隐参数曲线曲面的微分几何

基于参数表示和隐式表示的优点提出了一种新的曲线曲面表示方法———隐参数曲线曲面,并给出了新表示形式下曲线曲面的相关微分几何概念.这种表示在整体形式上为参数形式,但定义域为隐函数形式.从而不仅易于计算曲线、曲面上的点及其他信息,而且可以表示一些具有复杂拓扑的曲线曲面.最后通过实例展示了它在表示复杂拓扑形状和形状作局部控制等方面的应用.     

任意参数形式下的Frenet公式

Frenet公式是空间曲线论的基本公式,在经典微分几何中占有十分重要的地位。但由于受到弧长参数的制约,经典Frenet公式难以应用于弧长发生变化的诸多变形问题。对此推导出了任意参数形式下正则曲线的Frenet公式,并给出了新公式的一个应用实例。结果表明,新公式是经典Frenet公式在任意参数形式下的拓展,可极大简化变形问题的求解过程。     

《微分几何》学习辅导

微分几何对数学及自然科学中许多分支都有极为广泛的影响，值得认真学习与研究。1向量函数注意将关于普通函数的极限、连续、微分、积分等概念推广到向量函数上，以及3个特殊函数：定长向量函数、定向向量函数，共面向量函数。例1若向量函数r＝r（t）满足（r′，r″，r）=0，证明：r—r（t）为一条平面曲线。证由于，故向量函数r′=r′（t）为一个共面向量函数，即存在一个常向量n，使n·r”（l）＝0，即（n·r（t》”＝0所以n·r（t）一常数，r＝r（t）为一条平面曲线。2曲线论2．1曲线的概念关键是曲线的自然参数。曲线在一点的切线与法面…     

近似弧长参数化插值曲线的三角函数方法

本文提出了一参数曲线近似弧长参数化的一种三角函数方法,参数曲线的弧长子数用三角函数作保调插值,得到的近弧长参数化曲线插值原参数曲线上后一组点,且曲线在这组点对应的弧长精确等它对应的参数值。     

平面参数曲线的奇点研究

讨论了平面参数曲线的奇点。同时，讨论了正则曲线的等距曲线的奇点情况。     

计算机辅助工程以弧长为参数的连续插值曲线的生成

通过在给定插值点处的曲率,从曲线曲率的线性插值角度出发,以弧长为参数,用插值方法构造曲线的线性曲率生成曲线。为了使曲线整体达到连续,在两点之间插入一个自由点,在该两点和自由点之间构造分段线性曲率,在给出满足插值的型值点和满足端点曲率的情况下,以弧长为参数找到一条适合条件的连续的几何样条曲线,并给出其求数值解的方法。     

《微分几何》自学指导

“三结合”数学专业《微分几何》课程以周家典、戴想元编的《微分几何》为蓝本。在自学过程中应注意,微分几何是门古老的学科,介绍的是向量分析方法处理曲线及曲面问题,因而有必要复习一下空间解析几何与数学分析方面的知识,在熟悉上述知识的基础上再来自学微分几何,则可起到事半功倍的效应。下面就自学时应注意的问题叙述如下:     

一般非线性系统的精确线性化

讨论了一般非线性控制系统状态方程无反馈精确线性化及反馈精确线性化．引入一类相关的仿射非线性系统（即伴随系统）,通过研究一般非线性系统与其伴随系统的关系,利用伴随系统的精确线性化结论,获得一般非线性系统精确线性化的充要条件,其结果包含了仿射非线性系统的已有结果．所提出方法适用于解决一般非线性系统的其他精确线性化问题．     

切线段与弧的长度关系

本文从一个初等几何事实（从圆外一点向圆引两条切段，则这两条切线段的长度之和大于它们所夹的圆弧）。出发，把圆弧推广到凸光滑曲线弧，得到了相同的结论。     

旋转曲面的若干特性

本文讨论了旋转曲面的某些特性     

保持C2连续的一类弧长参数化方法

讨论C^2参数曲线的弧长参数化，在弧长区间选择性地取若干插值节点，利用原参数曲线的C^2连续性质，构造一类局部性Hermite插值三次样条、反插值参数曲线的弧长函数，从而导致的近似弧长参数方程几何上完全描述原参数曲线，且自然地保持C^2连续，近似弧长骑数化曲线对于精确弧长参数曲线具有实际应用所期望的逼近性质。     

关于曲线的渐缩线与渐伸线

本文就微分几何中曲线的渐缩线性渐伸线的定义方法及有关内容进行了深入分析,研讨,并与梅向明,黄敬之编《微分几何》此部分内容进行了比较。     

函数型和参数型曲线、曲面的GC^r阶光滑连接

对函数型和参数型曲线、曲面进行了研究,给出了具有GC^r阶（r≥1）凸的光滑连接曲线和曲面的设计计算方法。     

二次参数曲面的奇点

分析了２次参数曲面的奇点分布情况，根据曲面的隐式方程的次数和奇点的分布情况等２次参数曲面分成８类，这种分类方法是仿射不变的。     

非均匀自然路径距离参数的样条插值

提出用非均匀自然路径距离参数的三次样条函数近似表示任意曲线。这里三次样条函数中参数几何意义是沿曲线路径单调增长的距离。这种插值曲线的优点是容易按距离对插值后的曲线作任意分割。文中所附算例表明非均匀自然路径距离参数的三次样条函数的曲线表示是有效可行的。     

代数曲线的近似参数化

给出了一种用分段三次、整体Ｇ１连续的参数曲线逼近一条平面代数曲线的算法．同文［１］的算法相比，该方法具有更好的逼近精度．实例表明，为达到同样的逼近精度，该方法在分割段数与所花费时间上约为［１］中方法的一半．此外，还给出了一种新的逼近意义下的误差估计．     

二次参数曲面的可展分类

利用相对仿射不变量讨论了二次参数曲面的可展性，指出二次参数曲面成为可展曲面的情况只有两种：一次曲面，即平面，二次曲面中的抛物柱面或二次锥面。