好玩的数学——素数个数问题

素数(也称质数)在数学中具有非常重要而独特的地位,自古希腊时代开始,人们就对这类数进行了研究。如两千多年前古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中证明了素数有无限多。他的证     

梅森素数的诱惑

欧几里得说，素数有无穷多。由于素数的一些奇异特性，它历来就是数学家研究的热门课题，而寻找最大素数更是使许多数学爱好者乐此不疲。今年2月18日，德国人马丁·诺瓦克经过50天的持续运算后，终于得到了第42个梅森素数。     

梅森素数与周氏猜测

 众所周知,素数也叫质数,是只能被1和自身整除的正整数,如2、3、5、7、11等等。2300年前,古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无穷多个,并提出一些素数可写成“2^P-1”(其中指数P也是素数)的形式。这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力,千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡儿、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究^[1]。     

素数分布研究的一种新思路

提出素数分布研究的一种新思路和理论框架。以埃氏筛法生成素数,采用建模与递推的方法,进行素数生成机制与筛除剩余分布演化分析。在前辈和当代数学家的经典成果基础上,以已证明的素数定理和尝试定义的正整数在自然数列中的密度分布为逻辑起点,发现素数常数作为线性筛除剩余通往非线性素数的桥梁,由此证明历史上已形成的几个主要结论与猜想。结果表明,素数定理、孪生素数猜想、哥德巴赫猜想等,都可纳入基于素数密度的统一的素数分布理论框架,并以相应的对数积分渐近级数表示。本文仅是采用工程技术中建模与递推分析法,研究一个具有强烈演化特点的纯数学问题的一种尝试,证明中可能存在逻辑不够严谨、表述不够专业、甚至更严肃的问题,理论框架已形成雏形,期待数学界批评指正。相信数学家如能认可这一思路,定能修正、完善、深化并提出权威论证。欢迎科学技术界同仁与数学爱好者参加讨论。     

世界巨著《欧几里得·几何原本》新译本出版

由我校数学系兰纪正、朱恩宽副教授翻译,梁宗巨、张毓新和徐伯谦等教授校订的《欧几里得·几何原本》新译本已由陕西科技出版社出版发行. 欧几里得(公元前300年左右)是古希腊数学家,他创造性地总结了前人的数学知识和研究成果,把人们公认的一些事实列成定义和公理,使用逻辑的方法,对于各种性质、定理给以演绎证明,用这些定义和公理来研究图形的性质和数的知识.他完成的《几何原本》是教学史上最负盛名的巨著,对后     

(n~2,(n+1)~2)中至少有一个素数的证明

证明(n~2,(n+1)~2)中至少有一个素数,是一个众所周知的数论难题(华罗庚1979,(美)阿尔伯特·H·贝勒1998)。本文用筛法先证明一个叫做筛不完原理的定理,使用筛不完原理证明了(n~2,(n+1)~2)中至少有一个素数。还给出素数在自然数中的概率为0的一个新的证法。     

基于网格计算的梅森素数探究

梅森素数是一种特殊的素数;它历来是数论研究的重要内容.随着因特网和分布计算技术的发展,梅森素数的研究成了当今前沿科学的热门课题之一.本文回顾了梅森素数的相关定理,探讨了基于分布式计算的梅森素数搜索算法,介绍了梅森素数的搜寻方法,给出了GIMPS项目所发现的梅森素数,最后阐述了梅森素数研究的意义.     

素数的规律

长期以来,数学家都知道素数的分布是非常复杂的,正如举世公认的最伟大的数学家欧拉坦言,他之所以未能证明哥德巴赫猜想,是因为素数没有规律.本人在1993年公布的"余新河数学题"和1998年在中国科学技术文库发表的"哥德巴赫猜想"的新尝试的基础上提出素数的规律.     

Fary—Milnor定理的直接证法

给出了关于空间曲线整体性质中的1个重要定理——Fary-Milnor 定理——的直接证法.     

