为导数,微分系数也就是微商。微分是从微商导出的,它们直接构成一对矛盾。只有在dy=(dy/dx)dx的形式中,我们才能认识dy或dx。这是因为,任何一个事物,都只有在相对于其它事物的运动变化中才能被认识,离开了它的对立物,势必成为神秘而不可理解的东西。不过在上面各环节中,首先使我们感兴趣的是导数和微商这一对矛盾,马克思在手稿中反复讨论了它们之间的联系和区别问题,在求微分系数的一     

试谈极限概念的教学

<正> 我们知道基本概念在数学教学中占有重要地位,而数学分析研究的主要对象是函数,而研究函数的方法是极限的方法,从历史上看,这种方法一出现,就引起了数学上的重大改革,解决了一系列初等数学无法解决的问题。因此,用极限的方法研究函数,从方法论来说,也是数学分析区别于初等数学的显著标志。另外,数学分析中,几乎所有的基本概念,都是用极限来定义的,像函数的连续、一致连续、导数、微分、积分、级数的收敛,一致收敛等等,因此,极限概念是数学分析中的重要基本概念,极限理论也是数学分析课程的基础理论,那么,这部分的教学,就显得格外的