矩阵特征值的分布及其在数值分析中的应用

对于n阶复方阵A ,其所有特征值都位于如下的单一圆盘中 :　D :z :z - trAn ≤R1=n - 12n - 1n - 1n q q2 - 2n - 1n2 ΔA ,且这些特征值的实部和虚部分别位于如下的区间 :　 trReAn - n - 1n qRe,　trReAn n - 1n qRe ,　 trImAn - n - 1n qIm ,　trImAn n - 1n qIm .其中 ,q =A 2 F - 1n trA 2 ,ΔA =12 AA -A A 2 F,qRe=ReA 2 F - 1n(trReA ) 2 ,qIm =ImA 2 F - 1n(trImA) 2 .同时 ,利用上述结果得到了对Jacobi迭代矩阵的谱半径以及对线性方程组的条件数和最优松弛因子的某种估计     

建立完备测度空间的4种方法及其等价性

对给定测度空间（Ω，F，μ），给出了4种建立完备测度空间的方法：设μ^*是由μ引出的外测度，令F^*为μ^*可测集全体，得到（Ω，F^*，μ^*）；N是μ－零测集全体，令－↑F＝｛A∪N：A∈F，N∈N｝，定义－↑μ（A∪N）=μ（A），得到（Ω，－↑F，-↑μ）；令F^△＝｛A△N：A∈F，N∈N｝，定义μ^△（A△N）＝μ（A），得到（Ω，F^△，μ^△）；令＝↑F=｛A：存在A1、A2∈F，使A1∪→A∪→A2且μ（A1）＝μ（A2）｝，定义＝↑μ（A）＝μ（A1），得到（Ω，＝↑F，＝↑μ）。并证明了它们之间的等价性，结论是测度空间的完备化是由给定的测度空间唯一确定的。     

单叶函数系数模之差的估计

§1.引言设 f_k(z)=z+sum from n=1 to ∞ a_(nk+1)~((k))z~(nk+1)为在单位圆|z|<1内正则且单叶的函数,用 S_k 表示该函数族,特别记 S_1=S.对于 f_1(z)∈S;f_2(z)∈S_2的相邻系数模的差,戈鲁金曾有如下之估计:[1](1) ||a_n+1|-|a_n||≤C_(1)n~(1/4)log n,(2) ||a_(2n+1)~((2))|-|a_(2n-1)~((2))||≤C_2n~(-1/4)log n.其中的 C_1,C_2以及以后的 C_3,C_4,……都是绝对常数。对于映射单位圆|z|<1为关于原点为星形领域的函数 f(z)戈鲁金亦有估计:[1],[2]     

A NOTE ON NORMAL ELEMENTARY OPERATORS

Let(T_1,T_2)and (S_1~*,S_2~*) be double commuting subnormal operator pairs,X and K be bounded linear operators with T_1KS_1 T_2KS_2=0. Then (1)||T_1XS_1 T_2XS_2 K||≥||K||and (2)||T_1XS_1 T_2XS_2 K_1|_2~2=||T_1XS_1 T_2XS_2 ||_2~2 ||K||_2~2if K is Hilbert-Schmidt operator,Let T and S* be dominant operator and subnormal operator, respectively, and K is Hilbert-Schmidt operator, then (3)||TX-XS K||_2~2=||TX-XS||_2~2 ||K||_2~2if TK KS;and (4)||TXS-X K||_2~2=||TXS-X||_2~2 ||K||_2~2 if TKS=K. These generalize the results of (1)and (3).     

积和式变差的几点注

L.Elsner和R.Bhatia给出了n阶方阵A、B的积和式的变差的估计为|per(A)—per(B)|≤n||A—B||,max(||A||_p,||B||_p)~(n-1),p∈{1,2,∞}.L.Elsner猜测上式对任何范数都成立。我们指出对一些||I|_p>1的p—范数也成立。当A、B为长方阵时,我们给出了一些相应的结果。     

对称矩阵特征值估计的某些进展

如果λ_1,…,λ_n是对称矩阵A的特征值,P. Tarazaga证明了|tr(A)/n-λ_i|≤[(n-1)/n(‖A‖_F~2-tr(A)~2/n)]~(1/2)对λ_i,i=1,…,n。本文中得到了一个等式成立的充分必要条件,由此给出一类特殊对称矩阵特征值的计算方法,而且证明了下面的定理:如果对称正定矩阵A仅有k个特征值大于或等于αtr(A),0<α<1,则tr(A)/‖A‖_F≥P_k(α)~(1/2),其中P_k(α)~(-1)=[1-(k-1)α]~2+(k-1)α~2,进而得到正定对称矩阵每一个特征值的上界估计。     

近于凸函数相邻系数的一点注记

成立的最佳值A,B是很有趣的,此问题与著名的Littlewood问题紧密相连,有很多数学家进行过研究,目前最好结果为胡克教授所得-2.793<|a_(n+1)|-|a_n|<3.26对于f(z)∈Sc,Hamilton已得||a_(n+1)-|a_n||<3,并且对f∈Sc,在解决Robertson猜测的同时,他也提出了似乎有||a_(n+1)|-|a_n||≤1成立,Koepf得到||a_3|-|a_2||≤1成立.本文对f(z)∈Sc∩S(a)时,得到||a_(n+1)|-|a_n|≤1 设函数f(z)在单位圆△:|z|<1内解析单叶,且有展开式     

具有两个增长方向的单叶函数的相邻系数

若?∈s是有两个增长方向的单叶函数，（?（z）/z^λ=∑n=1^∞cnz^n，λ≥1/2。该文得到相邻系数||cn|-|cn-1||的增长估计。     

关于树的第二个最大特征值

令T(n,i)表示顶点数为n,且匹配数为i的所有树的集合,研究了T(4n-1,2n-1)中哪些树的第二个最大特征值等于√1/2[n+1+√(n+1)2-8]的一个猜想.此外,还进一步得到了T(4n-1,2n-1)中树的第二个最大特征值的3个新的上界,并且确定了达到上界的所有的树.     

单位球面中具有平行平均曲率向量的子流形(英文)

设Mn是单位球面Sn+P中具有平行平均曲率向量的紧致可定向子流形,令|A|2为第二本形式长度的平方.若|A|2< 2n(√)n-1/2θ(√)n-1+n,则Mn是Sn+P中的标准球面;当|A|2< 2n(√)n-1/2θ(√)n-1+n时,还可以对子流形Mn进行分类.