二维射影基本定理的两种证法

二维射影基本定理是高等几何中的一个重要定理,它深刻地揭示了二阶曲线上的点的地位具有对等性。但其理论证明比较艰涩难懂,不易被学员所掌握,基于此,本文给出其两种新的证法:其一为代数证法;其二,是几何证法,对教材中的传统几何证法给予改进,旨在分散难点,同时也领略巴斯加定理应用之一斑。     

梅涅劳斯定理

在初等几何和近世几何中,线的共点性与点的共线性,即所谓集交与列坐的问题,是一个很重要的内容,而在研究点的共线性时,有一个应用非常广泛的古典定理,叫做梅涅劳斯定理,它是公元一世纪希腊数学家兼天文学家梅涅劳斯首先提出来的,但随着希腊罗马奴隶社会的崩溃,欧洲封建宗教的残酷统治,梅涅劳斯定理被世人遗忘了一千多年,直到十七世纪欧洲文艺复兴时期,才被意大利数学家兼水利工程师塞瓦重新发见,而流传于世。定理不仅叙述简单,而且形式优美,曾吸引了不少的我的兴趣。它的证明方法很多,现就初等证法综合论述于后,供同志们参考。     

谈π(x)与ζ(s)

自从1896年Hadmard与de la Valleé Poussin证明了素数定理 π(x)～x/logx (x→∞)(式中π(x)表示不超过x的素数个数)以后,已经有不少的数学家对于π(x)作过更进一步的研究。他们的结果大致都可以纳入下列形式:     

推广的Cauchy定理Th.Estermann证法的一点注记

给出了推广的Cauchy定理的Th.Estermann证法中一个关键性引理的另一证法.     

梅森素数与牛顿迭代

梅森素数是数论研究的一项重要内容,也是当今科学探索的热点和难点之一。卢卡斯定理是判别梅森数是否为素数的第一个重要定理,卢卡斯-雷默测试是在卢卡斯定理基础上改进后的现在已知的检验梅森数素性的最好方法。牛顿迭代法可以用来求平方根√n的近似值。本文首先揭示了卢卡斯定理与√5的牛顿迭代之间的惊人联系,然后揭示了卢卡斯-雷默测试与√3的牛顿迭代之间的惊人联系,继而揭示了梅森素数的一个同余性质与√4的牛顿迭代之间的惊人联系,又通过√2的牛顿选代得出了梅森素数的一个新的同余性质,并猜测由该性质产生的数列具有与斐波那契数列相类似的漂亮性质,接着通过√6的牛顿迭代提出了p为4k＋1形素数时梅森数Mp为素数所应满足的充要条件的猜想,最后提出了基于梅森素数同余性质的梅森数素性检验新方法的猜想。     

论柯西定理的证法

柯西定理是复变函数论中的重要定理之一,教材中有多种证法,大多数是在附加导函数连续的条件下给出的,证明不够严密,为此,讨论了一种取消该附加条件后的证法,过程虽复杂,但证明严密、思路清晰.     

关于欧拉定理的另一证明

费尔马(在17世纪时)发现的一个定理历史上叫做Fermat小定理。后来欧拉(在18世纪时)给以证明并推广了它,推广后的定理历史上叫做Euler定理。这两个定理过去曾有过多种不同的证法,本文将给出另外一种证法。为此先证明引理1 设p是素数,而h_1,h_2,…,h_a都是整数(a为正整数),则 (h_1 h_2 … h_a)~p≡h_1~p h_2~p … h_a~p(modp)。证明:对a进行归纳。当a=1时,显然引理成立。     

论素数在整环中的惟一分解

文章是在参考《初等数论》,《近世代数基础》,《高等代数》等学科的基础上将要讨论整数环中的素数与整环的素元密切关系,利用素数在整数环中的概念、性质、有关定理、定义与关于整环中的素元的定义,定理区分素数和素元及其素数在整环中的惟一分解.通过整数环的素数来证明它在整环里的素元分解,并具体例子说明了素数的惟一分解。     

诡异的“素数”

“1601”是不是素数？如何找到素数？ 人类早在大约2300年前就已经知道了素数的存在。素数又叫做质素，是指正整数中那些大于1，仅能够被1和自身整除，却不能被其他正整数整除的数。我们还知道，任何正整数都可以表示为若干个素数的乘积。在这种意义上，可以说素数是“构成数的原子”。自古以来就有许多数学家在研究素数。不过，还不能说数学家现在就已经掌握了素数的全部性质。事实上，至今也还没有找到一个求素数的公式。本文就来介绍这种捉摸不定的素数所具有的魅力。     

环的挖补定理的推广

将环的挖补定理推广到欧几里得空间,并以推论的形式给出了线性空间的挖补定理;将环的挖补定理推广到非代数系统——拓扑空间,得到了拓扑空间的挖补定理.     

Gaschütz定理的一个新证明

本文从反分配子的定义出发,得到了一些重要性质.作为应用,给出了Gaschütz定理的一种新的证法.